1. Initiation au raisonnement par récurrence

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1 1. Initiation au raisonnement par récurrence Il s'agit d'un raisonnement inductif, c'est-à-dire un raisonnement visant à produire des connaissances par des conclusions plus générales que les prémisses. A partir du constat de la validité d'une propriété dépendant d'un entier naturel n sur des cas particuliers, on la valide par une démonstration pour une situation générale. Cette démonstration est donc réalisée en enchaînant trois étapes : La phase 1 consiste à vérifier la propriété proposée sur un cas particulier. Elle correspondra à la plus petite valeur n o du naturel n à partir de laquelle la propriété proposée à la démonstration sera vraie (en général pour n = 0 ou n = 1). Cette phase est celle de l'initialisation, on contrôle qu'il existe bien une première valeur qui enclenche le processus. La phase 2 consiste à démontrer que si la propriété est vraie pour une valeur p indéfinie supérieure ou égale à la valeur particulière n o, elle est alors vraie pour la valeur suivante p + 1. Cette étape est celle de l'hérédité, tout successeur reçoit la propriété de son prédécesseur. La phase 3 consiste à formuler la procédure et sa conclusion : la propriété est vraie pour la valeur n o. Si elle est vraie pour p, alors elle est vraie pour p + 1, on peut donc en conclure qu'elle s'étend à tout entier n n o. La propriété est vraie pour toute valeur de n supérieure ou égale à n o. Cette dernière phase, en s'appuyant sur les phases 1 et 2, valide à l'infini la propriété énoncée et lui confère son caractère de généralité. Cette procédure «démonstration par récurrence» approchée par divers mathématiciens anciens, al-karaji (? 1023), as-samw'al (? 1175), Pascal ( ), a été théorisée définitivement au siècle dernier par Henri Poincaré ( ). Il faut remarquer que cette méthode ne fait rien découvrir, elle permet seulement de valider des propriétés inventées» par ailleurs. C'est dans l'élaboration de la formule de récurrence que réside la difficulté essentielle. Exemple. Vérifier à l'aide du tableur ou de la calculatrice que 2n² + 2n + 8 est divisible par 4, pour tout entier naturel n. Le démontrer par récurrence. Initialisation Hérédité

2 2. Division euclidienne dans Théorème et définition : Soit a et b deux entiers naturels, b étant non nul. Il existe des entiers naturels q et r uniques tels que a = b q + r a ve c 0 r < b. On dit que a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste dans la division euclidienne de a par b. Remarque: Il y a de multiples écritures de a sous la forme b x q + r mais une seule est la relation de la division euclidienne de a par b. Par exemple 103 = mais on a aussi 103 = Seule l'égalité est la relation de la division euclidienne de 103 par 13 car Écriture d'un algorithme de division euclidienne Un algorithme est un procédé de calcul. Il s'agit donc ici de mettre en évidence une méthode dont l'exécution pas à pas, appliquée à deux entiers naturels a et b, conduit à la connaissance des entiers q et r, lorsque l'on ne dispose que de la commande de division notée «/» ou. Initialisation : Traitement : Sortie : Algorithme Donner à A la valeur du dividende Donner à B la valeur du diviseur Calculer A/B Donner à Q la valeur ENT (A/B) Donner à R la valeur.. Afficher Q Afficher R Programme sur TI Exercice. Sachant que = , effectuer, sans calculatrice et sans la poser, la division euclidienne de par : Multiples dans Le programme de première a défini les multiples d'un entier naturel dans. Dire qu'un entier naturel a est multiple d'un entier naturel b non nul signifie qu'il existe un entier naturel k tel que a = b k ou encore bk. On dit aussi que b est un diviseur de a. Ainsi a t on 28 multiple de 4 car 28 = 4 7 et 4 qui est diviseur de 28. Dire que l'entier naturel a est divisible par l'entier naturel b est équivalent à dire que a est multiple de b. Les propositions «a est multiple de b» et «b est diviseur de a» signifient la même chose. L'extension à l'ensemble des entiers relatifs conduit à la définition qui suit. Définition : Dire que l'entier relatif a est multiple de l'entier naturel b non nul signifie qu'il existe un entier relatif k tel que a = b k ou encore bk. Cela consiste donc à compléter la liste des naturels multiples de b par leurs opposés (à chaque entier naturel k on associe son opposé k). Exemple. Dans, les multiples de 7 sont 4. Congruences dans Définition : n étant un entier naturel non nul, on dira que deux nombres entiers relatifs a et b sont congrus modulo n si et seulement si leur différence a b est un multiple de n dans. On note a b (modulo n) ou a b (mod n) ou a b (n). Le nombre n étant un entier naturel non nul, «a b (mod n)» est équivalent à «Il existe un entier relatif k tel que a b = k n». Exemples 1.

3 Vérifier que (mod 7)... Vérifier que (mod 37)... Vérifier que (mod 37)... Vérifier que 86 5 (mod 7)... Exemples 2. Les nombres 136 et 7 sont-ils congrus modulo 7?... Les nombres et sont-ils congrus modulo 7?... Exemples 3. A-t-on 4 4 (1)? (1)? 9 9 (1)? Conjecturer une propriété, puis démontrer-la. Exemples 4. Soit a un entier relatif tel que a 0 (3). Que peut-on affirmer sur a? Soit b un entier relatif tel que b 0 (19). Que peut-on affirmer sur b? Premières propriétés o Pour tout entier relatif a, a a (mod n) o a 0 (n) si et seulement si... o Pour tous les entiers relatifs a et b, si a b (mod n), alors b (mod n) o Pour tous les entiers relatifs a, b et c si a b (mod n) et b c (mod n) alors (mod n) Lien avec la division euclidienne Tout nombre est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n. Applications. Effectuer la division euclidienne de 237 par 5. L'écrire sous forme de congruence. Effectuer la division euclidienne de 122 par 5. L'écrire sous forme de congruence. Propriété caractéristique, Deux nombres entiers relatifs a et b sont congrus modulo n si et seulement si ils ont même reste r par leur division euclidienne par n. Dans ce cas a et b sont congrus à ce reste r. Application1. A-t-on (mod5)? ( sans calcul). Application2. Effectuer la division euclidienne de 342 par 5. Effectuer la division euclidienne de 5428 par 5. A-t-on (mod5)? ( sans calcul).

