Introduction à la théorie des graphes. Plan du cours. Définition. Remarque. Notation. Notation

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1 Introduction à la théorie des graphes Christophe Clavier 1 2 Un graphe G est défini par : un ensemble E appelé ensemble des sommets {x 1, x 2, x 3,...} un sous-ensemble U du produit cartésien E E appelé ensemble d arcs (ou arêtes) U = {(x, y) E E / le sommet x est en relation avec le sommet y} On note G = (E, U). 1 Institut d Ingénierie Informatique de Limoges (3iL) 2 Université de Limoges XLIM Juin 2010 Si E est un ensemble fini, alors le graphe G est dit fini. On appelle ordre d un graphe fini le nombre de ses sommets. Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Plan du cours 1 Notions de base 2 Parcours de graphes 3 Représentation des graphes en mémoire 4 Arbres et arborescences 5 Calcul du plus court chemin Notation Un arc u = (x, y) est noté x y x est appelée origine ou extrémité initiale y est appelée destination ou extrémité finale On parle alors de graphe orienté. Notation Lorsque le sens de parcours n a pas de signification on dit que le graphe est non orienté. u = (x, y) est alors appelée une arête, notée x y Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

2 Exemple Exercices G = (E, U) E = {a, b, c, d, e, f, g} U = {(a, b), (a, c), (a, e), (b, f ), (b, c), (c, d), (d, g), (e, f ), (f, d), (f, b), (g, f )} Trouvez dans ce graphe : un chemin simple passant par c et e un chemin élémentaire de longueur 5 un chemin simple, non élémentaire un chemin élémentaire, non simple un circuit de longueur 3, 4 un chemin/circuit hamiltonien un chemin/circuit eulérien Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 s Un chemin est une suite d arcs dont l extrémité finale de chacun est l extrémité initiale du suivant (sauf pour le dernier). Exemple : a b c d g Si le graphe n est pas orienté, on parle alors de chaîne. Un chemin simple est un chemin qui ne passe pas plus d une fois par le même arc. Un chemin élémentaire est un chemin qui ne passe pas plus d une fois par le même sommet. La longueur d un chemin est le nombre d arcs qui constituent le chemin. Un circuit est un chemin qui se ferme sur lui-même (son origine et son extrémité sont confondues). Si le graphe n est pas orienté, on parle alors de cycle. Un chemin (resp. circuit) hamiltonien est un chemin (resp. circuit) qui passe par tous les sommets du graphe une fois et une seule. Un chemin (resp. circuit) eulérien est un chemin (resp. circuit) qui passe par tous les arcs du graphe une fois et une seule. Successeur d un sommet On note Γ + l application : Γ + : E E x Γ + (x) = {y E / (x, y) U} où Γ + (x) représente l ensemble des successeurs de x. Prédécesseur d un sommet On note Γ l application : Γ : E E x Γ (x) = {y E / (y, x) U} où Γ (x) représente l ensemble des prédécesseurs de x. Un graphe G = (E, U) est entièrement déterminé par chacun des couples (E, Γ + ) et (E, Γ ). Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

3 Exercice Incidence et adjacence Soit u = (x, y) une arête. On dit que u est incidente à x (et à y). Soit u = (x, y) un arc. On dit que u est incident à x vers l extérieur et incident à y vers l intérieur. On dit que les sommets x et y sont adjacents à l arc ou arête u. Degré d un sommet Que valent Γ + (a), Γ (a), Γ (f )? On appelle demi degré intérieur d un sommet x, et on note d (x), le nombre d arcs incidents à x vers l intérieur. On appelle demi degré extérieur d un sommet x, et on note d + (x), le nombre d arcs incidents à x vers l extérieur. Le degré d un sommet x est égal à d(x) = d (x) + d + (x). (Pour un graphe non orienté, le degré d un sommet est le nombre d arêtes qui lui sont incidentes.) Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Connexité Un graphe est dit connexe s il existe une chaîne entre toutes paires de sommets du graphe. (Si le graphe est orienté, cette notion s évalue sur le graphe non orienté qui s en déduit naturellement.) Si le graphe n est pas connexe on peut identifier plusieurs sous-graphes connexes maximaux (au sens de l inclusion) appelés composantes connexes. Chaque composante connexe est une classe d équivalence pour la relation x R y il existe une chaîne entre x et y. Forte connexité Un graphe orienté est dit fortement connexe si pour toute paire de sommets (x, y) il existe un chemin de x vers y ET de y vers x. Si le graphe n est pas fortement connexe on peut identifier plusieurs sous-graphes fortement connexes maximaux appelés composantes fortement connexes. Chaque composante fortement connexe est une classe d équivalence pour la relation x R y il existe un chemin de x vers y ET de y vers x. Graphe partiel On appelle graphe partiel de G un graphe dans lequel on a supprimé des arcs (ou arêtes) sans supprimer de sommets. Sous-graphe On appelle sous-graphe de G un graphe dans lequel on a supprimé des sommets, et par suite les arcs (ou arêtes) qui sont incidents à ces sommets. Exemple Graphe G : le réseau routier d Europe (E={villes}, U={axes}) Graphe partiel de G : le réseau autoroutier d Europe Sous-graphe de G : le réseau routier de France Sous-graphe partiel de G : le réseau autoroutier de France Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

