Le champ électromagnétique obéit aux équations de Maxwell:, H = 0 (9), E = ρ (2) H = 1 c 2( j + te) (4), H div B (5)

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1 COURS,2 7. Le champ électromagnétique. Le champ électromagnétique obéit aux équations de Maxwell:, H = 0 (), E = ρ (2) E = th (3) H = c 2( j + te) (4) Dans ces équations nous utilisons les notations suivantes:, H div B (5) H roth (6) En plus, nous avons supprimé ε 0 et µ 0, en les mettant égales à. 7.. Le quadrivecteur densité de charge, densité de courant. En prenant la divergence de l éq.(4), on trouve:, H = c 2(, j +, t E) (7) Pour tous les vecteurs A et B: Alors, en particulier: A, A B = 0 (8), H = 0 (9) Par conséquent, l éq. (7) prend la forme:, t E +, j = 0 (0) D autre part, en prenant la dérivée t de l éq.(2), on trouve:, t E = t ρ ()

2 De (0) et () il suit que: t ρ +, j = 0 (2) On peut interpreter cette équation comme une divergence, dans le sens de l espace de Minkowski: En detail: x µjµ x 0 = ct; x µjµ = 0 (3) + x 0j0 x i = x, Du fait que l operateur différentiel t j0 +, j (4) = x iji c x =, i i =, 2, 3. (5) j 0 = cρ, j i = j (6) x = ( µ c t, ) (7) se transforme comme un quadrivecteur covariant (voir les cours 2,3, exercice pour la covariance de µ f) et, en plus, que x µ j µ est invariant (égale à 0, par les équations de Maxwell, dans tous les référentiels), on doit conclure que j µ = (cρ, j) (8) est un quadrivecteur contravariant. En passant du référentiel R à R, les composantes de j µ se transforment par les transformations de Lorentz: 7.2. Le quadripotentiel. cρ = γ(cρ βj x ) (9) j x = γ( βcρ + j x) (20) j y = j y (2) j z = j z (22) Dans la théorie d électromagnétisme on utilise la représentation des champs électriques et magnétiques en termes des potentiels: E = Φ t A (23) 2

3 H = A (24) Dans ces formules Φ = Φ(t, r) est un potentiel scalaire et A = A(t, r) est un potentiel vecteur. On observe que E et H restent les mêmes quand on change Φ et A comme suit: Φ Φ = Φ t ϕ (25) On effet: A A = A + ϕ (26) E = Φ t A = (Φ t ϕ) t ( A + ) = Φ t A = E (27) H = A = ( A + ϕ) = A = H (28) Nous avons utilisé le fait que ϕ = 0: rotationel d un gradient d une fonction scalaire est toujours égale à 0. Les changements des potentiels dans (25), (26) sont appelés les transformations de jauge des potentiels d un champ électromagnétique. On utilisant cette liberté (liberté de jauge) dans la définition de Φ, A, on peut imposer que: c 2 tφ +, A = 0 (29) En effet, supposant qu initiallement on a des potentiels Φ et A, qui vérifient: où f(t, r) est une fonction quelconque. Mettons c 2 t Φ +, A = f(t, r) (30) Φ = Φ t ϕ (3) A = A + ϕ (32) où ϕ = ϕ(t, r) est une fonction qui est indéterminée pour le moment. Alors: c 2 t(φ t ϕ) +, ( A + ϕ) = f (33) 3

4 Ensuite, on peut toujours choisir ϕ(t, r) telle que: c 2 tφ +, A = c 22 t ϕ 2 ϕ + f (34) c 22 t ϕ 2 ϕ = f (35) Autrement dit, pour f(t, r) donnée, on trouve ϕ(t, r) comme solution de l éq.(35), linéaire, avec second membre. La solution existe toujours. Avec ce choix, on trouvera que: c 2 tφ +, A = 0 (36) Ensuite, avec le même raisonement comme dans le chapitre 4., on peut conclure que l éq.(36) s écrit également comme: c t (Φ c ) +, A = = 0 (37) x µaµ et que A µ = (A 0, A) = ( Φ c, A) (38) est un quadrivecteur contravariant, qui se transforme par les transformations de Lorentz sous les changements des référentiels tout comme le quadricourant j µ, (8), éqs.(9)- (22). Le quadrivecteur A µ, (38), est appelé le quadripotentiel du champ électromagnétique. Pour le moment, la conclusion que ( Φ, A) forment un quadrivecteur est basée sur la c condition (36) sur Φ, A obtenue avec une fixation de jauge, grâce à la fonction ϕ(t, r), solution de l éq.(35). En observant, à part, que l équation (36) sur Φ, A est appelé la condition de jauge de Lorentz. Φ, A soumis à cette condition sont dites, dans ce cas, d être choisis dans la jauge de Lorentz. D autres fixations de jauge pour Φ, A sont également possibles. Nous allons maintenant compléter nos arguments, pour conclure que A µ = ( Φ, A) est toujours un quadrivecteur, c indépendamment du jauge choisi sur les potentiels. 4

