LES NOMBRES RELATIFS

Transcription

1 LES NOMBRES RELATIFS OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS : MULTIPLICATION ET DIVISION Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Dossier n 3 Juin 2005 Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE

2 C.D.R. AGRIMEDIA LES NOMBRES RELATIFS : - Multiplication - Division Apprentissage Objectif : - Savoir effectuer des multiplications et des divisions sur des nombres relatifs Contenu : - Savoir calculer le produit de deux nombres relatifs - Savoir calculer le produit de plusieurs nombres relatifs - Savoir diviser des nombres relatifs - Exercices de synthèse Pré-requis : ( voir dossier n 1 ) - Les nombres relatifs LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 1

3 MULTIPLICATION DE NOMBRES RELATIFS Chapitre 1 RAPPEL On appelle produit, le résultat d'une multiplication. 1 er exemple : 6 est le produit de 2 et 3 car 2 x 3 = 6 2 et 3 sont appelés facteurs du produit 2 ème exemple : 5 x 4 x 10 = est le produit de 5, 4 et 10 5, 4 et 10 sont les facteurs du produit I - PRODUIT DE DEUX NOMBRES RELATIFS Multiplier deux nombres relatifs POSITIFS ne pose guère de problème... Ainsi, pour multiplier par exemple ( + 7,2 ) par ( + 11 ) il faut multiplier les valeurs absolues entre elles : 7,2 x 11 = 79,2 et donner le signe + au résultat car les 2 nombres sont positifs ; d'où : ( + 7,2 ) x ( + 11 ) = ( + 79,2 ) La valeur absolue du produit de deux nombres relatifs est le produit des deux valeurs absolues. Ainsi, la valeur absolue du produit de : ( + 4 ) et ( - 3,5 ) est 14 car 4 x 3,5 = 14 ( - 10 ) et ( - 5 ) est 50 car 10 x 5 = 50 ( - 8 ) et ( + 7 ) est 56 car 8 x 7 = 56 Mais quel signe devons-nous donner au résultat? LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 2

4 Appliquons la règle des signes qui se résume par le tableau suivant : Signe du 1 er nombre relatif Signe du 2 ème nombre relatif Signe du produit Règle Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif Reprenons les exemples précédents : ( + 4 ) x ( - 3,5 ) =? Effectuons le produit des valeurs absolues : 4 x 3,5 = 14 d'après la règle des signes : les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif ( + 4 ) x ( - 3,5 ) = - 14 ( - 10 ) x ( - 5 ) =? Effectuons le produit des valeurs absolues : 10 x 5 = 50 d'après la règle des signes : les nombres relatifs sont de même signe, le résultat est donc un nombre positif ( - 10 ) x ( - 5 ) = + 50 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 3

5 ( - 8 ) x ( + 7 ) =? le produit des valeurs absolues est : 8 x 7 = 56 d'après la règle des signes : les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif ( - 8 ) x ( + 7 ) = - 56 On retiendra : Pour obtenir le résultat du produit de 2 nombres relatifs, on commence par multiplier les 2 valeurs absolues, puis pour trouver le signe du résultat, on applique la règle suivante : Le produit de 2 nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif Exemples : - 5 x - 2 = x + 2 = + 10 Le produit de 2 nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif Exemples : - 5 x + 2 = x - 2 = - 10 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 4

6 Maintenant à vous! Calculez : ( - 3,1 ) x ( + 7,2 ) = ( - 7 ) x ( - 4,3 ) = ( + 1 ) x ( - 4,2 ) = ( + 4 ) x ( + 3,42 ) = ( - 7 ) x ( + 8,4 ) = ( - 1 ) x ( - 5,1 ) = ( - 5,2 ) x 0 = ( + 3,5 ) x ( - 2,9 ) = ( - 13 ) x ( - 12 ) = Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 5

7 RÉPONSES ( - 3,1 ) x ( + 7,2 ) = - 22,32 ( - 7 ) x ( - 4,3 ) = + 30,1 ( + 1 ) x ( - 4,2 ) = - 4,2 ( + 4 ) x ( + 3,42 ) = + 13,68 ( - 7 ) x ( + 8,4 ) = - 58,8 ( - 1 ) x ( - 5,1 ) = + 5,1 ( - 5,2 ) x 0 = 0 ( + 3,5 ) x ( - 2,9 ) = - 10,15 ( - 13 ) x ( - 12 ) = Très bien! Passons à la suite!! LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 6

8 II - PRODUIT DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS Exemples ( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) =? Effectuons le produit des valeurs absolues : 5 x 2 x 4 = 40 puis indiquons le signe du résultat. Nous avons vu précédemment la règle des signes à appliquer pour le produit de deux nombres relatifs : ( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) puis - x - ( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) = ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) =? Effectuons le produit des valeurs absolues : 2,5 x 3 x 5,3 x 8,1 = 321,975 puis indiquons le signe du résultat : ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) puis : + x - puis : ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) = - 321,975 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 7

9 Remarque : Autre méthode : pour connaître le signe d'un produit de plusieurs facteurs, on peut compter le nombre de signes - Si nous en trouvons un nombre pair ( 0 ; 2 ; 4... ) le produit est positif. Si nous en trouvons un nombre impair ( 1 ; 3 ; 5... ) le produit est négatif. Exemple 1 : ( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) =? Il y a deux signes -, le produit est donc positif. Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues. ( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) = + 56,576 Exemple 2 : ( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) =? Il y a trois signes -, le produit est donc négatif. Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues. ( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) = - 129,87 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 8

