Peut-on faire des Mathématiques avec un ordinateur? René DAVID

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1 Peut-on faire des Mathématiques avec un ordinateur? René DAVID

2 Qu est ce que les mathématiques?

3 Qu est ce que les mathématiques? Un peu d histoire Maths = outil pour parler du monde qui nous entoure Maths = des concepts + du calcul + du raisonnement La crise des fondements et l introduction de la logique

4 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur?

5 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? Un peu d histoire Ce qu on sait faire depuis «longtemps» Les limitations dues à la vitesse Les impossibilités «intrinsèques» Des méthodes (ou des ordinateurs ) plus efficaces?

6 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? L aide au raisonnement?

7 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? L aide au raisonnement? Questions et perspectives

8 Qu est ce que les mathématiques? Un peu d histoire

9 Thales de Milet (624 BC BC) Turquie Le «théorème de Thales» lui permet de mesurer la hauteur des pyramides

10 Pythagore (569 BC BC) Grèce - Le carré de l hypoténuse d un triangle rectangle est égal à - La somme des angles d un triangle égale deux angles droits - La diagonale d un carré de côté 1 n est pas un nombre «rationnel»

11 Pythagore (569 BC BC) Grèce - Le carré de l hypoténuse d un triangle rectangle est égal à - La somme des angles d un triangle égale deux angles droits

12 Platon (427 BC BC) Grèce «Le monde est compréhensible car il a été créé par un Dieu qui est un mathématicien»

13 Aristote (384 BC BC) Grèce La logique et ses syllogismes Tous les hommes sont mortels Socrate est un homme Donc Socrate est mortel

14 Euclide d Alexandrie ( 325 BC- 265 BC) Egypte - Fondements axiomatiques de la géométrie «Par un point à l extérieur d une droite, il passe une parallèle à cette droite et une seule» - Le premier algorithme : l algorithme d Euclide du calcul du PGCD de deux nombres

15 Archimède (287 BC BC) Sicile - Calcul de surfaces et volumes - Calcul de π - Poussée d Archimède : tout corps plongé dans un liquide

16 Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi ( ) Irak - Résolution d équations du second degré en utilisant une opération qu il appelait «al-jabr» - Notations algébriques : 3x2+1

17 Fibonacci ( ) Italie Théorie des nombres : La suite de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21, u0 = u1= 1 un+2 = un+1 + un

18 Nicolaus Copernicus ( ) Pologne «Ce n est pas le soleil qui tourne autour de la terre mais la terre qui tourne autour autour du soleil»

19 Galileo Galilei ( ) Italie «Le monde est écrit en langage mathématique»

20 René Descartes ( ) France Suède Géométrie analytique Remplacer le raisonnement géométrique par du calcul sur les coordonnées «cartésiennes» des points.

21 Pierre de Fermat ( ) France Son dernier «théorème» Si n est supérieur ou égal à 3 et xn+yn=zn alors, l un des trois nombres x, y ou z est nul.

22 Blaise Pascal ( ) France - Bases de la théorie des probabilités - Combinatoire : le «triangle de Pascal»

23 Isaac Newton ( ) Angleterre - Les lois de la gravitation - Mouvement des planètes

24 Wilhelm von Leibniz ( ) Allemagne Calcul différentiel et intégral

25 Leonhard Euler ( ) Suisse - Russie - Théorie des nombres - Équations différentielles - Notation pour e, i, π

26 Johann Gauss ( ) Allemagne Méthode générale pour résoudre des systèmes d équations linéaires 2x+3y=5 3x-5y=2

27 Evariste Galois ( ) France La théorie des groupes Inexistence de méthode générale pour résoudre des équations de degré supérieur ou égal à 5.

28 David Hilbert ( ) Russie - Allemagne Il donne, au premier congrès international des mathématiciens en 1900, une liste de 23 problèmes «importants» dont certains sont encore non résolus : - Hypothèse de Riemann - Toutes les maths se ramènent-elles à des calculs finis?

