Logique des prédicats (LP 1 ) Exercices

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1 Logique des prédicats (LP 1 ) Exercices Logique Licence SDL Exercice 1 Pr chacune des formules suivantes, dites : 1. s il s agit (globalement) d une négation, d une conjonction, d une disjonction, d une implication, d une formule universelle d une formule existentielle 1 ; 2. quelle est la portée de chaque quantificateur ; 3. quelles sont les occurrences de variables libres (s il y en a). Pr pimenter l exercice, les parenthèses des plus extérieures on été omises : ainsi une formule (ϕ ψ) est écrite ϕ ψ. a. x(axy Bx) f. Bx ( y( Axy Bx) Cy) b. xaxy Bx c. x yaxy Bx d. x( yaxy Bx) e. x yaxy Bx g. x(axy By) h. xaxx yby i. x y((axy By) zcxz) j. x( yayx By) Exercice 2 On modélise sommairement le système solaire par le modèle suivant. Le domaine pris en compte contient les neuf planètes et le Soleil. On se donne les constantes suivantes : s 0 : le Soleil, m 1 : Mercure, v : Vénus, t : la Terre, l : la Lune, m 2 Mars, j : Jupiter ; s 1 : Saturne ; u : Uranus ; n : Neptune, p : Pluton. Cet ordre représente la proximité relative par rapport au Soleil (Pluton est la plus éloignée et Mercure la plus proche). Voici les tailles relatives des planètes : Lune < Mercure < Mars < Pluton < Vénus < Terre < Neptune < Uranus < Saturne < Jupiter. P x : x est une planète (du système solaire) ; T x : x trne autr de la Terre ; Mxy : x est plus petit ( aussi grand) que y Sxy : x est plus proche ( à égale distance) du Soleil que y Traduire en LP 1 : a. Vénus est une planète. b. Le Soleil n est pas une planète. 1. Sachant que chaque formule ne peut être que d un seul de ces types à la fois. 1

2 c. Le Soleil trne autr de la Terre. d. Certaines planètes sont plus petites que la Terre. e. Ttes les planètes sont plus petites que Saturne. f. Rien n est plus petit que la Lune. g. Mercure est la planète la plus proche du Soleil. h. Mars est plus loin du Soleil que Pluton. i. Si quelque chose est plus éloigné du Soleil que Pluton, alors ce n est pas une planète. j. Si le Soleil trne autrs de la Terre, alors il est plus petit que celle-ci. k. S il n y a pas de planète plus grande que la Terre, alors la Terre est plus grande que Jupiter. l. La Lune est une planète mais certaines choses ne sont pas des planètes. m. Ttes les planètes ne trnent pas autr de la Terre. n. Aucune planète n est plus petite que Mercure. o. Il n y a pas de planète qui soit plus grande que la Terre tt en étant plus proche du Soleil qu elle. p. Il existe une planète telle que tt objet plus proche du Soleil qu elle, est plus petit qu elle. q. Aucune planète n est à la fois plus petite qu Uranus et plus éloignée du Soleil qu elle. r. Si ttes les planètes trnent autr de la Terre, alors Neptune aussi. Dites si ces prases sont vraies dans le modèle donné (en justifiant). Exercice 3 Traduire en LP 1 les phrases ci-desss en utilisant les cinq prédicats suivants : Mxy est vrai ssi x mange y ; Hx est vrai ssi x est un herbivore ; V x est vrai ssi x est un (type de) végétal ; Bx est vrai ssi x est un bamb ; P x est vrai ssi x est un panda. a. Les herbivores mangent des végétaux. b. Les herbivores ne mangent que des végétaux. c. Aucun herbivore ne mange tt type de végétal. d. Il y a des végétaux que ne mange aucun herbivore. e. Certains herbivores ne mangent pas de bamb. f. Les pandas sont des herbivores qui ne consomment que des bambs. Comment traduiriez-vs en français la formule suivante? g. x( y(mxy By) P x) 2

