1.2 La puissance des nombres

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1 .2 La puissance des nombres Considérant les connaissances et les compétences nécessaires à la réalisation de cette activité, celle-ci est suggérée pour la re année du premier cycle. Parfois, pour faciliter l écriture de très grands et de très petits nombres, on peut utiliser la notation exponentielle. Puisque cette forme d écriture peut effrayer les élèves, le but de cette activité est de leur permettre de se familiariser avec cette notation. On utilise le terme «notation exponentielle», mais seule la base 0 sera utilisée. L activité est donc une bonne préparation à la notation scientifique qui sera vue au deuxième cycle. Intentions pédagogiques Amener l élève à mieux comprendre les différentes échelles de grandeurs L amener à passer d une unité de mesure à une autre L encourager à développer sa compréhension de la notation exponentielle Lui apprendre à choisir l unité de mesure adéquate selon les différents contextes pour communiquer efficacement à l aide du langage mathématique Forme de la production attendue Réponses courtes Brève recherche (Internet, bibliothèque, etc.) Création d une fiche d information (affiche) sur une puissance de 0 Concepts utilisés Ordre de grandeur Passage de la notation fractionnaire à la notation décimale Notation exponentielle et puissances de 0 Expression des mesures en mètres Unités de mesure Ressources matérielles Ordinateur Sites qui permettent d observer les différents ordres de grandeur : http ://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof0/index.html http :// Pour une version moins sérieuse : http :// Matériel de construction pour les affiches : papier, cartons, crayons de couleur, etc. Présentation.2 La puissance des nombres

2 Commentaires sur l activité Préparation On peut aborder le sujet en demandant aux élèves des exemples d objets qui sont dix fois plus petits ou plus grands que d autres. On peut présenter l un des trois vidéos suggérés afin d intéresser les élèves au contenu de l activité. Avant de commencer l activité, on suggère de faire un rappel sur les différentes façons d écrire les nombres : forme décimale et fractionnaire. Comme l activité concerne les puissances de 0, il serait intéressant de demander aux élèves d écrire les premières puissances de 0 afin de voir ce qui se produit lorsque l exposant augmente de. On peut se servir du tableau disponible dans le cahier de l élève comme support ou comme aide-mémoire par la suite. Réalisation Pistes de différenciation En petites équipes, les élèves peuvent trouver des informations plus étendues sur le nombre qui leur est attribué. Ils présentent ensuite au reste de la classe leurs découvertes. Discuter avec les jeunes de l exposant zéro en leur expliquant à l aide d un tableau ou de tout autre support visuel la logique dernière ce résultat. Partie Cette partie présente les puissances de 0 ainsi que les façons de les écrire. Après le premier exercice, il peut être intéressant de demander aux élèves de formuler des conjectures concernant le lien entre la valeur de l exposant et la forme du nombre. L élève doit transformer des nombres de la forme décimale à la forme exponentielle et vice-versa. Il doit ensuite ordonner des nombres écrits sous différentes formes. Il est important de s assurer que les élèves comprennent bien cette partie avant de poursuivre l activité. Partie 2 Dans cette partie, les élèves doivent effectuer des recherches pour compléter un tableau portant sur les mesures que l on peut exprimer avec des puissances de 0. Le travail peut être fait en petites équipes. Il y a beaucoup de nouveaux termes pour eux dans ce tableau et ils vont avoir besoin d être guidés. Il est recommandé de consulter le site Internet Wikipédia ou toutes autres références pour effectuer les recherches. S assurer que les élèves ont correctement complété le tableau avant de poursuivre. Il est important de souligner que les réponses concernant les objets ou les distances mesurées peuvent varier sensiblement d un élève à l autre. Intégration Partie 3 Pour terminer, les élèves devront, en équipe, créer une affiche qui indique le nom d un nombre, les différentes façons de l écrire, un exemple de ce qu il peut mesurer ainsi qu un instrument ou une méthode qui peuvent être utilisés pour le mesurer. Pour attribuer les nombres, on suggère de procéder de manière aléatoire. On peut adapter les consignes au besoin. Lorsque le travail est terminé, les affiches pourraient être placées en ordre sur le mur de la classe. Présentation.2 La puissance des nombres

