Modélisation d antennes à l aide des ondelettes

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1 Modélisation d antennes à l aide des ondelettes Renaud LOISON, Raphaël GILLARD Institut d Electronique et des Télécommunications de Rennes (UMR CNRS IETR) Institut National des Sciences Appliquées de Rennes (INSA) 20 Av. des Buttes de Coësmes, CS 14315, Rennes Cedex e mail: Renaud.Loison@insa rennes.fr 1

2 Plan I. Introduction Cadre, antennes imprimées Méthodes d analyse existantes II. Description de la méthode des moments III. Méthode des moments et ondelettes 1. Pourquoi et comment utiliser les ondelettes dans la MoM? 2. Choix de la base d ondelettes 3. Implémentation et interprétation physique 4. Illustrations IV.Conclusion et perspectives 2

3 I Introduction: Antennes Les antennes sont présentes dans toutes les applications utilisant les radiocommunications (communication par ondes électromagnétiques): Téléphonie mobile: GSM, DCS, UMTS Réseaux locaux: WLAN, Bluetooth Faisceaux hertziens (liaisons point à point) Télépéage Radars Communications satellites: GPS, TV Numérique... Il existe plusieurs types d antennes: antennes filaires, cornets, paraboles, antennes imprimées Le choix de l antenne se fait en fonction des contraintes de l application: bande de fréquence, gain, coût, encombrement, poids... 3

4 Antennes imprimées (1) Les antennes imprimées sont constituées de métallisations gravées sur les interfaces d un empilement de milieux diélectriques (substrats isolants): antenne imprimée à deux couches de diélectriques antennes imprimées conformées 4

5 Antennes imprimées (2) Les avantages des antennes imprimées sont nombreux: faible coût légères et discrètes (faible épaisseur) conformables la technologie de réalisation est compatible avec les technologies classiques de réalisation des circuits imprimés Les métallisations sont dimensionnées de manière à favoriser la transformation de l énergie électrique (courant / tension) en énergie électromagnétique (rayonnement d une onde électromagnétique) Les caractéristiques du champ rayonné (polarisation, diagramme de rayonnement) dépendent de la géométrie de l antenne 5

6 Modélisation des antennes imprimées La conception des antennes imprimées nécessite de disposer d outils de modélisation électromagnétique, le but est de prévoir les caractéristiques radioélectriques de l antenne (rayonnement et impédance) en résolvant les équations de Maxwell pour le problème considéré: E= j ω B B=0 E= ρ ε 0 1 B= J j ωε µ 0 E 0 Equations de Maxwell dans le vide et en régime harmonique: E: champ électrique B: induction magnétique J: densité de courant ρ: densité de charge 6

7 Méthodes d analyse existantes Eléments finis: FE (domaine fréquentiel ou temporel) Différences finies dans le domaine temporel: FDTD Intégrales finies: FI Méthode des lignes de transmission: TLM Equations intégrales surfaciques ou volumiques 7

8 II Méthode des moments Le but de la méthode est de calculer la densité de courant surfacique induite sur les métallisations de la structure par un champ électrique incident en régime harmonique (méthode fréquentielle 2D, seules les métallisations sont maillées). La connaissance de la densité de courant en tout point des métallisations permet de calculer les caractéristiques radioélectriques de l antenne étudiée (champ rayonné ou diffracté et impédance d entrée). E inc,h inc E diff,h diff e y e z e x 8

9 Equations intégrales Afin de calculer la densité de courant, il est possible de résoudre les équation intégrales (ici MPIE) avec la méthode des moments. Densités surfaciques de courant et de charge e n r S j ωg A r r J S r G V r r ρ S r ds = e n r E inc r Normale au conducteur au point r Champ électrique incident Fonctions de Green du milieu stratifié 9

10 Résolution des éq. intégrales La résolution des équations intégrales est effectuée avec la méthode des moment (MoM): 1. La densité de courant surfacique est développée sur un ensemble de fonctions de base (inconnue du problème) 2. Les équations résultantes sont projetées sur un ensemble de fonctions de test à l aide d un produit interne adapté 3. Un système linéaire est obtenu: ZI=V la résolution du système permet d obtenir les composantes de la densité de courant dans la base des fonctions de base 10