4 Parcours en largeur Graphe régulier Un graphe est dit régulier si tous les sommets ont le même degré. Graphe complet Un graphe est dit complet s il existe (au moins) un arc (ou une arête) entre chaque paire de sommets. Graphe simple Un graphe est dit simple si : il n y a pas de boucle (u = (x, x)) il n y a pas plus d un arc (ou pas plus d une arête) pour relier deux sommets À partir d un sommet S on exprime d abord tous ses successeurs, puis on explore de la même manière à partir de chaque sommet déjà rencontré non encore étudié. Algorithme de parcours en largeur : 1: procedure ParcoursLargeur(S : sommet) 2: CreerFile(f ) 3: Enfiler(f,S) 4: while f n est pas vide do 5: x Defiler(f ) 6: if x est non marqué then 7: Marquer(x) 8: for tout successeur j de x do 9: Enfiler(f,j) 10: end for 11: end if 12: end while 13: end procedure Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Soit G = (E, U) un graphe orienté. But : parcourir le graphe G à partir d un sommet S E, c est à dire trouver l ensemble des descendants de ce sommet. Parcours en profondeur À partir d un sommet S on calcule les descendants en marquant tous les sommets explorés. On parcours le graphe en profondeur d abord et obtient ainsi un arbre d exploration. Algorithme (version récursive) : 1: procedure ParcoursProfondeur(S : sommet) 2: Marquer(S) 3: for chaque sommet j successeur de S do 4: if j est non marqué then 5: ParcoursProfondeur(j) 6: end if 7: end for 8: end procedure Détermination des composantes connexes Soit G = (E, U) un graphe non orienté. Soit S E un sommet dont on ne connaît pas la composante connexe. Un sommet x appartient à la composante connexe de S si et seulement si il existe une chaîne qui relie S à x. Pour obtenir les sommets reliés à S on fait un exploration à partir de S. (Adapter l algorithme précédent en remplaçant successeur de par en relation avec.) La composante connexe associée à S est l ensemble des sommets marqués par cette exploration. On itère le procédé en choisissant un nouveau sommet non associé à une composante connexe déjà connue. Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

5 Décomposition d un graphe en niveaux Détermination des composantes fortement connexes Soit G = (E, U) un graphe orienté. Soit S E un sommet dont on ne connaît pas la composante fortement connexe. Un sommet x appartient à la composante fortement connexe de S si et seulement si il existe une chemin de S vers x ET un chemin de x vers S. Pour obtenir les sommets descendants de S on fait un exploration à partir de S. On obtient un ensemble de sommet D(S). Pour obtenir les sommets ascendants de S on fait un exploration à partir de S dans le graphe inverse G 1. On obtient un ensemble de sommet A(S). (G 1 = (E, U ) où U = {(x, y) E E/(y, x) U}.) La composante fortement connexe associée à S est D(S) A(S) On itère le procédé en choisissant un nouveau sommet non associé à une composante fortement connexe déjà connue. Propriétés Un sommet a tous ses successeurs dans les niveaux supérieurs (k plus grand) Tout sommet qui n est pas une entrée a au moins un prédécesseur dans le niveau immédiatement inférieur. Algorithme de décomposition en niveaux 1: procedure DecompositionNiveaux 2: l 1 3: E E 4: while E do 5: for tout sommet x de E sans prédécesseur do 6: Layer(x) l 7: end for 8: enlever de E tous les sommets de niveau l 9: l l : end while 11: end procedure Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Décomposition d un graphe en niveaux Décomposition d un graphe en niveaux Une décomposition en niveaux (tri topologique) d un graphe orienté sans circuit est réalisée en organisant les sommets d un graphe en k niveaux (ou couches) : L 1, L 2,..., L k où chaque ensemble est défini par la fonction : Layer : Exemple E N x Layer(x) = 1 si x n a pas de prédécesseur (entrée) sinon, longueur du plus long chemin reliant x à une entrée Décomposition d un graphe en niveaux Application typique Recherche de chemin critique en ordonnancement de tâches Exemple d application : calcul sur un ordinateur parallèle On considère un ordinateur parallèle équipé de plusieurs processeurs. Chaque processeur peut réaliser des opérations sur deux opérandes avec résultat dans un autre opérande 1 cycle d horloge. Les variables temporaires sont T 1, T 2,... ( Soit à évaluer : (sin(a 2 + B) cos(a 2 + B C) ) /(1 + C + A 2 ) T 1 = A A T 5 = T 1 + T 4 T 9 = T 1 + T 8 T 2 = T 1 + B T 6 = cos(t 5) T 10 = T 7/T 9 T 3 = sin(t 2) T 7 = T 3 T 6 T 4 = B C T 8 = 1 + C Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