29 Laurent Schwartz ( ) France Théorie des distributions

30 Andrew Wiles ( ) Angleterre Le théorème de Fermat

31 Qu est ce que les mathématiques? Un peu d histoire Maths = outil pour parler du monde qui nous entoure

32 Le temps qu il fera Cryptographie Comment rationaliser les ventes aux enchères Le casse-tête des compagnies aériennes De la géométrie en dimension 11 pour comprendre l univers Théorie du contrôle Des statistiques pour la compréhension des gènes Ondelettes pour la compression des images Les codes correcteurs d erreurs De l ADN à la théorie des nœuds Internet : modéliser le trafic pour mieux le gérer La théorie de la relativité Astronomie (Cf. le fascicule gratuit édité par la SMF et la SMAI : l explosion des mathématiques)

33 Classement des mathématiques en 1868 Histoire et philosophie Théorie des fonctions Algèbre Géométrie analytique Théorie des nombres Géométrie synthétique Calcul des probabilités Mécanique Séries Physique mathématique Calcul différentiel et intégral Géodésie et astronomie

34 Classement des mathématiques en 1979 Un classement en plus de 60 catégories Plus de 3000 sous catégories De la recherche «fondamentale» De la recherche «appliquée»

35 Qu est ce que les mathématiques? Un peu d histoire Un outil pour parler du monde qui nous entoure Des concepts + du calcul + du raisonnement. Calculus = les cailloux que les bergers utilisaient pour compter leurs bêtes

36 Des concepts La notion de continuité, la théorie des groupes, La théorie des espaces vectoriels : nous sommes amenés à nous déplacer sur terre. Des millions d années d évolution ont introduit dans notre cerveau des «algorithmes». Cette théorie est, pour nous, un moyen de décrire ces algorithmes. La théorie du Big Bang est, pour nous, un moyen de décrire ce qui s est passé il y a 15 milliards d années. La théorie de la relativité, la théorie des cordes sont des outils qui nous aident à «comprendre» le monde qui nous entoure

37 Des notations Notation romaine : MCMLXXXVIII (1988) Notation arabe (à partir du 7-ième siècle) : notation de position, introduction d un symbole pour le zéro. Notation algébrique : (a + b)2 = a2+ 2 a b + b2 (le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier augmenté du carré du deuxième et de deux fois le produit de ces deux nombres)

38 Du calcul sur des nombres de plus en plus compliqués N = {0, 1, 2, } Z = {-2, -1, 0, 1, 2, } Q = {1/2, 2/3, -5/6, } R = {π, 2, } C = {(1+2 i), } (J. Cardan, 16-ième siècle )

39 Du calcul et du raisonnement au lycée et dans les premières années de l université Fermat (1635) : Théorie des nombres Descartes (1637) : Géométrie analytique Pascal (1650) : Probabilités Leibniz (1682) : Calcul différentiel et intégral

40 Du calcul et du raisonnement en algèbre, en analyse (u v ) = u v + u v y' ' + ω y = xdx = 1 / 2 2x + 3y = 4x 5 y = 5 7

41 Du raisonnement en géométrie Le théorème de Thales

42 Qu est ce que les mathématiques? Un peu d histoire Des concepts + du calcul + du raisonnement Un outil pour parler du monde qui nous entoure La crise des fondements et l introduction de la logique

43 Le paradoxe de Russel si a = { x / x x} alors a a si et seulement si a a. Le paradoxe de Richard «le plus petit entier qu on ne peut pas définir par une phrase de moins de 30 mots».

44 Giuseppe Peano ( ) Italie Axiomatisation des entiers

45 On peut démontrer des propriétés de tous les entiers en un nombre fini d étapes de raisonnement Principe de récurrence* Si une propriété P est vraie pour n=0 Si on peut montrer P(n+1) en supposant que P(n) est vraie Alors P est vraie pour tout entier (*) apparaît déjà chez Pascal (1650)

46 Cantor ( ) Russie-Allemagne Théorie des ensembles

47 David Hilbert Théorie de la démonstration Peut-on prouver la consistance des axiomes de Peano par des moyens «sûrs», c est-à-dire «finis»? Le raisonnement se ramènet-il à du calcul?

