Optimisation du calcul du capital économique d'une compagnie d'assurance vie par la méthode des Simulations dans les Simulations

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1 Optimisation du calcul du capital économique d'une compagnie d'assurance vie par la méthode des Simulations dans les Simulations Conférence débat de l Institut des Actuaires Jean-Baptiste Garnier & Anne-Claire Martial Le 3 Mai 014

2 Sommaire Contexte de notre étude Calcul du capital économique Méthode des Simulations dans les Simulations Axes d amélioration Présentation théorique de deux nouvelles méthodes Méthode de décomposition d un événement rare Forêts Aléatoires Application des deux méthodes dans un cadre simplifié Application des deux méthodes dans un cadre réel

3 Contexte de notre étude Calcul du capital économique Le capital économique Solvabilité II est le montant de Fonds Propres (FP) nécessaire pour faire face à une ruine économique à horizon 1 an et au niveau de confiance 99,5% La ruine économique survient dès lors que la valeur économique des actifs de la compagnie devient inférieure à la valeur économique de ses passifs Deux types de méthodes sont généralement envisagées pour calculer le capital économique : La «formule standard», méthode modulaire basée sur l agrégation des capitaux relatifs à chaque «risque élémentaire», calculés à partir de chocs marginaux. Les méthodes basées sur l obtention de la distribution des FP économiques dans un an : Fonds propres économiques initiaux C = FP 0 + P 0, 1 q 0,5% FP 1 Surplus (algébrique) de capital à ajouter en t=0 3

4 Contexte de notre étude Méthode des Simulations dans les Simulations La méthode des Simulations dans les Simulations (SdS) : Principe : construction de la totalité de la distribution des FP économiques de fin de première période, puis déduction du capital économique Bilan en 1 simulation 1 Simulation 1 Bilan économique en t=0 A 0 FP 0 Simulation i VEP 0 Simulation P t = 0 t =1 FP 1 A VEP 1 1 Bilan en 1 simulation i A i 1 FP i 1 VEP i 1 Bilan en 1 simulation P A P 1 FP P 1 VEP 1 P Sur la première période : Projection en univers monde réel (probabilité historique) des risques En fin de première période : Pour chaque simulation monde réel : Simulation risque neutre de scénarios secondaires Calcul d une valeur du bilan conditionnée à la situation économique de fin de première période à l aide d une méthode de type Monte-Carlo Simulations primaires (pour les risques financiers -> simulations «monde-réel») Simulations secondaires (pour les risques financiers -> simulations «market consistent») Mise en œuvre d une méthode SdS limitée 4

5 E Contexte de notre étude Axes d amélioration Objectif : localiser de façon suffisamment précise le scénario qui conduit au quantile de la distribution des FP à 1 an avec le moins de calculs ALM possibles Différents axes d optimisation sont étudiés : Localisation du quantile Possibilité d identifier a priori les situations extrêmes et de ne pas jouer les situations centrales dans le modèle ALM stochastique 4 Localisation des scénarios extrêmes 3 Allocation optimale des scénarios risque neutre Calcul avec un nombre de simulations élevé uniquement au voisinage du quantile et utilisation d un nombre réduit de simulations secondaires ailleurs Nombre de simulations secondaires 3 Utilisation d un proxy Utilisation d un proxy, pas de régénérartion / stockage de tables RN FP = f ( facteurs de risque ) + ε Facteur de risque Facteur de risque - <0,5% 0,5% - 5% 5% - 10% >10% -3 Forte dépendance à la complexité du portefeuille Difficultés de mise en œuvre 5

6 Sommaire Contexte de notre étude Calcul du capital économique Méthode des Simulations dans les Simulations Axes d amélioration Présentation théorique de deux nouvelles méthodes Méthode de décomposition d un événement rare Forêts Aléatoires Application des deux méthodes dans un cadre simplifié Application des deux méthodes dans un cadre réel 6