6 Décomposition d un graphe en niveaux Instructions à exécuter T 1 = A A T 5 = T 1 + T 4 T 9 = T 1 + T 8 T 2 = T 1 + B T 6 = cos(t 5) T 10 = T 7/T 9 T 3 = sin(t 2) T 7 = T 3 T 6 T 4 = B C T 8 = 1 + C Modélisation par un graphe orienté sans circuit G = (E, U) E = (T 1,..., T 10) U = {(T i, T j) / l instruction T j a besoin de l instruction T i pour s exécuter} Décomposition en niveaux Représentation par matrice d adjacence À un graphe G = (E, U) on associe une matrice n n : { 1 si (xi, x j) U M = (a i,j) avec a i,j = 0 sinon M est appelée la matrice d adjacence de G. Un graphe est sans boucle si et seulement si la diagonale principale de M ne contient que des 0. On peut considérer M de deux façons : Comme un matrice dans N La somme des éléments de la ligne i est égale à d + (x i ) La somme des éléments de la colonne j est égale à d (x j ) Comme un matrice booléenne Les éléments de la matrice a i,j = booléen {0, 1} Les matrices produits M (1), M (2),..., M (k) sont à valeurs dans {0, 1} Le calcul de M (k) indique s il existe un chemin de longueur k entre x i et x j Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Représentation par matrice d incidence Représenter un graphe (orienté ou non) en mémoire, c est définir la structure de donnée qui permettra de le stocker et de le manipuler (calculs, parcours,... ). Considérations à prendre en compte pour le choix de la structure de donnée : Type d accès : direct ou séquentiel Encombrement mémoire Types de représentations Par matrice d adjacence Par matrice d incidence sommets-arcs (ou sommets-arêtes) Par liste d adjacence Soit G = (E, U) un graphe sans boucle. On lui associe une matrice n m telle que : 1 si x i est l extrémité initiale de l arc u j M = (a i,j) avec a i,j = 1 si x i est l extrémité finale de l arc u j 0 sinon M est appelée la matrice d incidence sommets-arcs de G. s Cette définition implique une numérotation des arcs. On peut définir une représentation par matrice d incidence arcs-sommets. Lorsque le graphe est non orienté on définit la matrice d incidence sommets-arêtes par : { 1 si xi est un sommet de l arête u j M = (a i,j) avec a i,j = 0 sinon Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

7 Fermeture transitive et composante fortement connexe Représentation par liste d adjacence Dans la représentation d un graphe par liste d adjacence chaque arc est représenté par son extrémité finale, son extrémité initiale étant définie implicitement. Tous les arcs émanant d un même sommet sont liés entre eux dans une liste. À chaque arc sont donc associés le sommet destination et le pointeur sur le prochain sommet dans la liste. Implémentation possible Soit un graphe ayant n sommets et m arcs. On crée deux tableaux : Liste de pointeurs : LP de dimension (n + 1) Liste de sommets : LS de dimension m (cas orienté) ou 2m (cas non orienté) Pour tout i, la liste des successeurs de x i est dans le tableau LS à partir de l adresse LP(i). Si un sommet x i n a pas de successeur, on pose LP(i + 1) = LP(i). (liste vide coincée entre les successeurs de x i 1 et de x i+1) Par commodité on pose LP(n + 1) = m + 1 Fermeture transitive On appelle fermeture transitive d un sommet x l ensemble des sommets y (y compris x) reliés par un chemin à x. On appelle fermeture transitive d un graphe G le graphe Ĝ construit de la manière suivante : Les sommets de Ĝ sont ceux de G Chaque sommet de Ĝ porte une boucle Il y a dans Ĝ un arc de x vers y ssi il existe un chemin entre x et y dans G La matrice M associée à Ĝ est donnée par : M = M [k] = M (0) + M (1) M (k) (on s arrête quand M [k] = M [k+1], M (0) = Id) Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Fermeture transitive et composante fortement connexe Exemple Fermeture transitive et composante fortement connexe Proposition Deux sommets x i et x j appartiennent à la même composante fortement connexe si et seulement si les lignes (ou les colonnes) i et j de M sont identiques. Un graphe G est fortement connexe si et seulement si tous les éléments de la matrice M sont égaux à 1. Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