5 Retournons aux potentiels Φ, A, qui ne vérifient pas la jauge de Lorentz, l éq.(36). Nous allons montrer que ( Φ c, A) forment également un quadrivecteur, tout comme ( Φ c, A), qui sont de nouveau pris dans la jauge de Lorentz, éq.(36). Observons encore une fois que Φ, A sont connectés aux Φ, A par des équations (3), (32). Observons ensuite qu on peut réécrire ces équations sous la forme: Φ c = Φ c c t ϕ (39) A = A + ϕ (40) sinon, comme: Ã µ = A µ g µν x ϕ (4) ν où g µν est le tenseur de métrique de l espace de Minkowski (cours 2,3): En effet, on voit facilement que: g µν = g µν (42) x ϕ = ( ν c t ϕ, ϕ) (43) et alors la soustraction dans (4) s accorde, en composantes, avec des termes correspondants dans les éqs.(39), (40). Comme x µ ϕ (où ϕ = ϕ(t, r) est une fonction scalaire) est un quadrivecteur covariant, alors, par conséquent, g µν x ν ϕ est un quadrivecteur contravariant. On trouve, par l éq.(4), que A µ est égale à la différence des deux quadrivecteurs (contravariants): A µ et g µν x ν ϕ. Conclusion: Ã µ lui même est un quadrivecteur contravariant. Il faut préciser maintenant, qu en effet, le rôle de la fonction ϕ(t, r) dans les deux démonstrations ci-dessus est différente. 5

6 Dans la première démonstration, à partir de l éq.(30) vers la jauge de Lorentz, éq.(36), la fonction ϕ(t, r) était quelconque, pas nécéssairement scalaire (sous les transformations de Lorentz). Nous avons montré qu on trouvera toujours ϕ(t, r) telle, qu à partir de Φ, A quelconques on pourra passer, sans changer E, H, vers Φ, A qui obeissent l éq.(36) et, donc, forme un quadrivecteur. Par contre, dans la deuxième démonstration (les éqs (39)-(4) et la discussion qui suit) ϕ(t, r) était prise comme une fonction scalaire. Uniquement dans ce cas µ ϕ sera un quadrivecteur (covariant). Dans cette démonstration, ϕ(t, r), sert pour relaxer la condition (36) sur A µ, tout en gardant sa qualité d être un quadrivecteur. Le quadripotentiel à µ qui résulte (la forme de A µ relaxée) est un quadrivecteur, même s il ne vérifie plus la condition (36). 7.3 Forme tensorielle du champ électromagnétique. A partir du quadripotentiel A µ (t, r) on peut définir le tenseur d ordre 2 du champ électromagnétique F µν : F µν = µ A ν ν A µ (44) µ, ν = 0,, 2, 3. Ses composantes engendrent les champs électrique et magnétique. Présenté comme une matrice 4 4, il est de la forme: 0 E x E y E z e cf µν = x 0 ch z ch y E y ch z 0 ch x E z ch y ch x 0 0 = c En effet, pour les composantes F 0i on trouve: (45) F 0i = 0 A i i A 0 (46) ; A t 0 = Φ; c i = = (i =, 2, 3); A x i i = g iν A ν = A i = A. Alors: F oi = c ta i i Φ c = c ( t A Φ) = c E (47) Le tenseur F µν est antisymétrique: F µν = F νµ, l éq.(42). Donc: F i0 = c E (48) 6

