Loi binomiale. I Epreuve de Bernoulli 1. II Schema de Bernoulli 1. III Loi Binomiale 2

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1 Loi binomiale Table des matières I Epreuve de Bernoulli 1 II chema de Bernoulli 1 III Loi Binomiale 2 IV Détermination pratique des probabilités dans une loi binomiale 3 a) Calcul direct à la calculatrice.. 3 b) En détaillant les calculs.. 3 V Exercices 4

2 I Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une épreuve n admettant que deux issues, c est à dire que deux résultats possibles. On appelle en général ces issues uccès (noté ) et Echec (noté ). On a alors p()= p et p()=1 p où p est une réel compris entre 0 et 1. Exemples Jet d un dé : : " obtenir le 6 " et on a p()= 1 6. Etude du matériel d une entreprise : : «le matériel est défectueux». Epidémie dans une population : «être sain» On dit qu une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli si elle ne peut prendre que deux valeurs a et b. On a alors p(x=a)= p et p(x= b)=1 p. II chema de Bernoulli Un schéma de Bernoulli est une expérience au cours de laquelle on répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Exemple 1 Pour étudier la fiabilité du matériel d une entreprise on prélève un objet dans la production et on note l événement «le matériel est défectueux». On a donc face une épreuve de Bernoulli. i maintenant on prélève au hasard 4 objets de l entreprise, l expérience est un schéma de Bernoulli. Exemple 2 On considère l expérience aléatoire consistant tirer une carte d un jeu de 32 cartes, à noter sa couleur puis à la remettre dans le jeu. On appelle "succès" l événement : «On obtient un coeur». On répète trois fois cette expérience. 1. Quelle est la probabilité de? Lycée du golfe Page 1/4

3 2. Les tirages sont-ils indépendants? En déduire la probabilité d obtenir 3 succès successifs, puis d aucun succès. 3. Compléter l arbre suivant : 4. Déterminer les probabilités d avoir : 2 succès ; 1 succès. Exemple 3 On jette un dé et on considère l événement : «obtenir un 6» : c est donc une épreuve de Bernoulli. On renouvelle alors 4 fois cette expérience en jetant ce même dé. Les épreuves sont identiques (chaque succès a la même probabilité à l issu d un jet) et sont indépendantes (le résultat d un lancé n influence pas le résultat d un autre). 1. Faire un arbre. 2. a. Quelle est la probabilité de l événement (,,,)? b. Quelle est la probabilité d avoir exactement un succès? 3. a. Quelle est la probabilité de l événement (,,,)? b. Quelle est la probabilité d avoir exactement deux succès? 4. Quelle est la probabilité d avoir au moins un succès? III Loi Binomiale Considérons un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes et dont la probabilité du succès vaut p. On dit que la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès à l issue de ces n épreuves suit la loi binomiale de paramètre n et p, notée B(n,p). Lycée du golfe Page 2/4

4 Propriété oit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p). X ne peut prendre que des valeurs entières, comprises ( entre 0 et n. n Pour tout entier compris entre 0 et n, on a p(x= )= ( ) n est le nombre de chemins dans l arbre. ) p (1 p) n. Propriété Pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a : E(X)=np V(X)=np(1 p) IV Détermination pratique des probabilités dans une loi binomiale a) Calcul direct à la calculatrice La plupart des calculatrices donnent directement la réponse : ur TI83 : On appuie sur la touche DIT ( 2nd VAR ) on choisit binompdf( ou binomcdf( binompdf(10,0.2,2) permet de calculer p(x= 2) dans la loi binomiale B(10 ; 0,2) binomcdf(12,0.4,5) permet de calculer p(x 5) dans la loi binomiale B(12 ; 0,4) ur CAIO Graph 35 : Dans l écran de calcul, on appuie sur la touche OPTN puis on choisit TAT puis DIT et BINM puis enfin Bpd ou Bcd. On obtient : BinomialPD(2,10,0.2) permet de calculer p(x= 2) dans la loi binomiale B(10 ; 0,2) BinomialPD(5,12,0.4) permet de calculer p(x 5) dans la loi binomiale B(12 ; 0,4) b) En détaillant les calculs Les coefficients binomiaux ( ) n peuvent être déterminés à l aide du triangle de PACAL : nombre de succès : n Ils peuvent être aussi déterminés avec la calculatrice : Lycée du golfe Page 3/4

5 ( ) 10 ur TI83 : Pour calculer 2 On commence par taper 10, on appuie ensuite sur la touche Math et on choisit le menu PRB et on selectionne ncr puis pour finir on tape 2 : 10 ncr 2 et on obtient 45 ( ) 10 ur Casio graph 35 : Pour calculer 2 On commence par taper 10, on appuie sur la touche OPTN, on choisit PRB puis ncr puis pour finir on tape 2 : 10C2 et on obtient 45 V Exercices Exercice 4 Dans un jeu vidéo, le héros Mario veut atteindre, en sautant, un trésor qui se trouve sur un nuage. il touche le trésor, il peut obtenir : Aucune pièce d or et voir sortir un monstre avec une probabilité p 0 = 0,4. une pièce d or avec la probabilité p 1 = 0,3. deux pièces avec la probabilité p 2. trois pièces avec la probabilité p 3 = 0,1. 1. Calculer p Mario ne fait qu un seul saut. On note G la variable aléatoire égale au nombre de pièces d or de Mario. a. Donner la loi de probabilité de G. b. Calculer l espérance de G : interpréter le résultat obtenu. 3. Mario saute 6 fois de suite. Chaque saut est indépendant du précédent. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de sauts où le monstre est apparu. a. Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramétres. b. Calculer la probabilité que le monstre n apparaisse pas. c. Calculer la probabilité que le monstre apparaisse exactement deux fois. d. Calculer la probabilité que le monstre apparaisse au moins deux fois. e. Calculer p(2 X 4). f. Calculer l espérance de X et en donner une interprétation. Exercice 5 Les compagnies aériennes ont remarqué que 5% des personnes ayant acheté un billet ne prennent pas l avion, ils changent de vol ou se font rembourser. C est pour cela que pour un avion de 100 places elles vendent 103 billets. Quelle est la probabilité que le jour du vol, toutes les personnes se présentant à l embarquement aient une place? Lycée du golfe Page 4/4