48 Gerhard Gentzen ( ) Allemagne Tchécoslovaquie Preuve de la non contradiction du raisonnement mathématique

49 Les règles de démonstration Si on sait démontrer B en supposant A, alors on sait démontrer A B Si on sait démontrer A B et A, alors on sait démontrer B Si on sait démontrer C en supposant A et si on sait démontrer C en supposant B, alors on sait démontrer (A ou B) C Le raisonnement mathématique n est pas toujours celui de «tous les jours» : Si alors n a pas de sens de «causalité» Un père dit à sa fille «si tu ne manges pas ta soupe tu auras une gifle». La fille mange sa soupe et reçois quand même une gifle

50 Kurt Gödel ( ) Autriche USA - Théorème de complétude - Théorème d incomplétude Gödel et Einstein à Princeton

51 Le théorème de complétude Il existe un système fini de règles de démonstration tel que, pour toute formule F, F est vraie si et seulement si on peut la démontrer en utilisant ces règles

52 Les théorèmes d incomplétude - Aucun système «raisonnable» ne peut caractériser la vérité sur les nombres entiers : il y a des formules vraies mais non démontrables. - On ne peut pas démontrer la non contradiction d un tel système avec les méthodes de ce système.

53 Faillite du programme de Hilbert On ne peut pas prouver la non contradiction des axiomes de Peano par un calcul. Même s il y a des théories* qui se «réduisent» à du calcul, on ne peut pas «tout» faire par le calcul. Il faudra toujours de l intelligence, de l imagination,... (*) par exemple, la géométrie algébrique réelle (Tarski 1935)

54 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? - Un peu d histoire

55 - Calculs à la main

56 - Calculs à la main - En 1614, Neper publie la première table de log

57 - Calculs à la main - En 1614, Neper publie la première table de log - Gunta ( ) et Wingate ( ) inventent la règle à calcul

58 La machine à additionner de Pascal La machine de Leibniz Elle fait les 4 opérations

59 La machine de C. Babbage (1833)

60 Alan Turing ( ) Angleterre - Logique mathématique Machine de Turing (1930) modèle théorique des ordinateurs

61 Alonzo Church ( ) USA Introduction du λ-calcul base mathématique des langages fonctionnels (Lisp, Scheme, Caml,..)

62 John von Neumann ( ) Hongrie USA - L un des pionniers de l informatique. - Il a conçu des automates cellulaires qui «miment» la vie.

63 La machine (électro-mécanique) de H. Aiken (1943) Elle pesait 5 tonnes

64 Les premières machines électroniques (vers 1950)

65 Le premier processeur IBM

66 Un peu plus tard

67 En 1970 on rentrait les données avec des cartes perforées

68 Les premiers ordinateurs personnels (vers 1980)

69 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? Un peu d histoire Ce qu on sait faire depuis «longtemps»

70 Du calcul - Un ordinateur est une machine très «bête» : elle ne sait que manipuler des 0 et des 1. La machine n est pas intelligente, c est le programme imaginé par l homme qui l est - Mais elle manipule fabuleusement vite : opérations à la seconde. C. Delaunay a mis 20 ans pour déterminer le mouvement de la lune. - Maintenant avec Maple, il faut 20 minutes. - Pas assez toutefois

71 - Logiciels - calcul numérique : Mathlab, Scilab, - calcul formel : Mupad, Maple, Mathematica, - Exemple de calculs

72 De la géométrie Logiciels de géométrie cabri-géomètre, Géoplan, Géospace

73 Et même démontrer des théorèmes combinatoires

74 Le théorème des 4 couleurs Toute carte plane peut être coloriée avec 4 couleurs de sorte que 2 régions ayant une frontière commune soient toujours de couleur différente.

75 Le théorème des 4 couleurs Preuve par Appel et Haken en 1976 : de l intelligence mathématique et beaucoup de calcul (10 semaines). En 1995, 20 minutes : des ordinateurs qui vont plus vite mais aussi plus d intelligence mathématique Y a-t-il une preuve qui nécessitera moins de calculs?

76 La conjecture de Kepler Comment disposer des sphères pour «remplir» l espace au maximum?

77 La conjecture de Kepler Question posée vers 1600 Dès 1953 on a compris qu on pouvait se ramener à un gros calcul mais on n avait pas les moyens nécessaires Preuve faite en 1998 mais on n est pas sûr à 100 % qu elle est correcte. Projet d une vérification «informatique» qui prendra plusieurs années.

78 La conjecture de Goldbach «Tout nombre pair est-il la somme de 2 nombres premiers?» Vérification faite jusque Preuve générale???

79 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? Un peu d histoire Ce qu on sait faire depuis longtemps Les limitations dues à la vitesse

80 Combien d opérations un ordinateur qui fait 1014 opérations à la seconde qui calculerait depuis le Big Bang aurait-il fait?

