3. Activité en 2 nde : «Recherche de «N» tel que la somme de 1 à N soit égale à un nombre donné»

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1 3. Activité en 2 nde : «Recherche de «N» tel que la somme de 1 à N soit égale à un nombre donné» a. Énoncé 1 er encadré 1. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 6? 2. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 8? 3. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 10? 4. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 21? 5. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 24? 6. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 55? 7. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 210? 8. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 1275? 9. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à 5050? 10. Existe-t-il un nombre N tel que la somme S de 1 à N soit égale à ? Seules les réponses à ces 10 questions sont attendues dans cet encadré. Si oui, précisez la valeur de N : Quelles sont les questions auxquelles vous avez pu répondre par un calcul à la main? Quel instrument avez vous utilisé pour obtenir les résultats manquants? Pourquoi? Expliquez vos étapes de réflexion : 54

2 2 ème encadré Que remarquez-vous si l on double chacun des résultats de la somme? Indiquer si vous avez utilisé un instrument et comment. Quelle résultat/relation peut-on conjecturer de la somme S de 1 à N? S= Rechercher (trouver) une preuve de votre conjecture? Montrer que cette relation est équivalente à Remarques : D après la 1 ère question de l énoncé, on constate bien que 3 est une solution de D après la 3 ème question de l énoncé, on constate bien que 4 est une solution de Et ainsi de suite Résoudre les équations suivantes : Remarques 1) Cet énoncé est proposé en deux temps : Le premier encadré est proposé en classe par groupe sous forme de problème ouvert. Le deuxième encadré est proposé comme devoir à la maison dans un autre but que ce TraAM. 2) Outre le lien au calcul littéral, le 2 ème encadré a pour but d amener à la découverte des équations polynômes du second degré par la résolution d équations particulières. 55

3 b. Contexte et tableau récapitulatif Enoncé Recherche d un entier N tel que la somme de 1 à N soit égale à un nombre donné Niveau concerné Activité proposée en 2 nde (mais collège concerné) Période de l année 3 ème trimestre (avec préparation au 1 er trimestre) Durée et organisation Logiciels utilisés/ matériels Prérequis Objectifs généraux 50 min en binôme (ou trinôme). La rédaction a été finalisée en devoir à la maison. Tableur Calculatrice Algorithmique Les élèves ont été confrontés à la conception d un algorithme calculant la somme de 1 à dans une première phase d apprentissage afin d être sensibilisés au concept de boucle 7. Ils doivent être familiarisés aux notions de critères de divisibilité, au développement et à la réduction d expressions. Développer une démarche d investigation à l aide des TICE Développer l autonomie par une utilisation raisonnée de l informatique. Compétences de calculs développées Calcul mental Calcul à l aide de la calculatrice Calcul instrumenté 6 Voir le paragraphe IV.3.f de ce document. 7 Cf document ressource d Algorithmique rédigé par le groupe académique de la Réunion : 56

4 c. Objectifs et analyse a priori Généraux Les élèves doivent «résoudre un problème». Il s agit de résoudre un problème faisant intervenir le calcul littéral, d établir des conjectures, des stratégies et la découverte, au final, d une nouvelle notion du programme de seconde : les expressions polynômiales du second degré. Les élèves doivent également apprendre à communiquer en groupe. Le but est d apprendre à intégrer un nouvel outil informatique dans un mécanisme de recherche rapide de solution et à faire des choix décisifs dans ce panel agrandi d outils au travers d un problème lié au calcul. En sus, le but se complète de la découverte d une nouvelle notion. Calculs manuels «compétences» développées Les calculs ont été choisis de telle manière à ce que les élèves puissent donner les résultats des premiers calculs mentalement (de la 1 ère à la 3 ème question). Cela est notamment clairement demandé aux élèves lors de la phase de réflexion. D autres calculs peuvent être faits à la main (de la 4 ème à la 6 ème question). Pour formuler la conjecture, les élèves doivent faire la relation entre le double de la somme demandée et le N grâce aux notions de critère de divisibilité. Pour prouver cette conjecture, les élèves peuvent faire une recherche sur internet ou à l aide des manuels. Calculs instrumentés Influence des outils Les calculs répétitifs et de difficulté croissante par rapport à un calcul mental ou posé doivent inciter les élèves à utiliser le calcul instrumenté. Les élèves doivent d abord avoir compris le but du problème et s être engagés sur les premiers calculs à la main, mentalement. Le choix peut alors se porter sur l utilisation d un tableur ou de l algorithmique dont voici un exemple de réponse attendu : Le tableur Il s agit de créer une première colonne énumérant les nombres de 1 à un certain N que l on fera évoluer suivants les besoins. La deuxième colonne calculera à chaque ligne N la somme de 1 à N avec la formule =somme(a$2 :A «N»). N.B. : On n oubliera pas de «fixer» la ligne de départ avec «$». On retrouvera rapidement les réponses aux questions 6 et 7 entourées en rouge. 57