7 Précisons que les composantes Euclidiennes (de l espace tridimensionnel, ordinaire), comme A x, A y, A z, correspondent aux composantes,2,3 du quadrivecteur correspondant A µ de l espace de Minkowski, dans sa forme contravariante (avec des indices en haut), comme A i = A ci-dessus. Par contre, pour le gradient, Euclidien correspond à i = x i les composantes,2,3 du quadrivecteur de Minkowski µ = x µ dans sa forme covariante (avec des indices en bas). Ces correspondances font intervenir quelques changements de signe, quand on passe des composantes particulières des quadrivecteurs, ou des quadritenseurs comme F µν, à des vecteurs ordinaires de l espace tridimensionnel. Pour les composantes F ij (i, j =, 2, 3) on trouve: F 2 = A 2 2 A = A A = x A y + y A x (49) F 23 = 2 A 3 3 A 2 = 2 A A 2 = y A z + z A y (50) F 3 = 3 A A 3 = z A x + x A z (5) D autre part: H = A = ǫ ijk j A k (52) Ici ǫ ijk est un tenseur d ordre 3 de l espace Euclidien tridimensionnel, qui est entièrement antisymétrique dans ses indices. Ses composantes non-nulles sont: ǫ 23 = ǫ 23 = ǫ 32 =, ǫ 32 = ǫ 23 = ǫ 32 = (53) De la même manière comme pour des expressions avec des vecteurs ou des tenseurs de l espace de Minkowski, les indices répétés sont supposés d être sommés. C.à.d.: 3 ǫ ijk j A k ǫ ijk j A k (54) j,k= Dans le cas de la métrique Euclidienne: (g Euclidienne ) ij = (55) 7

8 de l espace ordinaire tridimensionnel, il n y a pas de différence entre les indices en haut et en bas. Par exemple, dans l éq.(52), les deux indices sommés, k, se trouvent dans la même position, en haut. Sauf pour des vecteurs, tenseurs, de l espace avec la métrique Euclidienne, une telle configuration ne serait pas admissible. Sommation sur des indices répétés de la même hauteur ne correspondrait pas aux produits scalaires et ne produirait pas des invariants. Mais dans l espace Euclidien, cette différence entre les indices pourrait être supprimée. En retournant à l expression (52) pour H, et en prenant en compte les propriétés du tenseur ǫ ijk, éq.(53), on trouve: H = H x = 2 A 3 3 A 2 = y A z z A y (56) H 2 = H x = 3 A A 3 = z A x x A z (57) H 3 = H z = A 2 2 A = x A y y A x (58) En comparant ces expressions avec celles dans les éqs.(47)-(49), on conclut que: F 2 = H z, F 23 = H x, F 3 = H y (59) en accord avec la forme de F µν dans l éq.(45). 7.4.Transformations de E et H sous les changements des référentiels. Une façon de déterminer les règles de transformation des champs E et H, quand on passe du référentiel R au référentiel R, serait d utiliser les expressions (23), (24) de E et H en fonction des potentiels Φ et A, et appliquer ensuite les règles de transformation pour des potentiels (qui forme un quadrivecteur, chapitre 4.2) et pour des dérivées t et. Une autre façon, qui est plus simple, serait de profiter des règles de transformation du tenseur F µν. Dans la suite nous allons suivre cette deuxième méthode. 8

9 Introduisons la matrice L µ ν de transformation de Lorentz; L µ ν = γ βγ 0 0 βγ γ (60) En utilisant cette matrice, la transformation de Lorentz d un vecteur contravariant A µ se présente de la manière suivante: A µ = L µ νa µ (6) De la façon explicite, dans les composantes de A µ et A µ, cette équation pourrait être vue comme suit: A 0 γ βγ 0 0 A 0 A βγ γ 0 0 A A 2 = A 2 (62) A A 3 c.à.d., la partie droite de l éq.(6) pourrait être interpretée comme une multiplication de la matrice L µ ν avec un vecteur A µ. Après la multiplication on retrouve les transformations de Lorentz pour les composantes de A µ : A 0 A A 2 = A 3 γ(a 0 βa ) γ( βa 0 + A A 2 A 3 Les transformations des composantes d un quadrivecteur covariant B µ peuvent être présentées sous la même forme, mais avec la matrice L ν µ, où les deux indices ont changé ses positions. On fait monter et descendre des indices à l aide des tenseurs de métriques (de l espace de Minkowski) g µν et g µν. g µν est présenté dans l éq.(42), g µν possède exactement la même (63) 9