8 Les arbres Les arbres Soit G un graphe non orienté qui contient n sommets et m arêtes. Soit p le nombre de composantes connexes de G. On appelle nombre cyclématique de G la valeur V (G) = m n + p qui représente le nombre de cycles indépendants de G. Conséquences Un graphe est sans cycle si et seulement si V (G) = 0 Un graphe contient un et un seul cycle si et seulement si V (G) = 1 Si le graphe est connexe alors V (G) = m n + 1 On appelle arbre un graphe (non orienté) connexe sans cycle. Les arborescences Les arborescences Soit G = (E, U) un graphe non orienté. Un graphe est dit quasi-fortement connexe si à toute paire de sommets (x, y) on peut associer un sommet z tel qu il existe un chemin de z vers x et un chemin de z vers y. (x, y et z ne sont pas nécessairement distincts.) Un graphe fortement connexe est quasi-fortement connexe. On appelle racine d une graphe orienté un sommet R (s il existe) tel que pour tout sommet x de G il existe un chemin allant de R vers x. Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Les arbres Les arborescences Théorème Les propriétés suivantes sont équivalentes : G est connexe sans cycle. (G est un arbre.) G est sans cycle comportant n 1 arêtes. G est sans cycle, et si l on rajoute une arête alors on obtient un cycle et un seul. G est connexe, et la suppression d une arête fait apparaître 2 composantes connexes. Il existe une chaîne et une seule entre toute paire de sommets de G. s On appelle forêt un graphe sans cycle (pas nécessairement connexe) dont chaque composante connexe est un arbre. On appelle arbre couvrant de G tout graphe partiel de G définissant un arbre connectant tous les sommets de G. Proposition Un graphe est quasi-fortement connexe si et seulement si il possède une racine. Démonstration. Si G possède une racine alors il est quasi-fortement connexe. (évident) On suppose que G est quasi-fortement connexe : E = {x 1, x 2,..., x n} un sommet i 2 / (i 2, x 1) U et (i 2, x 2) U un sommet i 3 / (i 3, i 2) U et (i 3, x 3) U un sommet i 4 / (i 4, i 3) U et (i 4, x 4) U... un sommet i n / (i n, i n 1) U et (i n, x n) U Par construction i n est une racine de G. Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

9 Les arborescences Arbre couvrant minimal Méthode de Kruskal et propriétés On appelle arborescence un graphe orienté G vérifiant l une des propriétés suivantes : G est quasi-fortement connexe et sans circuit G est quasi-fortement connexe et possède n 1 arêtes G est quasi-fortement connexe et cesse de l être si on supprime un arc quelconque Propriété Un graphe orienté G = (E, U) admet au moins une arborescence (couvrante) comme graphe partiel si et seulement si G est quasi-fortement connexe. Principe Soit G = (E, U, V ), E = {1, 2,..., n} Trier les arêtes par ordre croissant de coût. Construire une forêt composée de n sommets (initialisation). À chaque itération, on rajoute à cette forêt la plus petite arête ne créant pas de cycle avec celles déjà choisies. On arrête les itérations lorsque l arbre contient (n 1) arêtes. Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Arbre couvrant minimal Le problème de l arbre couvrant minimal Soit G = (E, U, V ) un graphe non orienté, connexe et valué. V = {v(i, j) / v(i, j) = coût de l arête (i, j)} Le problème de l arbre couvrant minimal de G consiste à trouver un arbre couvrant de G dont le coût total des arêtes est minimal. Si G n est pas connexe, on peut calculer une forêt couvrante minimale. Exemple d application Construction de lignes électriques : Soit une ensemble de n sites qui doivent être reliés par des lignes à haute tension. Le coût d une ligne joignant deux sites est proportionnel à la distance entre ces deux sites. Objectif : Construire à coût minimal un réseau connectant tous les sites. Modélisation à l aide d un graphe : G = (E, U, V ) E : ensemble des sites U : l ensemble de toutes les connections possibles entre les différents sites V : le coût des différentes connections Le réseau optimal est l arbre couvrant minimal de G. Arbre couvrant minimal Méthode de Kruskal Algorithme 1: procedure Kruskal 2: i E, cc(i) i 3: Trier les arêtes 4: T 5: for k = 1 à n 1 do 6: Choisir une arête (x, y) 7: if cc(x) cc(y) then 8: T = T {(x, y)} 9: for all sommet i do 10: if cc(i) = cc(x) then 11: cc(i) cc(y) 12: end if 13: end for 14: end if 15: end for 16: end procedure Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