5 L algorithmique par tâtonnement Lors d une précédente séance, les élèves ont conçu l algorithme qui calcule la somme de 1 à 100, afin d introduire la boucle «tant que». Il serait alors envisageable de tâtonner en exécutant le programme autant de fois que nécessaire en changeant la valeur 100 par un N souhaité jusqu à trouver ou encadrer la valeur de S demandée. Voici l algorithme élaboré en classe : 58

6 L algorithmique : solution experte Il est aussi possible d imaginer un algorithme qui recherche de lui même la valeur N demandée et ainsi éviter la phase de tâtonnement. En voici une version : N.B. : Il serait aussi possible, afin de répondre à la compétence «comprendre et analyser un algorithme» de le donner aux élèves et de leur demander ce que cet algorithme fait en leur proposant des valeurs de S bien ciblées. Cette analyse d algorithme se fera par l élaboration de traces «pas à pas». Pour la première question du devoir maison, intitulée : «Que remarquez-vous si l on double chacun des résultats de la somme?», on trouvera une solution «tableur» qui permet d établir plus facilement une conjecture grâce au grand nombre de solutions. Nous avons fait évoluer le premier tableau en ajoutant une colonne «2 fois la somme» et après avoir constaté que N divise 2S, la dernière colonne nous permet de conjecturer que le résultat de la division est N+1. 59

7 d. Différentes phases du déroulement en classe Durée approximative : 50min Phases Rôle du professeur Rôles de l élève Phase 1 : 5 min Observer les réponses d élèves Débuter la résolution du Recherche individuelle sur papier problème sous forme d une narration de recherche. Phase 2 : 10 min Travail de groupe sur papier Phase 3 : 25 min Travail de groupe avec éventuelle utilisation d instrument Observer les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe Laisser les groupes les plus autonomes. Au bout de 5 min, distribution d aides liées à la compréhension du sujet. Mise à disposition de l outil informatique sur demande et justifications. Echanger, discuter des diverses solutions, stratégies. Bâtir une solution commune dans le choix de l outil informatique. Choisir un porte-parole pour la phase de débat. Utilisation d un logiciel adapté pour l automatisme des calculs. Phase 4 : 10 min Synthèse - Solution Si les élèves n y sont pas arrivés, amener les élèves à la solution par des questions. Participer à l animation du professeur Ecrire ce qu ils ont retenu de l activité e. Analyse a posteriori Phase 1 : Une bonne proportion de la classe (de 2 nde ) a éprouvé des difficultés de compréhension de l énoncé et l erreur de compréhension a été exactement identique pour l ensemble de ces élèves. L erreur porte sur la compréhension linguistique du terme «somme de 1 à N» (terme pourtant déjà expliqué lors de la séquence algorithmique de la somme de 1 à 100). L élève a clairement confondu «somme de 1 et N» et «somme de 1 à N». 60

8 La réponse est déjà au format demandé par la question, mais l erreur de compréhension est la même. Encore la même erreur mais on notera déjà une solution instrumentée préparée. 61