3 Nom :.2 La puissance des nombres As-tu déjà imaginé la quantité de chiffres qu il faudrait pour écrire le nombre d étoiles dans l univers ou bien la quantité de zéros nécessaires pour écrire le diamètre d un atome? Pour simplifier l écriture de ces nombres, on utilise la notation exponentielle. Dans cette activité, tu découvriras dans quel contexte on utilise ces nombres si grands et si petits. Dans Show Math, vous avez pu voir que pour représenter le nombre! et ses 000 milliards de décimales connues, en écrivant 500 décimales par page, il faudrait une pile de feuilles haute comme 000 fois la tour Eiffel! Comme son développement décimal n est pas fini, la simplification de son écriture sans perte de précision n est pas possible. C est pour cela que l on représente ce nombre par un symbole. Par contre, certains nombres finis peuvent s écrire en notation exponentielle, ce qui facilite grandement leur écriture. Dans cette activité, vous allez pouvoir découvrir ce monde parfois géant et parfois microscopique! Partie : La puissance de 0 : une méthode Les puissances de 0 aident à écrire les nombres de façon plus simple. Observons les différentes manières d écrire les puissances de 0. Puissance de 0 Forme fractionnaire Forme décimale = 0 0 0, 0-2 = = , = , = ,0000 Cahier de l élève.2 La puissance des nombres

4 Combien de zéros retrouve-t-on dans la forme décimale de :. 0 5 : 0 4 : 0 3 : 0 2 : 0 : 0 0 : 2. Combien de chiffres retrouve-t-on après la virgule dans la forme décimale de : 0 0 : 0 - : 0-2 : 0-3 : 0-4 : 0-5 : Voyons voir comment cela fonctionne. Prenons d abord les grands nombres qui sont formés d un suivi d une suite de zéros. On prend pour base 0 et on lui attribue un exposant qui représente le nombre de zéros qui suivent le lorsqu on écrit le nombre sous la forme décimale. 0 6 : Se lit «dix puissance six» et son écriture sous la forme décimale est un suivi de 6 zéros : Nombre sous la forme décimale Nombre sous la forme d une puissance de 0 00 = Quel est le nom du nombre «0 puissance 2»? 0,0 = = Pour les petits nombres qui sont formés d une série de 0 puis d un, on peut les écrire sous deux formes. Soit on écrit une fraction où : ou bien est le numérateur ; 0 affecté de l exposant est le dénominateur ; on prend pour base 0 et on lui attribue un exposant négatif. Dans ce cas, la valeur de l exposant est le nombre de chiffres que l on retrouve après la virgule lorsqu on écrit le nombre sous la forme décimale. : Se lit «un sur dix puissance six» et son écriture sous la forme décimale est sur un suivi de six 0 : Cahier de l élève.2 La puissance des nombres

5 4. Écrivez sous la forme décimale les nombres suivants : a) 0 3 : b) 0 5 : c) 0 9 : d) : 0 3 e) : Écrivez les nombres suivants sous la forme d une puissance de 0. a) : b) : c) : d) : e) 0,0 : f) 0,0000 : La notation par puissances de 0 permet de connaître immédiatement l ordre de grandeur du nombre puisqu il s agit de la valeur de l exposant. Ainsi, on peut rapidement classer les nombres en ordre croissant ou décroissant. Vérifiez si vous avez compris. Pour vous aider, écrivez tous les nombres sous leur forme exponentielle. 6. Placez les nombres suivants en ordre croissant. 0 4 ; 0 6 ; 0 25 ; ; 0-3 ; 00 ; 000 ; ; Cahier de l élève.2 La puissance des nombres 3

6 Partie 2 : Les puissances de 0 et les mesures 7. Complétez le tableau de la page suivante à l aide de la banque de mots se trouvant sur cette page. Pour ce faire, vous pouvez effectuer des recherches sur Internet ou dans une encyclopédie. Mesure en mètres Nom de la mesure Objet ou distance femtomètre décamètre picomètre gigamètre 0 nanomètres micromètre millimètre centimètre décimètre hectomètre 00 gigamètres kilomètre 0 mégamètres 0 téramètres année-lumière 0 pétamètres rayon de la double hélice de l ADN orbite lunaire noyau atomique atome orbite terrestre bactérie cellule insecte diamètre d une assiette taille d un humain hauteur d une maison longueur d un sprint grandeur d un pays Voie lactée Dans la première colonne, on retrouve la valeur de la mesure en mètres exprimée sous la forme d une puissance de 0. Dans la deuxième colonne, on retrouve le nom de la mesure. Dans la troisième colonne, on retrouve le nom d un objet que l on peut mesurer avec cette unité de mesure. Lorsque vous avez terminé, validez votre résultat auprès de votre enseignant. 4 Cahier de l élève.2 La puissance des nombres

7 Mesure en mètres Nom de la mesure Objet ou distance nanomètre virus micromètres hauteur d eau de pluie tombée mètre distance à pied mégamètre diamètre de la Terre système solaire années-lumière ou zettamètre distance entre la Terre et l étoile la plus proche Cahier de l élève.2 La puissance des nombres 5

8 8. Maintenant que vous avez associé les informations contenues dans les trois colonnes, trouvez quelles mesures peuvent être prises avec chacun des instruments suivants. Microscope électronique a) Microscope électronique : Microscope b) Microscope : c) Vis micrométrique : Vis micrométrique d) Pied à coulisse : Pied à coulisse e) Règle : Règle f) Mètre ruban : Mètre ruban 6 Cahier de l élève.2 La puissance des nombres

