LE TRANSFORMATEUR MONOPHASE

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1 LE TRANSFORMATEUR MONOPHASE I. INTRODUCTION. Fonction Un transformateur est une machine statique permettant, en alternatif, le changement de grandeurs (tension et intensité) sans changer leur fréquence. On peut rencontrer plusieurs types de transformateurs : monophasés, triphasés. Il joue un rôle important en électrotechnique car c est l appareil de base pour le transport de l énergie électrique. Il est également utilisable avec des courants ou des tensions variables mais non alternatifs (ex : transfo d impulsions). Les transformateurs monophasés sont utilisés essentiellement pour l obtention de très basse tension (6V-V-4V), pour isoler galvaniquement deux circuits et pour produire de forts courants sous de faibles tensions.. Constitution La constitution du transformateur monophasé est assez simple : c est un quadripôle constitué de deux enroulements entourant un circuit magnétique. Primaire (convention récepteur) Secondaire (convention générateur) a. Inducteur Il est constitué de deux parties : - l enroulement primaire. - Le circuit magnétique. Il est alimenté par une tension alternative, généralement le réseau EDF, il se comporte comme un récepteur. - avec un seul noyau qui porte la totalité de l enroulement primaire. (fig. ) L enroulement primaire est traversé par un champ magnétique variable, il est donc le siège de pertes magnétiques (pertes par courants de Foucault et par hystérésis). On limite : - les pertes par courants de Foucault en utilisant un circuit feuilleté. - Les pertes par hystérésis en utilisant un acier au silicium.

2 b. Induit Dans les représentations, on le laisse apparaître le plus souvent comme s il était bobiné sur un noyau différent du primaire. Il n en est pas ainsi dans la pratique car pour limiter les fuites, on s efforce d enchevêtrer le primaire et le secondaire. A cet effet on utilise les montages suivants : II. CONVENTIONS. Notations Les grandeurs relatives au primaire seront affectées de l indice, celles relatives au secondaire seront affectées de l indice. Nous appellerons : - e et e les f.é.m. induites au primaire et au secondaire. - i et i les intensités du courant primaire et secondaire. - R et R les résistances des enroulements. - N et N les nombres de spires des enroulements. - ϕ et ϕ les flux respectifs traversant chacune des spires du primaire et du secondaire. - R la réluctance du circuit magnétique ( circuit magnétique). R l m oy µ 0. µ r. S, µ perméabilité, S section du

3 . Signes Nous choisirons un sens arbitraire pour le flux (sens d une ligne de champ), les autres signes en découlent. Les sens des courants i et i sont pris de telle façon que les flux créés soient positifs donc additifs. Le primaire est un récepteur, nous adoptons la convention récepteur, le secondaire est un générateur, nous adopterons la convention générateur. e et e ont un sens opposé à ϕ et ϕ car e dφ dt 3. Bornes homologues Les bornes marquées par un point sont dites homologues. Ce sont des bornes telles qu un courant entrant correspond à un flux positif. Les tensions qui pointent vers ces points sont en phase. (cf. figure précédente) Détermination des bornes homologues : - On peut le faire en visualisant les tensions primaires et secondaires. - L autre méthode est la suivante : A C A V C V B D B D Si V < V alors A et D sont des bornes homologues. Si V < V alors A et C sont des bornes homologues. 4. Principe de fonctionnement Les transformateurs utilisent le phénomène d induction électromagnétique : la bobine du primaire est soumise à une tension variable introduisant un champ magnétique variable donc un flux magnétique variable. Grâce au circuit magnétique, la variation de flux magnétique au primaire entraîne une variation du flux au secondaire donc une nouvelle f.é.m. induite variable. 5. Equations générales On peut écrire en valeurs instantanées : 3

4 u R. i + e 0 u R i N d ϕ. +. dt u R. i + e 0 u R i + N d ϕ.. dt ϕ et ϕ représentent respectivement les flux par spire des enroulements primaire et secondaire. On va transformer ces relations en faisant apparaître le flux ϕ commun aux deux enroulements, flux que l on appelle flux utile. ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ + Si l et l désignent les inductances de fuites du primaire et du secondaire, on a par définition : N.. i N.. i ϕ D autre part, si on applique le théorème d Ampère : ϕ H. dl I L µ. S D où H. L I avec ϕ B.S et B µ.h Donc I. ϕ ( ou encore I R ϕ loi d' Hopkinson ) On a donc les relations générales suivantes : di u R i N d ϕ dt dt di u R i N d ϕ dt dt ( ) ( ) N. i + N. i R. ϕ ( 3) III. TRANSFORMATEUR PARFAIT. Définition Le transformateur parfait (ou idéal) est un transformateur pour lequel on néglige : - les pertes par effet Joule on considère que R et R sont nulles. - les pertes magnétiques, c est-à-dire les pertes par hystérésis et les pertes par courants de Foucault. Cela revient à considérer que la caractéristique du matériau magnétique est une droite. 4