9 Remédiation : travail sur le français, et la recherche d une expression synonyme de «somme de 1 à N». Réponse souvent entendue : «somme de 1 jusqu à N». Application pour la «somme de 1 à 5» pour confirmer leur compréhension. Autre question posée : La dépendance des questions : est-ce le même N dans chaque question? Phase 2 : Un seul groupe a proposé l utilisation du tableur. Un seul groupe a tenu à rechercher toutes les solutions «à la main» et s est interdit l utilisation de logiciel. Tous les autres groupes ont cherché un algorithme qui répond à la question tout en se remémorant qu un algorithme similaire a déjà été étudié en classe. La recherche de cet algorithme n a pas été efficace, le professeur a même dû le redonner. 62

10 Phase 3 : Par le tableur : Début de la recherche, mais la formule est mauvaise, il fallait bien bloquer la ligne 1. Une simple recherche sur internet permet de remédier à la lacune. 63

11 Voici la solution proposée et corrigée. On notera la réponse à la ligne 50. Par l algorithme : Un seul groupe a cherché une solution algorithmique qui donne directement la solution recherchée. L impératif du temps a obligé ce groupe à revenir sur l algorithme déjà vu en classe par tâtonnement. N.B. : Une séance d étude de cet algorithme va être proposée dans les prochaines semaines. 64

12 f. Séance annexe : calcul de la somme de 1 à 100 Un travail préparatoire à la séance «Recherche de «N» tel que la somme «S» de 1 à N soit égale à un nombre donné» a été donné bien en amont : calcul de la somme de 1 à 100. Contexte du problème Afin de ne pas influencer le réflexe de l élève pour la séance «principale», il a été décidé de proposer ce calcul avec plus d un trimestre d écart. En effet, le calcul de la somme de 1 à 100 est proposé lors de l apprentissage des boucles (en particulier, le «tant que») en langage naturel 8. Cette activité de calcul est proposée sous la forme la plus simple : «Calculez la somme de 1 à 100» en travail à la maison. Il a été rappelé que dans le pire des cas, il suffit de prendre la calculatrice et de «tout» taper pour arriver au résultat. Il a été mentionné qu il «devrait» exister des méthodes plus rapides Analyse des propositions des élèves et répartition Sur une classe de 30 élèves : 3 connaissaient déjà la formule. 4 ont proposé d utiliser le tableur en éditant les entiers de 1 à 100 et tapé la formule de la somme. 22 élèves ont tout simplement pris leur calculatrice. 1 (une) élève a proposé une méthode inattendue : Elle calcule la somme de 1 à 10 à la calculatrice et trouve 55. Elle calcule la somme de 11 à 20 à la calculatrice et trouve 155. Elle calcule la somme de 21 à 30 à la calculatrice et trouve 255. Elle suppose (mais est fort convaincue) que les prochains résultats sont 355, 455 etc. Elle additionne ses 10 résultats et obtient la bonne somme. Il a été alors intéressant de discuter autour de la valeur d une conjecture et de l élaboration de la preuve de cette conjecture. Ensuite nous avons pu aborder une solution algorithmique de cette activité. 8 Cf Synthèse d Algorithmique par l académie de la Réunion: 65

13 g. Séance annexe : recherche de la 2 nde racine d une équation du type n² + n S = 0 1) Étude de la fonction Soit f la fonction définie sur par. Factoriser l expression :. Vérifier que 0 et -1 sont solutions de f(x)=0 : Étudier le signe de f(x) en complétant le tableau suivant : x x (x+1) f(x) Tracer à main levée la représentation graphique de f : Grâce aux propriétés de symétrie de la représentation graphique des fonctions polynomiales du second degré, donner l abscisse puis l ordonnée du sommet de la courbe représentative de f, expliquez brièvement votre démarche :.....: ) Étude des fonctions Sur un logiciel de géométrie dynamique, tracer la courbe représentative de f. Tracer ensuite la courbe représentative des fonctions : Établir une conjecture sur la représentation graphique de g suivant le signe de β : 66

14 Quel est alors l abscisse du sommet de la courbe représentative des fonctions g?..... En se basant sur les propriétés de symétrie de la parabole, expliquez comment calculer la deuxième solution de et de et donner le résultat : : ) Solution d équations Trouver toutes les solutions des équations de : : : : : : : :