CHAPITRE 2 : SYSTEMES DE NUMERATION

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1 CHAPITRE 2 : SYSTEMES DE NUMERATION Deux grands systèmes de numération ont été utilisés : les systèmes de type additif (égyptien, romain) et les systèmes de type positionnel. I LES SYSTEMES DE NUMERATION DE TYPE ADDITIF: 1.1 Système égyptien : Les chiffres égyptiens (3 000 ans avant notre ère) ont la forme de hiéroglyphes dont l orientation n a pas de signification particulière. 1.2 système romain : Il est toujours utilisé pour les datations. I = 1 ; V = 5 ; X = 10 ; L = 50 ; C = 100 ; D = 500 ; M = Exemple : le nombre 997 peut s écrire DCCCCLXXXXVII ce qui correspond à la décomposition : Il peut s écrire aussi CMXCVII à l aide de la règle «tout signe placé à gauche d un signe de valeur supérieure s en retranche». Cette règle de soustraction permet une économie des signes utilisés et permet d éviter les répétitions de signes. Ces deux systèmes ont des inconvénients : les grands nombres nécessitent un grand nombre de chiffres, les calculs sont difficiles (multiplication, division). Exercice 1: Ecrire avec le système romain et égyptien. Master1, UE 4, EC4A : Eléments de Mathématiques chapitre 2 systèmes de numération Page 1

2 II LES SYSTEMES DE NUMERATION POSITIONNELLE: 2.1 la valeur d un chiffre est définie par sa position: Dans les écritures 231 et 672, le chiffre 2 n a pas la même valeur. Un système de numération positionnelle repose sur trois principes : La valeur d un signe dépend de sa position dans l écriture du nombre. Cette valeur représente des groupements d unités : dizaines, centaines etc. dans notre système. La méthode de groupements est régulière, un groupement contient toujours le même nombre d éléments pour être échangé contre l unité supérieure. La valeur de cet échange s appelle la base. Dans notre système, la base est dix, c est pourquoi on parle de «numération décimale». Les mayas utilisent une base vingt au premier niveau. Pour être efficace et sans ambigüité, une numération de position doit permettre l écriture des nombres à l aide d une suite de chiffres, cela nécessite deux principes complémentaires : Le nombre de signes différents permettant l écriture des nombres est égal à la base (par exemple, le système binaire utilise le 0 et le1). Un des signes a pour fonction de signaler l absence de groupement d une certaine unité : c est le zéro. 2.2 la numération décimale de position (base dix) : 23 = = = 2 10 ² Un tableau peut être utilisé pour regrouper certaines informations : Centaines de milliers 10 5 Dizaines de milliers 10 4 Milliers 10 3 Centaines 10 2 Dizaines 10 1 Unités Généralisation : le nombre vwxyz s écrit en base dix : v w x y z C est la décomposition canonique du nombre. Le trait évite la confusion avec le produit vwxyz. 2.3 la numération de position de base quelconque : L étude des autres bases permet de mieux comprendre notre système et nous aider à concevoir les difficultés des élèves. En base b, les groupements se font par b éléments. Chaque groupement apporte au nombre une puissance de b correspondant à son rang. Il faut donc que b soit supérieur à 1. le nombre vwxyz s écrit en base b : v b 4 + w b 3 + x b 2 + y b 1 + z b 0. Le nombre a n a n-1 a n-2 a 2 a 1 a 0 s écrit en base b : a n b n + a n-1 b n a 1 b 1 + a 0 b 0. En base b, les chiffres ont tous une valeur inférieure à b. Exemples : en base 2, les chiffres utilisés sont 0 et 1. En base 6, les chiffres utilisés sont 0,1,2,3,4,5. En base douze, les chiffres utilisés sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α, β. 2.4 Ecrire en base dix un nombre donné en base b : Il faut d abord décomposer le nombre en base b, puis additionner les produits successifs. 103 cinq = = = β4 douze = = = Master1, UE 4, EC4A : Eléments de Mathématiques chapitre 2 systèmes de numération Page 2