11 MoM classique pour structures imprimées Maillage rectangulaire des métallisations Fonctions de base: «rooftop» Fonctions de test: «diracs» (point matching), ou segments, ou rooftops (Galerkin) Maillage u Segment de test Fonction de base rooftop 11

12 Avantages et inconvénients de la MoM Avantages: Méthode 2D donc relativement rapide Méthode «ancienne» donc bien connue et bénéficiant de développements importants (utilisée dans de nombreux logiciels commerciaux; NEC, Sonnet, Momentum, Ensemble, IE3D, Saphir) Inconvénients Calcul des fonctions de Green délicat (dépend de l empilement) Calcul, stockage et résolution d un système linéaire à coefficients complexes dont la taille peut devenir importante suivant: * la taille du problème étudié (dimension importantes des métallisations par rapport à la longueur d onde, le pas de maillage est imposé par la longueur d onde; d<λ/20) * la complexité (les formes complexes imposent une grande finesse de maillage) 12

13 Limitations de la MoM Le calcul, stockage et la résolution d un système linéaire à coefficients complexes de grande taille est pénalisant en terme de temps de calcul (temps CPU) place mémoire (mémoire RAM) Dans notre étude, nous nous sommes focalisés sur le problème de l analyse électromagnétique des structures de grande taille (par rapport à la longueur d onde): Réseaux d antennes imprimées 13

14 Exemples de réseaux d antennes Exemple 1 : réseau de 16 éléments 14

15 Exemples de réseaux d antennes Exemple 2 : réseau de 64 antennes 15

16 III MoM et ondelettes Motivation: utiliser les ondelettes au coeur de la méthode des moments pour réduire les besoins en ressources informatiques Cette partie est organisée comme suit: 1. Pourquoi et comment utiliser les ondelettes dans la MoM? 2. Choix de la base d ondelettes 3. Implémentation et interprétation physique 4. Illustrations 16

17 1 Pourquoi et comment utiliser les ondelettes dans la MoM? 17

18 Elément de la matrice Z et moments nuls d une ondelette Typiquement, un élément de la matrice Z (matrice impédance généralisée) correspondant à l interaction entre une fonction de base (fα) et une fonction de test (gβ) est donné par: Z αβ = S β j ωg A r r f α r S α 1 G V r r f α r j ω ds α g β r ds β Une ondelette Ψ a N moments nuls si: x n ψ x dx=0 pour n=0,1,...,n 1 Remarque: Une ondelette a au moins 1 moment nul. 18

19 Ondelettes comme fonctions de base et fonctions de test dans la MoM L expression d un élément de la matrice impédance montre que si 1. les fonctions de base et test sont des ondelettes à N moments nuls 2. les fonctions de Green sont régulières ( polynômes de degré N) Remarque: la régularité des fonctions de Green augmente avec la distance séparant le point source du point observateur alors l élément de la matrice Z associé devient très petit ou nul obtention d une matrice creuse (avec beaucoup d éléments nuls) gain en place mémoire (stockage adapté de la matrice creuse) gain en temps de calcul (remplissage et résolution) 19

20 2 Choix de la base d ondelettes 20

21 Critère importants pour la MoM Les contraintes imposées par l application (MoM) sont les suivantes: 1. Expression analytique des fonctions 2. Définition de la base sur un intervalle 3. Support compact bases de Chui et de Haar, une dans chaque direction (les fonctions d échelle de ces bases sont les fonctions utilisées dans la MoM classique: triangle pulse = rooftop) 21

22 Base de Chui Ondelettes spline semi orthogonales d ordre 2 (symétriques avec expression analytique, 2 moments nuls) Fonctions du bord gauche 1 Bord gauche Oberschmidt 1 Fonctions de l intervalle 5/6 phi (u) psi (u) Fonctions du bord droit 1 Bord droit Oberschmidt 3/4 phi (u) psi (u) 0.5 3/ /12 1/12 1/ phi (u) psi (u) u u u 22

23 Base de Haar Fonction d échelle mère Ondelette mère psi (u) phi (u) u u 23

24 Fonctions de base 2D: Chui Haar Le problème étudié nécessite des fonctions de base 2D (vectorielles): la base de Chui est retenue dans la direction longitudinale la base de Haar est retenue dans la direction transversale Le produit des deux bases génère 4 types de fonctions (produit échelle échelle, échelle ondelette, ondelette echelle, ondelette ondelette): 24

