LISTE D EXERCICES N 3 - CORRECTION. Ecrire une fonction récursive calcule la somme des termes d un vecteur d entiers.

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1 Lycée Thiers mpsi 123 LISTE D EXERCICES N 3 - CORRECTION EX. 1 Ecrire une fonction récursive qui calcule la somme des carrés des entiers de 1 à n. Si l on note S n = n k 2, en convenant que S 0 = 0, il est clair que S n = n 2 + S n 1 pour tout n 1. Ceci donne k=1 aussitôt la fonction récursive demandée : EX. 2 let rec somcarres n = else n*n + somcarres (n-1) Ecrire une fonction récursive calcule la somme des termes d un vecteur d entiers. Si v est un vecteur d entiers de longueur n, alors la somme de ses termes est v. (0) + s où s désigne la somme des termes du sous-vecteur que l on imagine... EX. 3 let rec sommevect v = let n = vect_length v in else v.(0) + sommevect (sub_vect v 1 (n-1)) Ecrire une fonction récursive qui calcule le nombre de termes positifs ou nuls dans un vecteur d entiers. EX. 4 let rec nbtermespos v = if v = [ ] then 0 else let s = nbtermespos (sub_vect v 1 (vect_length v - 1)) in if v.(0) < 0 then s else s + 1 Un palindrome est un mot (ou une phrase) qui peut être lu(e) indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. Par exemple (si l on fait abstraction des espaces) : esope reste ici et se repose. Ecrire une fonction récursive de type string bool qui teste si une chaîne de caractères donnée est un palindrome. Principe : si la chaîne de caractères considérée est de longueur 2, on compare son premier et son dernier caractère. S ils sont distincts, c est cuit. Sinon, on regarde (récursivement) si la sous-chaîne de longueur n 2 obtenue après suppression de ces deux caractères est un palindrome. Cette récursion comporte deux cas de base : la chaîne vide et les chaînes de longueur 1 (qui sont des palindromes). let rec palindrome s = let n = string_length s in if n <= 1 then true else (s.[0] = s.[n-1]) & (palindrome (sub_string s 1 (n-2)))

2 EX. 5 LISTE D EXERCICES N 3 - CORRECTION 2 On a décrit en cours le calcul de x n par exponentiation rapide. Cette méthode repose sur la relation suivante : ( ) 2 x n/2 si n est pair x 0 = 1 et si n 1, alors x n = x ( x (n 1)/2) 2 sinon Ecrire une fonction récursive puiss : int int int qui mette en œuvre cette méthode pour calculer la puissance n ème d un entier. On rappelle que si n est un entier positif, l expression n/2 désigne en CaML la partie entière par défaut de la fraction n 2. En déduire une fonction puissmod : int int int int telle que puissmod x n q renvoie le reste de la division de x n par q. S en servir pour calculer le reste de la division de par 17. Comment obtient ce résultat à la main? let rec puiss x n = else let y = puiss x (n/2) in if n mod 2 = 0 then y * y else x * y * y Le calcul de x n modulo q est appelée exponentiation modulaire et joue un rôle important en arithmétique théorique comme dans diverses applications (dont la cryptographie). Il suffit de réduire modulo q à chaque cran : let rec puissmod x n q = else let y = puissmod x (n/2) q in let z = (y * y) mod q in if n mod 2 = 0 then z else (x * z) mod q On obtient ainsi : puissmod : int = 16 Ce calcul est faisable à la main! En effet : donc : Or, les puissances successives de 4 modulo 17 sont : avec une périodicité de 4. Ainsi, comme : On peut conclure : EX. 6 Les nombres de Fibonacci sont définis par : 4322 = [17] 4 0 = 1, 4 1 = 4, 4 2 = 16, 4 3 = [17], [17], etc = = 16 [17] F 0 = 0, F 1 = 1, n N, F n+1 = F n + F n 1 Programmer récursivement le calcul de F n en appliquant cette définition. On constatera que le calcul de F 37 est désespérément lent (mais correct : pas d overflow). En notant a n le nombre d additions effectuées pour le calcul de F n par cette méthode, calculer a n explicitement. Commentaires?

3 LISTE D EXERCICES N 3 - CORRECTION 3 let rec fibrec n = else if n = 1 then 1 else (fibrec (n-1) + fibrec (n-2)) Cette fonction possède une complexité catastrophique. Intuitivement, chaque appel récursif en déclenche deux autres, et chacun d eux en déclenche encore deux autres, etc... ce qui produit une arborescence binaire d appels récursifs. En fait, les ennuis proviennent de ce que cette fonction ne se souvient pas des résultats qu elle a déjà calculés : beaucoup de F n sont recalculés un grand nombre de fois... Par définition de a n : et pour tout n 2 : Astuce : on pose b n = 1 + a n. On a alors : On en déduit aisément que : a 0 = a 1 = 0 a n = 1 + a n 1 + a n 2 b 0 = 1, b 1 = 1 et ( n 2, b n = b n 1 + b n 2 ) n N, b n = F n+1 En effet, les suites (b n ) n 0 et (F n+1 ) n 0 ont des termes de rang 0 et 1 respectivement égaux et vérifient en outre la même relation de récurrence d ordre 2. Ce calcul montre que la fonction fibrec effectue un nombre d additions du même ordre de grandeur que l entier qu elle calcule!! Si l on connaît la formule explicite : n N, F n = 1 5 ( ) n ( ) n on en déduit que F n G n / 5 lorsque n + et donc a n G n+1 / 5. La complexité de fibrec est ainsi exponentielle. EX. 7 On a vu en cours comment calculer x n au moyen d une fonction récursive terminale. Rappelons les faits : let puissance x n = aux 1 n where rec aux pp n = if n = 0 then pp else aux (x * pp) (n-1) Noter que la fonction puissance n est pas récursive, mais fait appel à une fonction auxiliaire récursive. Cette dernière, notée aux dans cet exemple, utilise l un de ses arguments pour y placer le résultat partiel du calcul en cours, de sorte qu aucun dépilement ne sera nécessaire lorsque le cas de base sera atteint. A comparer avec la fonction récursive non terminale : let rec puissance x n = else x * (puissance x (n-1)) pour laquelle le calcul d une puissance se compose d une phase d empilement suivie d une phase de dépilement. En s inspirant de cet exemple, programmer le calcul de F n (n ème nombre de Fibonacci) à l aide d une fonction récursive terminale. let fibrt n = aux 0 1 n where rec aux a b n = if n = 0 then a else if n = 1 then b else aux b (a+b) (n-1)