3 Exercice 2: écrire en base dix les nombres suivants : 101 deux ; 101 quatre ; 101 douze. Exercice 3: écrire en base dix les nombres suivants : 324 cinq ; cinq ; 231 douze. Exercice 4: comparer les deux nombres cinq ; 231 douze sans les convertir en base dix. 2.5 Ecrire en base b un nombre donné en base dix : Par exemple, pour écrire en base cinq le nombre 321 (donné en base dix), on peut utiliser deux méthodes. Méthode 1 : on cherche le nombre de groupements par 5 dans = Le reste 1 (unités non groupées) est le chiffre des unités en base cinq : 321 = 1 cinq. On recommence la même procédure en gardant les restes successifs. 64 = donc 321 = 41 cinq = donc 321 = 241 cinq 2 = donc 321 = 2241 cinq Méthode 2 : on écrit les valeurs en base dix des puissances de cinq (voir tableau ci-dessous) et on cherche combien de fois elle est contenue dans le nombre donné en partant de la plus grande. 5 6 = = = = = = = 1 Par exemple pour 321 : 321 = = = = = = = = Donc 321 = 2241 cinq. Exercice 5: écrire en base 7 les nombres suivants : A = B = C = Exercice 6: écrire en base cinq les nombres donnés suivants de notre système décimal : 125 ; 500. Exercice 7: écrire en base deux les nombres donnés suivants de notre système décimal : 125 ; 500. Master1, UE 4, EC4A : Eléments de Mathématiques chapitre 2 systèmes de numération Page 3

4 III LA DESIGNATION ORALE DES NOMBRES: 3.1 règles d écriture des nombres : Notre numération écrite de position à base dix est construite à partir de règles ne souffrant aucune exception. Les désignations verbales des nombres inférieurs à cent sont reliés entre elles par des traits d union, sauf quand elles sont liées par la conjonction «et». 26 : vingt-six 578 : cinq cent soixante-dix-huit. 31 : trente et un. 571 : cinq cent soixante et onze 824 : huit cent vingt-quatre. En 1990, un rapport de l Académie française propose de modifier cette règle sans obligation. Les nombres composés peuvent désormais s écrire avec un trait d union entre chaque élément. Il est recommandé d écrire quatre-cents ou encore quatre-cent-cinquante-et-un. Cette nouvelle règle permet de distinguer par exemple vingt et un tiers (20 + 1/3) et vingt-et-un-tiers (21/3). Vingt et cent s accordent quand ils sont multipliés par un nombre et ne sont pas suivis par un autre nombre. Quatre-vingts. Quatre-vingt-sept Quatre cents Cent quatre Quatre cent cinquante et un Mille est invariable. Huit mille Vingt mille huit Millier, million, milliard s accordent car ce sont des adjectifs et non pas des noms. Deux cents millions trois cent mille mais trois cents milliers. 3.2 règles de lecture des nombres : Les numérations orales ont laissé s introduire une «oralisation» des écritures chiffrées pleine d exceptions. Notre numération orale française pourrait ne comprendre que dix mots : de zéro à neuf. Ainsi les mots onze, douze, treize sont source de difficultés pour les élèves. Onze pourrait être remplacé par dix-un etc. Les programmes permettent d accepter, dans un premier temps(cp),«sept-six» pour 76 et conseillent de ne pas apprendre à écrire en lettre un nombre qu on ne sait pas lire. L utilisation de termes spécifiques pour certaines puissances de dix (dix, cent, mille, million, milliard) et de règles de composition (dix mille, cent mille, dix millions) a l avantage de réduire le nombre de mots utilisés et favorise l appréhension rapide de l ordre de grandeur du nombre. Le tableau fournit les indications pour la lecture des grands nombres jusqu au sextillion selon la règle légale en France depuis = 10 6x = 10 6x = 10 6x = 10 6x = 10 6x6 Million Billion Trillion quadrillion quintillion sextillion Le milliard n a pas d existence «légale» ce qui ne signifie pas qu il ne peut pas être utilisé. Master1, UE 4, EC4A : Eléments de Mathématiques chapitre 2 systèmes de numération Page 4

5 CORRIGE DES EXERCICES CHAPITRE 2: Exercice 1: Cet exercice montre les limites de ces systèmes de numération! Exercice 2: 101 deux = = = quatre = = = douze = = = 145. Exercice 3: 324 cinq = = = cinq = = = douze = = = 325. Exercice 4: Le premier nombre est plus grand que 5 4 soit 625 alors que le deuxième sera plus petit que 2 12². Donc le premier nombre est le plus grand. Exercice 5: A = 3014 sept B = sept C = = = sept. Exercice 6: 125 = 1000 cinq 500 = 4000 cinq. Exercice 7: 125 = deux 500 = deux Master1, UE 4, EC4A : Eléments de Mathématiques chapitre 2 systèmes de numération Page 5