3 Exercice 1 Ns encadrons chaque quantificateur et sa portée. Les variables libres sont notées en gras (x). a. x(axy Bx) formule existentielle b. xaxy Bx conjonction c. x yaxy Bx implication d. x( yaxy Bx) formule existentielle e. x yaxy Bx implication f. Bx ( y( Axy Bx) Cy) implication g. x(axy By) négation h. xaxx yby disjonction i. x y((axy By) zcxz ) formule universelle j. x( yayx By) formule universelle Exercice 2 P v a. Vénus est une planète. b. Le Soleil n est pas une planète. P s 0 c. Le Soleil trne autr de la Terre. T s 0 d. Certaines planètes sont plus petites que la Terre. x(p x Mxt) e. Ttes les planètes sont plus petites que Saturne. x(p x Mxs 1 ) f. Rien n est plus petit que la Lune. xmxl x Mxl g. Mercure est la planète la plus proche du Soleil. x((p x Sxm 1 ) x = m 1 ) h. Mars est plus loin du Soleil que Pluton. Spm 2 Sm 2 p i. Si quelque chose est plus éloigné du Soleil que Pluton, alors ce n est pas une planète. x(spx P x) (attention donkey-sentence) j. Si le Soleil trne autrs de la Terre, alors il est plus petit que celle-ci. (T s 0 Ms 0 t) 3

4 k. S il n y a pas de planète plus grande que la Terre, alors la Terre est plus grande que Jupiter. ( x(p x Mtx) Mjt) ( x(p x Mxt) Mjt) l. La Lune est une planète mais certaines choses ne sont pas des planètes. P l x P x m. Ttes les planètes ne trnent pas autr de la Terre. x(p x T x) n. Aucune planète n est plus petite que Mercure. x(p x Mxm 1 ) x(p x Mxm 1 ) o. Il n y a pas de planète qui soit plus grande que la Terre tt en étant plus proche du Soleil qu elle. x(p x (Mtx Sxt)) x(p x ( Mtx Sxt)) p. Il existe une planète telle que tt objet plus proche du Soleil qu elle, est plus petit qu elle. x(p x y(syx Myx)) q. Aucune planète n est à la fois plus petite qu Uranus et plus éloignée du Soleil qu elle. x(p x (Mxu Sux)) x(p x (Mux Sxu)) r. Si ttes les planètes trnent autr de la Terre, alors Neptune aussi. ( x(p x T x) T n) Exercice 3 Les traductions ne sont pas tjrs uniques. Remarque : ici, «les» s interprète comme une quantification universelle («ts les»). a. Les herbivores mangent des végétaux. x(hx y(v y Mxy)) Pr vs aider, vs pvez commencer en remplaçant les herbivores par un nom propre ; ex : Alfred mange des végétaux. Ce qui donne : x(v x Max). Autre solution possible (logiquement équivalente) : x y(hx (V y Mxy)) Attention, la formule suivante n est pas une très bonne traduction : y x(hx (V y Mxy)) car ça vdrait dire que ts les herbivores mangent (au moins) le même type de végétal (ce qui est beaucp restreint que la formule précédente). b. Les herbivores ne mangent que des végétaux. x y((hx Mxy) V y) C es-à-dire, à peu près : «tt ce que peut manger un herbivore est végétal». c. Aucun herbivore ne mange tt type de végétal. Ca signifie qu il n existe pas d herbivore qui mange tt type de végétal (on a ainsi isolé la négation, c est plus facile) : x(hx y(v y Mxy)) (équivalent) : x y(hx (V y Mxy)) 4

5 On peut aussi faire voyager la négation : x y(hx (V y Mxy)) (pr tt herbivore, il ne mange pas ts les végétaux) x y (Hx (V y Mxy)) (pr tt herbivore, il y a au moins un végétal qu il ne mange pas) x y(hx (V y Mxy)) d. Il y a des végétaux que ne mange aucun herbivore. x(v x y(hy Myx)) x y(v x (Hy Myx)) e. Certains herbivores ne mangent pas de bamb. x(hx y(by Mxy)) f. Les pandas sont des herbivores qui ne consomment que des bambs. x(p x (Hx y(mxy By))) x(p x y(hx (Mxy By))) x y(p x (Hx (Mxy By))) g. x( y(mxy By) P x) : si tt ce que mange x est du bamb, alors x est un panda (quel que soit x) : si x ne mange que du bamb, alors x est un panda (pr tt x) : il n y a que les pandas qui ne mangent que du bamb. 5