10 Maintenant à vous! Exercice 1 Sans calculer les produits suivants, indiquez le signe de chacun d'eux après avoir compté le nombre de signes - PRODUITS Nombre de signes - Ce nombre est-il pair ou impair? Signe du produit + ou - Exemple : ( + 2,5 ) x ( - 5 ) x ( + 3,2 ) x ( - 12,6 ) 2 pair + ( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 ) ( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 ) ( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 ) ( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 ) ( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 ) Exercice 2 Trouvez sans opération, le signe qui manque dans les égalités suivantes : ÉGALITÉS Entourez le signe manquant Exemple : ( - 2,3 ) x (? 2,7 ) x ( + 56 ) = + 347,76? = + ou - ( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x (? 2 ) = ? = + ou - ( ) x ( - 5 ) x (? 3,22 ) x ( + 4 ) = ? = + ou - ( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x (? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28? = + ou - ( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x (? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702? = + ou - ( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x (? 8,6 ) x ( - 81 ) = ,46? = + ou - NB Dans l exemple la bonne réponse est «-» car le produit est positif, il faut donc un nombre pair de signes «-». Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 9

11 RÉPONSES Exercice 1 PRODUITS Nombre de signes - Ce nombre est-il pair ou impair? Signe du produit + ou - ( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 ) 3 impair - ( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 ) 4 pair + ( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 ) 2 pair + ( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 ) 5 impair - ( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 ) 1 impair - Exercice 2 ÉGALITÉS Entourez le signe manquant ( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x (? 2 ) = ? = + ou - ( ) x ( - 5 ) x (? 3,22 ) x ( + 4 ) = ? = + ou - ( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x (? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28? = + ou - ( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x (? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702? = + ou - ( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x (? 8,6 ) x ( - 81 ) = ,46? = + ou - LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 10

12 Maintenant à vous! Calculez les produits suivants : ( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 ) = ( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 ) = ( + 3,1) x ( - 5,2 ) x ( - 10 ) = ( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 ) = ( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 ) = ( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 ) = ( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0 = ( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 ) = ( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 ) = ( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 ) = ( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 ) = ( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 ) = ( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 ) = ( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) = ( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) = Conseil : vous pouvez relire la page 8 Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 11

13 RÉPONSES ( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 ) = + 60 ( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 ) = - 96 ( + 3,1 ) x ( - 5,2 ) x ( - 10 ) = + 161,2 ( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 ) = - 29,4 ( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 ) = - 25,6 ( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 ) = ( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0 = 0 ( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 ) = + 112,896 ( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 ) = - 643,5 ( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 ) = - 21,84 ( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 ) = + 224,75 ( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 ) = + 655,2 ( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 ) = - 91,2 ( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) = ,875 ( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) = 0 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 12

14 DIVISION DE NOMBRES RELATIFS Chapitre 2 Maintenant, qu en est-il de la division de deux nombres relatifs? DIVISION DE DEUX NOMBRES RELATIFS Exemple : ( - 5,4 ) ( - 4 ) =? on peut aussi écrire : - 5,4-4 =? Pour diviser deux nombres relatifs, nous devons diviser les valeurs absolues. 5,4 4 = 1,35 puis appliquer la même règle des signes que pour la multiplication. Ici le résultat de la division est positif car les signes sont les mêmes. ( - 5,4 ) ( - 4 ) = + 1,35 ou : - 5,4-4 = + 1,35 Autre exemple : =? Divisons les valeurs absolues 14 5 = 2,8 Appliquons la règle des signes : les deux nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc négatif = - 2,8 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 13

15 Maintenant à vous! Calculez les quotients suivants : RAPPEL : le résultat d une division s appelle le QUOTIENT ( - 7 ) ( + 8 ) = ( + 14 ) ( - 3,5 ) = ( - 14 ) ( - 5 ) = ( + 7 ) ( + 4 ) = ( + 13,188 ) ( - 2,8 ) ( - 31,6 ) ( - 0,4 ) = = ( ) ( - 0,4 ) = ( + 48,96 ) ( - 0,9 ) = ( - 3 ) ( + 8 ) = ( - 75 ) ( + 5 ) = ( + 36 ) ( - 9 ) = - + ( + 1 ) ( + 0,5 ) = Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 14

16 RÉPONSES ( - 7 ) ( + 8 ) = - 0,875 ( + 14 ) ( - 3,5 ) = - 4 ( - 14 ) ( - 5 ) = + 2,8 ( + 7 ) ( + 4 ) = + 1,75 ( + 13,188 ) ( - 2,8 ) ( - 31,6 ) ( - 0,4 ) = - 4,71 = + 79 ( ) ( - 0,4 ) = ( + 48,96 ) ( - 0,9 ) = - 54,4 ( - 3 ) ( + 8 ) = - 0,375 ( - 75 ) ( + 5 ) = - 15 ( + 36 ) ( - 9 ) = ( + 1 ) ( + 0,5 ) = + 2 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 15

17 EXERCICES DE SYNTHÈSE Chapitre 3 Calculez : a ) ( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) =? b ) ( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ( - 2,5 ) =? c ) ( - 15,4 ) x ( - 2 ) ( + 0,8 ) x ( + 2,5 ) =? d ) ( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ( + 9,36 ) =? e ) ( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) =? f ) ( + 30,1 ) x ( + 1,5 ) ( - 5 ) x ( + 3,01 ) =? Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 16

18 RÉPONSES a) ( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) = + 45,12 b) ( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ( - 2,5 ) = + 2,048 c) ( - 15,4 ) x ( - 2 ) + 30,8 = ( + 0,8 ) x ( + 2,5 ) + 2 = + 15,4 d) ( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ( + 9,36 ) = - 6,25 e) ( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) = - 352,8 f) ( + 30,1 ) x ( + 1,5 ) + 45,15 = ( - 5 ) x ( + 3,01 ) - 15,05 = - 3 Fin LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 17