81 Moins de 1032 opérations c est à dire environ le nombre de permutations possibles des entiers de 1 à 31. Il est généralement estimé que notre cerveau, avec ses 1011 neurones fait entre 1013 et 1019 opérations à la seconde.

82 n n n n10 1 suivi de 10 zéros 1 suivi de 20 zéros 2n suivi de 30 zéros 3n suivi de 47 zéros

83 Actuellement, on ne sait pas (exactement) Dire si un nombre (*) est premier ou non Décomposer un nombre (*) en facteurs premiers : application à la cryptographie Résoudre des problèmes du genre «voyageur de commerce» où on cherche le «plus court» chemin pour «visiter» un grand nombre de villes (*) s il a plus de 200 chiffres

84 Une question théorique fondamentale Si on ne connaît pas d algorithmes efficaces pour résoudre ces problèmes Est-ce Parce qu on n a pas été assez malin pour en inventer? Parce qu il n y en a pas? On ne sait pas C est le problème connu sous le nom «P = NP?»

85 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? Un peu d histoire Ce qu on sait faire depuis longtemps Les limitations dues à la vitesse Les impossibilités «intrinsèques»

86 Certains problèmes sont indécidables c est à dire Il n y a pas d algorithmes généraux pour les résoudre

87 x2 + 3 x y - 4 z2+ 5 x3 z = 0 Cette équation a-t-elle une solution à valeurs entières? Yuri Matijasevic (1970)

88 Begin.. Ce programme va-t-il s arrêter?. End A. Turing 1936

89 Peut-on obtenir un rectangle?

90 Pour tout entier n 3, si xn +yn = zn, alors x.y.z=0 Cette formule est elle vraie?

91 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? Un peu d histoire Ce qu on sait faire depuis «longtemps» Les limitations dues à la vitesse Les impossibilités «intrinsèques» Des méthodes (ou des ordinateurs ) plus efficaces?

92 D autres types d algorithmes Algorithmes probabilistes Exemple (test de primalité) : on veut savoir si un nombre est premier ou non. L algorithme de MillerRabin répond (rapidement) oui ou non. S il répond non : le nombre n est pas premier S il répond oui : il est (probablement, mais avec une marge d erreur très petite) premier.

93 D autres types d algorithmes Algorithmes donnant une valeur approchée du résultat Pour le problème du voyageur de commerce, divers algorithmes (rapides) donnent un chemin dont la «longueur» est «proche» de la longueur minimum.

94 D autres types d algorithmes Algorithmes génétiques On utilise des «mariages» entre algorithmes et on sélectionne les «bébés» les plus efficaces. Après plusieurs milliers de «générations» on obtient de bons algorithmes.

95 Des ordinateurs utilisant d autres principes Ordinateurs quantiques Un ordinateur quantique opère ses calculs grâce à la superposition d'états quantiques.

96 Des ordinateurs utilisant d autres principes Ordinateurs à base moléculaire Adleman a construit un ordinateur à ADN qui a résolu une version du problème du voyageur de commerce. L'ordinateur à ADN a mis une semaine, là où un ordinateur classique aurait mis des années.

97 Des ordinateurs utilisant d autres principes Parallélisme De nombreux ordinateurs travaillent «ensemble», mais il faut toujours un «chef» et beaucoup de temps est perdu dans la coordination.

98 Des ordinateurs utilisant d autres principes Automates cellulaires

99 Des ordinateurs utilisant d autres principes Ces divers modèles cherchent à augmenter la vitesse d exécution Des problèmes qui étaient «indécidables» avec les modèles actuels vont-ils devenir décidables?

100 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? L aide au raisonnement?

101 Assistants de démonstration Coq, Isabelle, PVS, Mizar, PhoX,... Ils savent prouver «seuls» des résultats simples. Mais, malgré les progrès, on est encore très loin de l homme Un exemple avec PhoX - avec le langage de commandes actuel - en français

102 Des preuves de théorèmes faites sur machine Le théorème d Alembert : tout polynôme à coefficients complexes a une racine Le. théorème de Gödel

103 Un exemple avec PCoq (F. Guilhot) Des démonstrations formelles de résultats géométriques Formalisme utilisé dans le démonstrateur Lemma paralleles_vecteur : (A, B, C, D : PO) & ~( A B ) & ~(C == D ) -> (paralleles (droite A B) (droite C D)) -> (ext? [k : R] (vec A B) == (mult_pp k (vec C D)) ). Traduction automatique dans des versions plus proches du langage courant