7 Présentation théorique de la méthode de décomposition d un événement rare Méthode générale de décomposition d un événement rare en événements moins rares Objectif : Calculer le quantile associé à un événement rare A Notations : X : scénario, vecteur de facteurs de risque (FdR) FP(X) : fonds propres associés au scénario X A m : événement contenant l ensemble des scénarios dont les fonds propres sont inférieurs au seuil L m. A M contient les scénarios dont les fonds propres sont inférieurs au quantile Principe de ce type de méthodes : Partir de l ensemble des événements possibles A 0 Construire une suite d événements imbriqués décroissants A 0 A 1 A M = A Le plus petit événement est égal à A = A M La probabilité de passage d un événement A m 1 à un événement A m ne doit pas être trop petite A 0 A 1 d A M A 3 A Estimer le quantile à 0,5% des FP à 1 an à partir de L M 7

8 Présentation théorique de la méthode de décomposition d un événement rare Premier algorithme simple Premier algorithme : Détermination du scénario X i m pour lequel les fonds propres sont maximaux Diffusion de X i m pour que FP X i m < L m Inputs : L m = FP X i m Output : N scénarios X 1 0,, X N 0, Paramètres du modèle L m Diffusion L m Estimation du quantile q 0,5% =L M X i m X i m Répétition de cette étape pour m compris entre 1 et M Points délicats : - Choix du nombre d itérations M - Diffusion de X i m telle que FP X i m < L m 8

9 Présentation théorique de la méthode de décomposition d un événement rare Diffusion des scénarios Zoom sur la diffusion des scénarios telle que FP X i m < L m : Répétition jusqu à avoir l indépendance entre le scénario initial et le scénario diffusé Tirage d un scénario de loi voulue X j m 1 Initialisation de la diffusion X i m = X j m 1 Diffusion de chaque FdR composant X m i : ε i,k ε k = ε i,k + σw k 1 + σ obtention de X* FP(X*)<L m Nous posons X m i = X FP(X*)>L m X m i ne change pas Observation : forte sensibilité au choix de l écart-type utilisé dans la diffusion σ Solution : pour chaque FdR déterminer l écart-type σ à partir des scénarios de l échantillon Algorithme simple : σ constant Algorithme adapté : σ recalculé à chaque itération σ = 1 1 σ 1/T 1 Nombre d application du noyau de transition Variance empirique des FdR non diffusés 9

10 Présentation théorique de la méthode des forêts aléatoires Les arbres de décision La deuxième méthode se fonde sur les arbres de décision et une de leurs extensions, les forêts aléatoires Les arbres de décision sont un outil d aide à la décision représentable sous la forme d un arbre : Exemple : E ε 1 oui 1 0 non 0 0 oui γ 0 non 0 oui non 0 0 ε Au-dessous de Au-dessous de Au-dessous Au-dessous de de Au-dessous de Construction : A chaque nœud de l arbre, le critère de division est un critère unilatéral portant sur une variable explicative, et permettant une réduction maximale des variances des deux sous-ensembles obtenus 10

11 Présentation théorique de la méthode des forêts aléatoires Les forêts aléatoires Les forêts aléatoires sont un outil d aide à la décision reposant sur l agrégation d arbres de décision décorrélés : Calibrés sur B échantillons Bootstrap de la base de calibrage Où les règles de décision sont issues de la mise en concurrence de m variables explicatives tirées aléatoirement Base de calibrage Bootstrap Base de Base de Base Base calibrage de calibrage calibrage de calibrage Calibrage des arbres et sélection aléatoire des variables explicatives Arbres ds décorrélés Agrégation Forêt aléatoire L agrégation permet de réduire l erreur d estimation et le sur-apprentissage La décorrélation des arbres a pour effet de réduire la variance des estimations Il est donc préférable d utiliser les forêts aléatoires aux arbres de décision 11

12 Présentation théorique de la méthode des forêts aléatoires Premier algorithme de calcul du capital économique Objectif : A partir des FdR, déterminer les scénarios les plus adverses, et calculer précisément les FP associés, pour en déduire le capital économique Premier algorithme : Input : Base de calibrage (FdR, FP) Base totale (FdR) Calibrage de la forêt aléatoire Estimation de la distribution de FP associés à la base de totale Output : Obtention du quantile à 0,5 % Calcul des FP de la zone quantile par SdS Détermination des scénarios les plus adverses : création de la zone quantile On obtient ainsi le quantile empirique de la base totale Point délicat : la construction de la zone quantile 1