10 forme, voir le Supplement des cours 2,3. Alors on trouve: γ βγ 0 0 L µν = g µλ L λ βγ γ 0 0 ν = = γ βγ 0 0 γβ γ (64) Ensuite: γ βγ L ν µ = g νλ L µλ = L µλ g λν γβ γ = = Nous avons utilisé le fait que g µν = g νµ. Avec la matrice L ν µ on trouve: γ βγ 0 0 γβ γ (65) B µ = L µ ν B ν (66) Explicitement, en composantes: B 0 γ βγ 0 0 B βγ γ 0 0 B 2 = B 3 B 0 B B 2 B 3 = γ(b0 + βb ) γ(βb 0 + B ) B 2 B 3 (67) on retrouve les transformations de Lorentz des composantes d un quadrivecteur covariant (voir les Cours 2,3). Retournons maintenant au tenseur F µν d un champ électromagnétique. Cet objet, avec deux indices en bas, se transforme comme un produit direct des deux quadrivecteurs covariants: F µν B µ C ν (68) correspondance pour des règles de transformation uniquement. Alors, on doit avoir: F µν = L λ µ L τ ν F λτ = L λ µ F λτ L τ ν = L λ µ F λτ (L T ) τ ν (69) 0

11 (L T ) τ ν est la matrice L τ ν transposée. Il ne faut pas le confondre avec la matrice (tenseur d ordre 2 en effet) L τ ν. Cette dernière, éq.(60), a une toute autre signification. En tout cas, elle n est pas égale à la matrice L τ ν, éq.(65) transposée. La partie droite de l éq.(69) correspond au produit usuel de trois matrices. En composantes, on trouve: γ βγ 0 0 βγ γ E x E y E z E x 0 ch z ch y E y ch z 0 ch x = E z ch y ch x 0 0 E x E y E z E x 0 ch z ch y E y ch z 0 ch x E z ch y ch x 0 γ βγ 0 0 βγ γ Après avoir fait les multiplications matricielles dans la partie droite de cette équation, on trouve: 0 E x E y E z E x 0 ch z ch y E y ch z 0 ch x = E z ch y ch x 0 0 E x γ(e y βch z ) γ(e z + βch y ) E x 0 γ(ch z βe y ) γ(ch y + βe z ) γ(e y βch z ) γ(ch z βe y ) 0 ch x γ(e z + βch y ) γ(ch y + βe z ) ch x 0 On peut résumer ces résultats comme suit: E x = E x, H x = H x (72) E y = γ(e y βch z ), ch y = γ(ch y + βe z ) (73) E z = γ(e z + βch y ), ch z = γ(ch z βe y ) (74) (70) (7)

12 On observe, en particulier, que les champs électriques et magnétiques se melangent entre eux, quand on passe de référentiel R à R. Cette observation est, en effet, naturelle. Si, par exemple, dans R il n y a que des charges électriques, dans des positions fixées, alors elles ne produisent qu un champ électrique. Dans le référentiel R par contre, en mouvement par rapport à R, ces charges électriques vont être en mouvement, produisant un champ magnétique, en plus d un champs électrique. Il est facile de vérifier que les régles des transformations (72)-(74) peuvent être également présentées sous la forme: E x = E x, H x = H x (75) E y = γ( E + c β H) y, ch y = γ(c H β E) y (76) E z = γ( E + c β H) z, ch z = γ(c H β E) z (77) Dans ces formules β = V c ; V est la vitesse de R par rapport à R, qui est supposée d être orientée le long de l axe x, comme dans toutes nos équations précédentes. Encore une forme, qui est encore plus générale, est la suivante: E = E, H = H (78) E = γ( E + cβ H), ch = γ(ch β E) (79) Ici l indice signifie une composante de E ou de H prise dans la direction parallèle à la direction du mouvement de R par rapport à R (direction de β). L indice signifie des composantes orthogonale à β. Les champs E, H eux mêmes ne correspondent pas aux composantes spatiales des quadrivecteurs quelconques de l espace de Minkowski. Plutôt, ses composantes se trouvent parmis les composantes du tenseur F µν, qui est un objet plus naturel pour présenter le champ électromagnétique dans la théorie relativiste. 2