25 Equivalence avec la MoM classique La fonction d échelle du système généré est le rooftop classique: Il y a équivalence entre la MoM classique et la MoM multirésolution Chui Haar (MRMoM) Il est possible de passer de l une à l autre à l aide de la transformée en ondelettes discrète (propriété de l analyse multirésolution utilisée dans l implémentation): Espace des «rooftops grossiers» V n =W n 1 W n 2... W 2 V 2 Espace des «rooftops fins» Espaces des ondelettes aux différents niveaux de résolution 25

26 3 Interprétation physique et implémentation 26

27 Annulation de termes de la matrice Les interactions entre ondelettes sont négligeables si les fonctions de Green sont suffisamment régulières La régularité des fonctions de Green augmente avec la distance séparant les points source et observateur pour les interactions à grande distance (critère de distance à optimiser), les termes mettant en jeu au moins une ondelette peuvent être négligés sans engendrer une erreur importante sur la solution Physiquement: cela signifie que les couplages entre éléments distants d un réseau peuvent être pris en compte uniquement avec les fonctions d échelle (les coefficients d ondelettes sont négligés) une approximation grossière de la densité de courant est suffisante pour prendre en compte les faibles couplages 27

28 Implémentation Faible distance entre métallisations (fort couplage): tous les termes sont calculés (via la transformée en ondelettes discrète TOD) et un seuillage à posteriori est effectué Grande distance entre métallisations (faible couplage): les termes en ondelettes sont à priori négligés Pour une implémentation efficace: optimisation d un critère distance optimisation d une technique de TOD + seuillage 28

29 4 Illustrations 29

30 Ligne de transmission, matrices Z I g Structure analysée Matrice Z, MoM classique Z g ε r = mm 0.8 mm 2.3 mm Matrice Z, MoM ondelettes avec et sans compression 30

31 Antenne seule Structure analysée (système linéaire de 577 inc.) Résultats de simulation en terme de coefficient de réflexion UnitØ: mm I g 0 MdM ondelette comp. 67% MdM ondelette comp. 0% Saphir Mesure Z g ε r = S11 (db) Fréquence (GHz) 31

32 Réseau linéaire d antennes (1) Structures analysées, la taille du problème étudié dépend du nombre d antennes N (dim=n*577) 24.8 mm 1 N 1 N 12.4 mm 32

33 Réseau linéaire d antennes (2) Résultats de simulation en fonction de la taille du problème (fonction du nombre d antennes du réseau N*577) 100 Compression 15 Erreur relative Compression (%) DWT MdM ondelette MdM classique Erreur (%) 5 MdM classique MdM ondelette Nombre d inconnues Nombre d inconnues 33

34 Réseau linéaire d antennes (3) Résultats de simulation en fonction de la taille du problème (fonction du nombre d antennes du réseau N*577) Temps de calcul de la matrice impédance (heures) Temps de calcul de la matrice MdM ondelette Saphir DWT Temps de résolution de système (heures) Temps de résolution du système MdM ondelette DWT Inversion directe (Saphir) Nombre d inconnues Nombre d inconnues 34

35 Réseau de 16 éléments (1) Photographie du réseau «Layout» des métallisations 35

36 Réseau de 16 éléments (2) Caractéristiques de la simulation du réseau de 16 éléments (simulation pour 1 point de fréquence, calculateur HP9000 série 160 avec 512 Mo de mémoire RAM): Taille du système linéaire: inconnues Temps de calcul de la matrice: 4,8 heures Résolution du système linéaire: 11 minutes Compression: 98,33 % (d éléments nuls) Place mémoire nécessaire: 312 Mo (1,041 Go pour la matrice dense) 36

37 Réseau de 16 éléments (3) Diagramme de rayonnement du réseau simulé et mesuré 0 Plan E, composante directe E (db) Théta (deg) 37

38 IV Conclusion et perspectives Conclusion sur l approche MoM multirésolution Gains importants en espace mémoire (grandes structures) Gains importants en temps de calcul (grandes structures) Perspectives Extension à une méthode de moment 2D triangulaire Extension à une méthode de moment 3D (maillage des métallisations et du substrat) 38