4 Compatibilité avec l'addition et la multiplication Addition : si a a' (mod n) et b b' (mod n) a t on a + b a' + b' (mod n)? 125 (mod 7) et 334 (mod 7). D'une part =. et. (mod 7). Sur ce cas particulier, on constate qu'il y a compatibilité des congruences modulo 7 avec l'addition. Multiplication: si a a' (mod n) et b b' (mod n) a t on a b a' b' (mod n)? 125 (mod 7) et 334 (mod 7). D'une part =. et. (mod 7). Sur ce cas particulier, on constate qu'il y a compatibilité des congruences modulo 7 avec la multiplication. Propriétés. Pour tous les entiers relatifs a, b, a' et b' et pour tout entier naturel non-nul n, Compatibilité avec l'addition : si a b (mod n) et a' b' (mod n) alors (mod n) Compatibilité avec la multiplication : si a b (mod n) et a' b' (mod n) alors.... (mod n) Conséquences Si k est un entier relatif et si a b (mod n) et alors k a.. (mod n) Si k et k ' sont des entiers relatifs et si a b (mod n) et a' b' (mod n) alors k a + k' a'.. (mod n) En particulier, si a b (mod n) et a' b' (mod n) alors.... (mod n) Si k est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et si a b (mod n) et alors a k.. (mod n) Exercice. Deux entiers a et b sont tels que a 3 (mod 7) et b 6 (mod 7). Démontrer que 2a + b² est divisible par 7. Compatibilité avec l'addition et la multiplication Addition : si a a' (mod n) et b b' (mod n) a t on a + b a' + b' (mod n)? 125 (mod 7) et 334 (mod 7). D'une part =. et. (mod 7). Sur ce cas particulier, on constate qu'il y a compatibilité des congruences modulo 7 avec l'addition. Multiplication: si a a' (mod n) et b b' (mod n) a t on a b a' b' (mod n)? 125 (mod 7) et 334 (mod 7). D'une part =. et. (mod 7). Sur ce cas particulier, on constate qu'il y a compatibilité des congruences modulo 7 avec la multiplication. Propriétés. Pour tous les entiers relatifs a, b, a' et b' et pour tout entier naturel non-nul n, Compatibilité avec l'addition : si a b (mod n) et a' b' (mod n) alors (mod n) Compatibilité avec la multiplication : si a b (mod n) et a' b' (mod n) alors.... (mod n) Conséquences Si k est un entier relatif et si a b (mod n) et alors k a.. (mod n) Si k et k ' sont des entiers relatifs et si a b (mod n) et a' b' (mod n) alors k a + k' a'.. (mod n) En particulier, si a b (mod n) et a' b' (mod n) alors.... (mod n) Si k est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et si a b (mod n) et alors a k.. (mod n) Exercice. Deux entiers a et b sont tels que a 3 (mod 7) et b 6 (mod 7). Démontrer que 2a + b² est divisible par 7.

5 5. Quelques applications des congruences : les cles de controle Le numéro INSEE : Institut National des Statistiques et des Études Économiques. Ce numéro est aussi notre numéro de Sécurité Sociale. Il est constitué de 15 chiffres. En lisant de gauche à droite : o Le 1 er chiffre est 1 s'il s'agit d'un homme et 2 s'il s'agit d'une femme ; o les 2 chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de votre année de naissance ; o les 2 chiffres suivants désignent le mois de naissance ; o les 2 chiffres suivants désignent, du numéro de département de naissance ; o les 3 chiffres suivants désignent le numéro de la commune de naissance (les communes d'un département sont numérotées relativement à l'ordre alphabétique), o les 3 chiffres suivants désignent le rang de déclaration de naissance à la mairie au cours du mois ; o les deux derniers chiffres désignent la clé de contrôle K, calculée de la manière suivante : soit A le nombre entier constitué par les 13 chiffres de gauche ; soit r le reste de la division euclidienne du nombre A par 97 alors K = 97 r. Exemple 1 : Relevé sur une carte Vitale (identique au code INSSE) : La clé de contrôle est 02. Est-elle juste? Effectuons la division euclidienne de par 97, on obtient = et donc K = Exemple 2 :Vérifier votre carte vitale Les codes barres Pour désigner un produit de consommation on utilise le code UPC (Universel Product Code) constitué de 13 chiffres. Les douze premiers désignent le produit : le premier à gauche désigne le pays où l'article a été codifié (France 3), les cinq suivants (22888) identifient le fournisseur et les six qui suivent (104729) permettent une codification interne au fournisseur. Le treizième chiffre (8) est une clé de contrôle utile à la détection d'une erreur d'écriture de l'un des douze premiers chiffres. La clé est conçue de sorte que, si le code s'écrit C 1C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C 10 C 11 C 12 C 13, la somme du triple de la somme des chiffres d'indice pair et de la somme des chiffres d'indice impair soit congrue à 0 modulo 10. Exemple 1 : Le code est donc Le triple de la somme des termes d'indice pair est la somme des chiffres d'indice impair est d'où la somme.., nombre congru à 0 modulo 10. La lecture de ce code ne détecte pas d'erreur. Exemple 2 : Le produit est codé par la série , déterminer la clé associée.