13 7.5. Les invariantes d un champ électromagnétique. A partir du tenseur F µν du champ électromagnétique on peut définir le tenseur dual: F µν = 2 ǫµνλτ F λτ (80) ǫ µνλτ est un tenseur d ordre 4 dans l espace de Minkowski, qui est entièrement antisymétrique dans ses indices (analogue au tenseur ǫ ijk dans l espace usuel, tridimensionnel). Ses composantes non-nulles sont obtenues à partir de ǫ 023 = (8) avec des permutations des 023, avec la seule règle que chaque permutation élémentaire des indices change le signe, du fait que ǫ µνλτ est antisymétrique dans ces indices. Il est proposé en exercice de vérifier que les composantes de F µν et de F µν sont les suivantes: F µν = F µν = 0 ch x ch y ch z ch x 0 E z E y ch y E z 0 E x ch z E y E x 0 0 ch x ch y ch z ch x 0 E z E y ch y E z 0 E x ch z E y E x 0 (82) (83) Avec ces tenseurs on peut définir deux invariants du champ électromagnétique: I = c 2 F µν F µν (84) et I 2 = 2 ǫµνλτ c 2 F µν F λτ = c 2 F µν F µν (85) En exercice 2, vérifier que, exprimer en E et H, ces invariants sont de la forme: I = 2(c 2 H 2 E 2 ) (86) I 2 = 4c( H, E) (87) 3

14 Ces deux quantités possèdent donc les mêmes valeurs, pour un champ électromagnétique donné, vue dans des référentiels différents. Les composants de E et H changent, d après les règles (78), (79), mais les valeurs des leurs combinaisons dans (86), (87) restent les mêmes. Cette propriété est assurée par le fait qu elles sont obtenues par des produits scalaires des tenseurs de l espace de Minkowski, éqs.(84), (85) Mouvement d une particule chargée dans un champ électromagnétique. Une particule chargée, avec la charge électrique q, est soumise à la force de Lorentz: q( E + v H) (88) où v est la vitesse de la particule. Par conséquent, son équation de mouvement sera de la forme: où p est l impulsion de la particule. d p dt = q( E + v H) (89) Comme il a été déjà observé dans le cours 8, la seule différence de cas non-relativiste dans l équation de mouvement d une particule, qui est soumise à une force, est dans la forme de son impulsion p. Alors, si p dans (89) est pris dans la forme: p = m 0 v v2 c 2 (90) où m 0 est la masse au repos de la particule, alors l éq.(89) décrit le mouvement de cette particule (de charge électrique q) dans le champ électromagnétique E, H, dans la théorie relativiste. Equation de mouvement (89) pourrait être présentée dans la forme covariante, c.à.d. en termes des vecteurs et tenseurs de l espace de Minkowski. Cette forme est la suivante: où p µ est la quadri-impulsion de la particule: dp µ dt 0 = qf µν u ν (9) cp µ = ε c p 4 (92)

15 u ν est sa quadrivitesse: u ν = γ(v) c v (93) voir les cours 3,4. u ν = γ(v) c v (94) En effet, pour les composantes spatiales de l éq.(9) on trouve: c dpi dt 0 = q(cf i0 u 0 + cf ij u j ) (95) c dpi dt 0 = q(e i cγ + cγ( v H) i ) (96) L égalité F ij u j = γ( v H) i se vérifie, par exemple, en comparant les composantes. Pour v H on peut utiliser l expression: ( v H) i = ǫ ijk v j H k. De (96) on obtient: On se rappèle que dt = γdt 0, Cours. Finalement: Nous avons retrouvé l équation (89). Pour la composante temporelle de l éq.(9) on trouve: dp i dt = q(ei + ( v H) i ) (97) d p dt = q( E + v H) (98) dε dt 0 = qf 0i u i (99) dε dt 0 = qf 0i γ( v i ) (00) dε dt = q E v (0) dε = q Ed x (02) On retrouve la relation usuelle entre la variation d énergie de la particule et le travail éffectué sur cette particule par le champ électrique. 5