10 Arbre couvrant minimal Méthode de Prim Problème de catégorie B Principe Soit T l arbre en cours de construction. À chaque itération, on rajoute à T un sommet et une arête. Soit R l ensemble des sommets pas encore dans T. À chaque sommet x de R, on associe le sommet y de T dont la distance à x est minimale. Le coût v(x, y) est appelé distance de x à T, notée d(x, T ). On choisit de faire entrer dans T le sommet x de R dont la distance d(x, T ) à T est minimale. Il existe deux familles d algorithmes pour résoudre le problème B. Le principe est de calculer pour chaque sommet x une étiquette π(x) qui représente le coût du plus court chemin de s vers x. Certains algorithmes sélectionnent un sommet x et calculent la valeur définitive de π(x) à chaque itération algorithme à fixation d étiquette méthode de Dijkstra Certains algorithmes affinent jusqu à la dernière itération l étiquette π(x) de chaque sommet algorithme à correction d étiquette méthode de Bellman On note γ (x) le prédecesseur du sommet x sur le plus court chemin menant de s à x. Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Soit G = (E, U, V ) un graphe orienté valué : - E : ensemble des sommets - U : ensemble des arcs (i, j) E E - V : ensemble des coûts v(i, j) des arcs (i, j) Le coût d un chemin entre deux sommets est la somme des coûts des arcs formant ce chemin. Problème On se place dans la cas où les coûts des arcs sont positifs ou nuls. Les trois problèmes suivants sont liés : A : Étant donnés deux sommets s et t, trouver le plus court chemin entre s et t B : Étant donné un sommet de départ s, trouver le plus court chemin de s vers tout autre sommet de G C : Trouver le plus court chemin entre tout couple de sommets de G calcul d un distancier Méthode de Dijkstra Principe L ensemble des sommets est partitionné en deux sous-ensembles S et S S est le sous-ensemble des sommets définitivement marqués, c est à dire dont la valeur de l étiquette π(x) est effectivement le coût du plus court chemin allant de s à x. Le complémentaire S contient tous les sommets k ayant une étiquette provisoire définie par : k S, π(k) = min (π(i) + v(i, k)) i S Γ (k) L itération principale sélectionne dans S le sommet j d étiquette provisoire minimale et le marque définitivement : π(j) = min (π(k)) k S Chaque fois qu un sommet est définitivement marqué, on met à jour l étiquette de tous ses successeurs non encore définitivement marqués. Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49

11 Méthode de Dijkstra Algorithme 1: procedure Dijkstra(s : sommet) 2: S {s} ; S E\{s} 3: π(s) 0 ; γ (s) null 4: for all j s do ( 5: π(j), γ (j) ) { (v(s, j), s) si j Γ(s) (+, null) sinon 6: end for 7: while S do 8: Sélectionner j S tel que π(j) = min k S (π(k)) 9: S S {j} ; S S\{j} 10: for all i S successeur de j do 11: if π(i) > π(j) + v(j, i) then 12: π(i) π(j) + v(j, i) ; γ (i) j 13: end if 14: end for 15: end while 16: end procedure Méthode de Bellman Algorithme 1: procedure Bellman(s : sommet) 2: π(s) 0 ; j s π(j) + 3: Pour tout sommet j : γ (j) null 4: repeat 5: stable vrai 6: for all j s do 7: for all i Γ (j) do 8: if π(j) > π(i) + v(i, j) then 9: π(j) π(i) + v(i, j) ; γ (j) i 10: stable faux 11: end if 12: end for 13: end for 14: until stable = vrai 15: end procedure Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49 Méthode de Bellman Principe C est une méthode de programmation dynamique : π 0(s) = 0 π 0(y) = +, y s π k (y) = min ( π k 1 (y), min x Γ (y) (π k 1 (x) + v(x, y)) ) : π k (x) désigne le coût du plus court chemin d au plus k arcs entre s et x. Contrairement à la méthode de Dijkstra, celle de Bellman permet de calculer le plus court chemin d un graphe possédant à la fois des coûts positifs et négatifs. (Ce type de graphe permet de modéliser des coûts et des profits.) Christophe Clavier (3iL XLIM) Théorie des graphes Juin / 49