104 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? L aide au raisonnement? Questions et perspectives Besoin de preuves formelles

105 Nécessité de prouver les programmes pour éviter les «bugs»

106 Suite à une erreur, le système a inopinément quitté cette application. Les données non sauvegardées seront perdues.

107 Suite à une erreur, le système a inopinément quitté cette application. Les données non sauvegardées seront perdues. Explosion d Ariane 5

108 Suite à une erreur, le système a inopinément quitté cette application. Les données non sauvegardées seront perdues. Explosion d Ariane 5 Bug d excel : En tapant dans une case : , on obtenait : 64

109 Nécessité de prouver les programmes Depuis 1995, en Europe, les ITSEC (critères harmonisés d évaluation de la sécurité des systèmes informatiques) exigent l usage de méthodes formelles à partir d un certain niveau de sécurité. Transports, médecine Banques, Télécommunications,...

110 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? L aide au raisonnement? Questions et perspectives Besoin de preuves Faut-il faire des maths avec des ordinateurs?

111 Eviter les erreurs de raisonnement Très souvent, quand on formalise des preuves, on y trouve des erreurs Pour des résultats qui sont «sûrement» corrects, est-ce utile de faire des preuves «formelles»? Des «gros» théorèmes, où la part du calcul est faible, ont été prouvés sur ordinateur mais il a fallu beaucoup de temps : un an pour le théorème de D Alembert. Comment se convaincre que la preuve du théorème de Fermat est correcte? Celle de la conjecture de Kepler?

112 Outils pédagogiques Expériences avec les étudiants de Deug et de licence de maths de l université Cf. article paru dans la revue «Quadrature» ou ma page web

113 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? L aide au raisonnement? Questions et perspectives Besoin de preuves Faut-il faire des maths avec des ordinateurs? Faut-il encore faire des mathématiques? Y a-t-il encore des choses à trouver en Maths?

114 Les ordinateurs «savent faire» plus de choses (et plus vite) qu un étudiant ayant un Deug de Maths? «Avec les calculatrices, les mathématiques ne servent plus à rien» C. Allègre (ancien ministre de l éducation) Il a perdu une bonne occasion de se taire, car

115 On a besoin de mathématiques le calcul = la partie «sans intelligence» il faut remplacer la vitesse par l intelligence car la machine n ira jamais assez vite ce qui donne de meilleurs algorithmes, c est des maths difficiles (ex : un test de primalité «efficace» a été inventé en 2002)

116 Qu est ce que les mathématiques? Que peut-on faire avec un ordinateur? L aide au raisonnement? Questions et perspectives Besoin de preuves Faut-il faire des maths avec des ordinateurs? Faut-il encore faire des mathématiques? Y a-t-il encore des choses à trouver en Maths? D autres questions auxquelles je n ai pas de réponses

117 Un théorème est un énoncé qui peut se «prouver» en utilisant les règles de la logique? publié dans une revue mathématique avec comité de lecture. Autrement dit, un énoncé reconnu comme vrai (et intéressant) par les mathématiciens. Les théorèmes prouvés en utilisant des gros calculs faits sur machine sont-ils réellement «prouvés»? Y a-t-il des erreurs dans le programme?

118 Les maths vont-elles devenir des calculs de plus en plus gros? Les ordinateurs font-ils des maths? Ils en font comme les télescopes font de l astronomie L univers est-il «géré» par un automate cellulaire «très simple»? (Wolfram 2002)

119 FIN

120 Bibliographie Histoire des maths - J.Dhombres & : Mathématiques au fil des âges - Sur le Web : Mactutor (en anglais) ou chronomath (en français) - A. Ducrocq & A. Warusfel : Les mathématiques Plaisir et nécessité A quoi servent les Maths - Fascicule publié par la SMF et la SMAI Logique et Informatique - JP. Delahaye : Information complexité et hasard - `` `` : Logique, informatique et paradoxes : L intelligence et le calcul. De Gödel aux ordinateurs quantiques Théorie de la démonstration - G. Dowek : La logique - R.David & K.Nour & C.Raffalli : Introduction à la logique. Théorie de la démonstration