4 EX. 8 LISTE D EXERCICES N 3 - CORRECTION 4 On rappelle que si (a, b) N N, alors il existe un unique ( q, r ) N 2 tel que a = bq + r et 0 r < b. En s interdisant l usage des opérateurs / et mod de CaML, écrire une fonction quotientreste de type int int int int qui calcule ( q, r ) à partir de (a, b). On en donnera deux versions : l une itérative et l autre récursive. Expliquons la démarche à partir d un exemple. Calculons le quotient et le reste de 1000 par On observe que : = , = , = , = , = , = , = , = et : = 1136 > 1000 Donc 1000 = Plus généralement, on démarre avec ( q, r ) = (0, a) et tant que b r on remplace ( q, r ) par ( q + 1, r b ). A force de retrancher b, on finit par atteindre un couple ( q, r ) pour lequel b > r : c est le bon. Version itérative : let qr (a,b) = let q = ref 0 and r = ref a in while b <=!r do q :=!q + 1; r :=!r - b done; (!q,!r) Version récursive (terminale) : EX. 9 let quotientreste (a,b) = aux 0 a where rec aux q r = if b <= r then aux (q+1) (r-b) else (q,r) Ecrire une fonction récursive qui calcule le nombre d occurrences d un chiffre donné dans l écriture décimale d un entier naturel. Etant donné n N, le chiffre des unités de son écriture décimale est u n = n mod 10. En supprimant ce chiffre n des unités, l entier obtenu est (qui s écrit n/10 en Caml...). 10 Notons N c (n) le nombre d occurrences du chiffre c dans l écriture décimale de n (n N et c {0,, 9}). Alors : ( ) { n 1 si un = c N c (n) = N c sinon Ceci permet d écrire la fonction demandée : let rec nbocc c n = if n = 0 then if c = 0 then 1 else 0 else let nb = nbocc c (n/10) in if n mod 10 = c then 1 + nb else nb Bien entendu, on pouvait aussi procéder itérativement... à chercher en exercice! EX. 10 Ecrire une fonction récursive estpresent : a a vect bool, qui teste la présence d un élément dans un vecteur. Quelle est sa complexité en nombre de tests d égalité? Peut-on faire mieux en supposant le vecteur trié? Pour cette dernière question, on pensera à la recherche d un mot dans un dictionnaire...

5 LISTE D EXERCICES N 3 - CORRECTION 5 let rec estpresent x v = if v = [ ] then false else (v.(0) = x) or (estpresent x (sub_vect v 1 (vect_length v - 1))) Profitons de cette occasion pour signaler qu une expression de la forme if condition then true else false peut avantageusement être remplacée par condition... et que, plus généralement, une expression de la forme if condition then true else expr_booleenne peut être remplacée par condition or expr_booleenne. La fonction estpresent est de complexité linéaire dans le pire cas (càd lorsque x est absent du vecteur v, ou alors présent seulement en dernière position, ce qui oblige à parcourir v en totalité). On pourrait montrer que la complexité moyenne est aussi linéaire : il faudrait pour cela considérer que le vecteur est tiré au hasard et que le nombre de tests d égalités requis est une variable aléatoire dont on cherche l expérance. Sans surprise, on trouverait n/2 où n désigne la longueur du vecteur (considérée comme une constante du problème). Maintenant, supposons le vecteur v trié, par exemple dans l ordre croissant. Il est possible de rechercher beaucoup plus efficacement si x est présent ou non : cela consiste à faire comme lorsqu on cherche un mot dans un dictionnaire! On partage donc v en deux sous-vecteur de longueur moitié et, comme v est trié, on sait très bien dans quelle moitié poursuivre la recherche. Le cas de base de la récursion est atteint pour un vecteur vide ou bien de longueur 1. Cette méthode est appelée recherche dichotomique : let rec present x v = let n = vect_length v in if n = 0 then false else if n = 1 then (v.(0) = x) else if x <= v.(n/2-1) then present x (sub_vect v 0 (n/2)) else present x (sub_vect v (n/2) (n - n/2)) Expérimentalement, la différence d efficacité est spectaculaire : pour un vecteur de entiers, la recherche linéaire prend quelques secondes, tandis que la recherche dichotomique est quasi-instantanée. On peut montrer que le nombre de tests requis pour la recherche dichotomique dans un vecteur de longueur n est de l ordre de log 2 (n).