9 Chaîne d arpenteur g) Chaîne d arpenteur : h) Odomètre : Odomètre i) GPS : GPS j) Télescope : Télescope Partie 3 : Partagez vos connaissances 9. Lorsque vos réponses ont été vérifiées, demandez à votre enseignant de vous assigner un nombre que l on peut représenter par une puissance de 0, puis montez une affiche qui permettra de représenter le nombre. Sur cette affiche on devra retrouver : le nombre ; le nom de la mesure correspondante ; les différentes façons de l écrire ; un exemple, différent de que ce qui est proposé dans l activité, de ce qu il peut mesurer ; un instrument qui peut être utilisé pour le mesurer. Cahier de l élève.2 La puissance des nombres 7

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11 .2 La puissance des nombres Corrigé Partie : La puissance de 0 : une méthode. (p.2) Combien de zéros retrouve-t-on dans la forme décimale de : 0 5 : : : : 2 0 : 0 0 : 0 2. (p.2) Combien de chiffres retrouve-t-on après la virgule dans la forme décimale de : 0 0 : : 0-2 : : : : 5 Quel est le nom du nombre «dix puissance 2»? Un billion 3. (p.2) 4. (p.3) Écrivez sous la forme décimale les nombres suivants : a) 0 3 : 000 b) 0 5 : c) 0 9 : d) : = 0, e) : = 0, Corrigé.2 La puissance des nombres

12 5. (p.3) Écrivez les nombres suivants sous la forme d une puissance de 0. a) : 0 5 b) : 0 4 c) : 0, = = 0-4 d) : 0,000 = = e) 0,0 : = f) 0,0000 : = (p.3) Placez les nombres suivants en ordre croissant. 0 4 ; 0 6 ; 0 25 ; ; 0-3 ; 00 ; 000 ; ; On écrit d abord les nombres sous la forme exponentielle. 0 4 ; 0 6 ; 0 25 ; ; ; 0 2 ; 0 3 ; ; On les place ensuite en ordre croissant d après la valeur de l exposant. 0 ; ; ; 8 02 ; 0 3 ; 0 4 ; 0 6 ; 0 7 ; ou 0-8 ; 0-7 ; 0-3 ; 0 2 ; 0 3 ; 0 4 ; 0 6 ; 0 7 ; 0 25 Partie 2 : Les puissances de 0 et les mesures 7. (p.4 et 5) Complétez le tableau de la page suivante à l aide de la banque de mots se trouvant sur cette page. Pour ce faire, vous pouvez effectuer des recherches sur Internet ou dans une encyclopédie. Réponses du tableau à la page suivante. 2 Corrigé.2 La puissance des nombres

13 Mesure en mètres Nom de la mesure Objet ou distance 0 5 femtomètre noyau atomique 0 2 picomètre atome 0 9 nanomètre rayon de la double hélice de l ADN nanomètres virus 0 6 micromètre bactérie micromètres cellule 0 3 millimètre hauteur d eau de pluie tombée 0 2 centimètre insecte 0 décimètre diamètre d une assiette 0 0 mètre taille d un humain 0 décamètre hauteur d une maison 0 2 hectomètre longueur d un sprint 0 3 kilomètre distance à pied 0 6 mégamètre grandeur d un pays mégamètres diamètre de la Terre 0 9 gigamètre orbite lunaire 0 00 gigamètres orbite terrestre téramètres système solaire 0 6 année-lumière ou 0 pétamètres années-lumière ou zettamètre distance entre la Terre et l étoile la plus proche Voie lactée Corrigé.2 La puissance des nombres 3

14 8. (p.6 et 7) Maintenant que vous avez associé les informations contenues dans les trois colonnes, trouvez quelles mesures peuvent être prises avec les instruments suivants. a) Microscope électronique : femtomètre, picomètre b) Microscope : nanomètre, micromètre c) Vis micrométrique : micromètre d) Pied à coulisse : millimètre e) Règle : centimètre, décimètre f) Mètre ruban : mètre g) Chaine d arpenteur : décamètre, hectomètre h) Odomètre : kilomètre i) GPS : mégamètre j) Télescope : gigamètre, téramètre, pétamètre, zettamètre, année-lumière Partie 3 : Partagez vos connaissances 9. (p.7) Lorsque vos réponses ont été vérifiées, demandez à votre enseignant de vous assigner un nombre que l on peut représenter par une puissance de 0, puis montez une affiche qui permettra de représenter le nombre. Sur cette affiche on devra retrouver : le nombre; le nom de la mesure correspondante; les différentes façons de l écrire; un exemple, différent de ce qui est proposé dans l activité, de ce qu il peut mesurer; un instrument qui peut être utilisé pour le mesurer. Réponses variables 4 Corrigé.2 La puissance des nombres