13 Présentation théorique de la méthode des forêts aléatoires Amélioration de l algorithme Ajout de variables explicatives Ajout de points de la base totale à la base de calibrage. Deux approches ont été étudiées Inputs : Base de calibrage initiale Base totale Détection du scénario adverse dont le rang est le plus mal estimé de la base de calibrage OU Approche 1 : Approche : Ajout du point de la base totale le plus proche Détection du scénario de la base de calibrage le plus proche Ajout du point de la base totale le plus proche du milieu Nouvelle base de calibrage Nouvelle base de calibrage 13

14 Sommaire Contexte de notre étude Calcul du capital économique Méthode des Simulations dans les Simulations Axes d amélioration Présentation théorique de deux nouvelles méthodes Méthode de décomposition d un événement rare Forêts Aléatoires Application des deux méthodes dans un cadre simplifié Application des deux méthodes dans un cadre réel 14

15 Application de la méthode de décomposition d un événement rare dans un cadre simplifié Premiers résultat FP obtenus en utilisant une forme paramétrique à FdR : FP X = a 0 + a 1 X 1 + a X 1 + a 3 X a 4 X + a 5 X + a 6 X 3 + a 7 X 1 X + a 8 X 1 X + a 9 X 1 X Comparaison de l algorithme simple et de l algorithme adapté : Algorithme simple σ=0,01 Algorithme simple σ=0,5 Algorithme simple σ=0,99 Algorithme adapté Valeur de référence Quantile estimé 65,91 34,46 31,39 50,07 51,1 Grande sensibilité des résultats à σ Meilleur résultat avec l algorithme adapté 15

16 Fonds propres Fonds propres Application de la méthode de décomposition d un événement rare dans un cadre simplifié Sensibilité aux paramètres et à la forme paramétrique Sensibilité aux paramètres T et N : Quantile suivant T quantile moyen valeur de référence Bons résultats et indépendance dans la diffusion pour T supérieur à 60 Bons résultats pour N compris entre 60 et Quantile suivant N quantile moyen valeur de référence Sensibilité à la forme paramétrique : Forme paramétrique 1 Forme paramétrique Forme paramétrique 3 Allure de la zone quantile Ecart relatif du quantile par rapport à la valeur de référence ,10 % 6,46 % 0,03% Performance de la méthode très dépendante de l allure de la zone quantile 16

17 Rang estimé Application de la méthode des forêts aléatoires dans un cadre simplifié Premiers résultats Mesure de risque permettant d analyser la performance des algorithmes : Rang réel La mesure de risque indique le nombre de scénarios estimés adverses nécessaires pour inclure les scénarios réellement les plus adverses : Ex : pour le quantile à 1% : 5 / 100 =,5 La performance de la méthode décroit avec la mesure de risque Premiers résultats obtenus par l algorithme sans amélioration, avec une forme paramétrique polynomiale à FdR : Base de départ : Mesure de risque par quantile : Nom Borne min Borne max Pas Nombre de points 0,5 % 1 % % Base de petite taille -3,5 3,5 0,7 11 3,9 4,6 5,44 Base de taille moyenne -3,5 3,5 0,5 5 3,03 1,54,83 Base de grande taille -3,4 3,4 0,4 34 1,61,55,93 Un nombre d arbres supérieur à assure la robustesse des résultats 17