5 - la réluctance du circuit magnétique est nulle R 0. Cela signifie que la perméabilité du circuit magnétique est infinie ou qu il n y a pas de fuites :. Formule de Boucherot ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0 Les relations (), () et (3) deviennent pour un transformateur parfait : u N d ϕ. dt u N d ϕ. dt ( 4) ( 5) N. i + N. i 0 ( 6) Le flux commun qui traverse chacune des spires du primaire et du secondaire étant sinusoïdal, il est de la forme : ϕ Φ.sin( ω t) ( 7) En utilisant (4) et (7), on obtient u N. Φ. ω.cos( ω t) ( ) mais u peut s écrire sous la 7 forme : u U..cos( ω t) et comme on a ω πf et Φ B. S, en identifiant on obtient : π U. N. Φ. f Soit U 4, 4 4. N. S. f. B 3. Relation entre les tensions et entre les courants On définit le rapport de transformation comme le quotient entre le nombre de spires du secondaire et le nombre de spires du primaire. m N N 5

6 Soit, en utilisant (4), (5) et (6), on obtient en expressions instantanées : u u i m e t m (8) i Les tensions sont donc en opposition de phase, de même que les intensités. Rem : Les relations (8) sont aussi vraies en notation complexe ou avec les vecteurs de Fresnel correspondants. En valeurs efficaces, elles deviennent : U U I m e t m (9) I Rem : - Si N > N, on dit que le transformateur est élévateur de tension (abaisseur de courant) - Si N < N, on dit que le transformateur est abaisseur de tension (élévateur de courant) 4. Diagramme de Fresnel U I ϕ U ϕ I Rem : ϕ est imposé par la charge et on a ϕ ϕ. 5. Puissances Puissance apparente : au primaire S U.I Au secondaire S U.I En utilisant (9), S mu I ( ) U. I S m Puissance active : au primaire P U.I.cosϕ au secondaire P U.I.cosϕ comme S S et ϕ ϕ, alors P P. Puissance réactive : au primaire Q U.I.sinϕ au secondaire Q U.I.sinϕ comme S S et ϕ ϕ, alors Q Q. P Rendement : η P pour un transformateur parfait. 6

7 6. Circuits équivalents a. Vu de la charge Vu de la charge, le transformateur parfait se comporte comme une source de tension parfaite U E Z C.I b. Vu de l alimentation Vu de l alimentation du transformateur, on a : m U U et m I I et U Z. I C ZC d' où U. m I Le transformateur parfait se comporte donc vu de l alimentation comme un dipôle passif d impédance : Z Z C m 7

8 IV. TRANSFORMATEUR RÉEL. Bilan énergétique P u est la puissance disponible au secondaire (puissance utile pour la charge) P a est la puissance absorbée par le primaire, elle est supérieure à P u, car on doit ici tenir compte des pertes suivantes : - p j : les pertes par effet Joule (dues à R et R ) - p mag : les pertes magnétiques (ou pertes dans le fer p f ) c est-à-dire les pertes par hystérésis et les pertes par courants de Foucault. Rem : - les pertes dans le fer sont proportionnelles à U. - les pertes par effet Joule sont constantes pour un courant I donné.. Chute de tension Contrairement à un transformateur parfait, pour un transformateur réel, la tension U en charge est différente de la tension à vide U 0. U diminue lorsque l intensité I du courant débité au secondaire augmente. La différence entre U 0 et U est la chute de tension au secondaire du transformateur. Cette chute de tension est due aux résistances des enroulements et aux fuites magnétiques. 8

9 La différence U U 0 U est la chute de tension au secondaire du transformateur. 3. Rendement Pu Le rendement s exprime : η Pa On peut déterminer le rendement par deux méthodes comme pour les machines tournantes : - la mesure directe qui consiste à mesurer directement la puissance absorbée et la puissance utile par l intermédiaire de wattmètres. Mais cette méthode n est pas souvent utilisée car elle engendre des essais en charge qui ne sont pas faciles à réaliser quand le transformateur est de grande taille. - La mesure indirecte qui consiste à mesurer les pertes fer par un essai à vide et à mesurer les pertes par effet Joule par un essai en court-circuit. C est la méthode des pertes séparées. A titre d indication, voici l évolution des pertes en fonction du courant I. rem : le rendement est maximal pour p j p f ( point d intersection des deux courbes ) a. Essai à vide Pour effectuer cet essai, il faut que la tension primaire soit égale à la tension primaire nominale U n. Le wattmètre indique une puissance P 0 qui représente la somme des pertes magnétiques et des pertes par effet Joule au primaire (pas au secondaire car I 0 0). L intensité I 0 est très faible (I 0 5% I n ), donc soit on néglige les pertes par effet Joule à vide p j0 devant p f, soit on les retranche à P 0. D où P p + R. I pour U 0 U n 0 f 0 9

10 Si on néglige les pertes par effet Joule à vide devant p f, alors P 0 p f b. Essai en court-circuit La tension au primaire est réglée afin d obtenir au secondaire le courant nominal ( U cc 0% U n ) le wattmètre indique une puissance P cc qui représente la somme des pertes magnétiques et des pertes par effet Joule au primaire et au secondaire. L essai se faisant sous tension réduite les pertes magnétiques sont négligeables (elles sont proportionnelles à U. L essai en court-circuit permet donc de déterminer les pertes par effet Joule. D où P cc p fcc + p jcc p jcc pour I cc I n Rem : les pertes par effet Joule peuvent être calculées aussi par la relation pj R. I + R. I si les résistances du primaire et du secondaire sont connues. c. Rendement pour un fonctionnement nominal η P u P + p + p u f j a v e c P U. I.c o s ϕ u d. Rapport de transformation Comme nous avons une chute de tension : m u e te nv a l e ue rf f i c amc e U 0 u U 0 0

11 V. MODÈLE EQUIVALENT DU TRANSFORMATEUR RÉEL. Linéarisation du circuit magnétique Si on utilise un matériau au silicium, le cycle d hystérésis devient très étroit. De plus, en évitant la saturation et en limitant l amplitude de la tension, on peut associer un modèle linéaire au circuit magnétique, dans lequel les éléments du circuit modélisé sont des constantes indépendantes des courants i et i. Allure à vide de u et i 0 : i 0 n est pas sinusoïdal mais nous allons le supposer.. Modèle à vide A vide, le transformateur se comporte comme une bobine à noyau ferromagnétique, elle peut être modélisée par une résistance R f en parallèle avec une inductance L : R f est traversée par la composante active I 0a du courant I 0. L est traversée par la composante réactive I 0r du courant I 0. Diagramme de Fresnel :

12 3. Modèle en charge Le transformateur fonctionne à flux forcé. Le flux est imposé par U donc B est imposé, d où H est imposée. La valeur instantanée de ce flux conserve la même expression quelque soit la charge. Ce flux créé par les courants i et i dépend de la relation (3) c est-à-dire : N. i + N. i R. ϕ. Cette somme a donc la même valeur en charge qu à vide. A vide, on a : i i 0 et i 0 d où Rϕ N.i 0 à vide. On peut donc écrire l égalité en charge et à vide : N.i + N.i N.i 0 Soit : i -m.i + i 0 4. Modèle complet du transformateur Si nous reprenons les relations générales sans simplification : d i u R i N d ϕ ( ) d t d t d i u R i N d ϕ ( ) d t d t N. i + N. i N. i ( 0) 0 Traduisons ces relations électriques par un schéma électrique en tenant compte du courant magnétisant i 0 5. Modèle de Thévenin vu du secondaire

13 Obtention des éléments de ce modèle - Essai à vide : détermination de E s A vide, on a I 0A on a alors U U 0 E s D où E s U 0 - Détermination des éléments R f et L : Les éléments R f et L peuvent être calculés à partir de l essai à vide : R f U e t Lω I 0a a v e c I U P 0 e t I 0r I 0 I U I 0r 0a - Essai en court-circuit : détermination de Z s, R s et X s. Z s m. U c c Rs I c c o r Z R + jl ω R + j X d o n c X Z R P I c c c c s s s s s s s s 6. Hypothèse de Kapp Dans l hypothèse de Kapp, on considère le circuit magnétique comme parfait et la perméabilité infinie. Ainsi, on néglige les courants de Foucault et le phénomène d hystérésis. On négligé donc le courant I 0, d où le schéma équivalent : 3

14 Dans ces conditions, la relation entre les intensités i et i se simplifie : N.i + N.i 0 D où i -m.i 7. MET du transformateur dans l hypothèse de Kapp L hypothèse de Kapp a pour but de permettre de déterminer les éléments du MET équivalent au transformateur, vu du secondaire, en fonction de U, m, R, R, l et l. On peut montrer que : E m. U U R m. R + R L s s s 0 m Diagramme de Kapp a. Représentation vectorielle On effectue la construction de Fresnel relative à l équation complexe donnée par l approximation de Kapp. U U + R. I + jx. I 0 s s Nous pouvons prévoir la chute de tension au secondaire à l aide de cette construction : o Choisir une échelle pour les tensions et une pour les courants. o o o o Tracer le vecteur U horizontalement Tracer la direction du vecteur I n (l angle ϕ doit être connu) Tracer en partant de U, le vecteur Rs. I n Tracer à partir de ce vecteur le vecteur jx s. I n o Tracer en partant de l origine, le vecteur U 0 o La distance entre l arc et U nous donne la chute de tension au secondaire en charge. 4

15 b. Valeur approchée de la chute de tension au secondaire On peut montrer par une démonstration mathématique que : U U U R. I.cos ϕ + X. I.sinϕ 0 s s 5