18 Application de la méthode des forêts aléatoires dans un cadre simplifié Etude de l ajout de points et de variables explicatives Etudions l impact d ajout des sommes et différences de FdR aux variables explicatives : Base de départ : Mesure de risque par quantile : Rappel des résultats précédents : Nom Nombre de points 0,5 % 1 % % 0,5 % 1 % % Base de petite taille 11 1,18,3 1,54 3,9 4,6 5,44 Base de taille moyenne 5 1,48 1,63 1,64 3,03 1,54,83 Base de grande taille 34 1, 1,36 1,34 1,61,55,93 Etudions l impact d ajout de points à la base de calibrage : Base de départ : Mesure de risque avec le premier algorithme d'ajout de points : Mesure de risque avec le deuxième algorithme d'ajout de points : Nom Ajout de points Nombre de points 0,5 % 1 % % 0,5 % 1 % % Base de petite taille OUI = 5 1,08 1,77 1,10 1,9 1,5 1,56 Base de taille moyenne NON 5 1,48 1,63 1,64 1,48 1,63 1,64 Nette amélioration de la performance par ajout de variables explicatives Il est préférable de prendre une petite base de calibrage quitte à y ajouter des points 18

19 Sommaire Contexte de notre étude Calcul du capital économique Méthode des Simulations dans les Simulations Axes d amélioration Présentation théorique de deux nouvelles méthodes Méthode de décomposition d un événement rare Forêts Aléatoires Application des deux méthodes dans un cadre simplifié Application des deux méthodes dans un cadre réel 19

20 Application de la méthode de décomposition d un événement rare dans un cadre réel Adaptation de l algorithme au cas d un modèle de gestion actif/passif réel Observation : un calcul précis des FP n est pas toujours nécessaire possibilité de réduire le budget de calcul en effectuant un calcul approché des FP sans simulation ALM Utilisation d une forme paramétrique locale pour évaluer les FP dans la diffusion des scénarios : Calibrage à l aide des scénarios composant l échantillon Application de la forme paramétrique locale au scénario obtenu après chaque diffusion pour vérifié le niveau de fond propre par rapport au seuil L m Vérification à la fin de la diffusion à l aide de simulations ALM Budget de calcul : environ simulations totales 0

21 Application de la méthode de décomposition d un événement rare dans un cadre réel Présentation des résultats Nous avons à notre disposition une base de scénarios générés à l aide d un modèle à 3 FdR représentant les risques action, taux et mortalité Justification de l utilisation des formes paramétriques locales : Très bonne conservation des rangs dans la zone quantile Rangs estimés Rangs estimés en fonction des rangs réels Rangs réels La méthode aboutit à une bonne estimation du quantile Le gain de temps de calcul est de l ordre de 99% par rapport aux SdS 1

22 Application de la méthode des forêts aléatoires dans un cadre réel Présentation des résultats La base contient scénarios composés de 3 FdR La forêt a été calibrée sur les 51 points les plus proches d un maillage, allant de -3,85 à 3,85 avec un pas de 1,1 sur chaque FdR Nous avons étudié 3 lots de variables explicatives : Les 3 FdR ainsi que les sommes et différences de ceux-ci Les 3 FdR, les sommes et différences de ceux-ci, et les puissances et termes croisés d ordre Les 3 FdR, les sommes et différences de ceux-ci, et les puissances et termes croisés d ordre 3 Choix des variables explicatives : Mesure de risque par quantile : Lot de variables explicatives Nombre de variables explicatives 0,5 % 1 % % 1 9 1,98 1,8 1,5 15 1,64 1,8 1, ,57 1,7 1,8 L ajout de variables explicatives améliore toujours les résultats Le gain de temps de calcul est de l ordre de 98% par rapport aux SdS

23 Conclusion Adaptation de deux nouvelles méthodes au calcul du capital économique : la décomposition d un événement rare en événements moins rares et les forêts aléatoires Une réduction importante du budget de calcul Limites : Forte dépendance à l allure de la zone quantile pour la méthode de décomposition d un événement rare et pas de vérification possible a posteriori Un budget de calcul qui peut augmenter rapidement lorsque nous considérons plus de FdR pour la méthode des forêts aléatoires Pistes d améliorations : Pour la méthode de décomposition d un événement rare : choisir des points optimaux pour calibrer la forme paramétrique locale et introduire une corrélation entre les FdR Pour les forêts aléatoires : utiliser une approche de type «Allocation optimale de scénarios» en fin d algorithme pour réduire le temps de calcul, et utiliser plus de transformations des facteurs de risque 3

24 Merci de votre attention 4