CH 00 Mesures et incertitudes

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1 CH 00 Mesures et incertitudes Ceci est une version simplifiée du dossier Mesures et Incertitudes de votre livre( pa1 à pa.5). I. Vocabulaire Le mesurage est l ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l intervalle de valeurs que l on peut raisonnablement attribuer à la grandeur mesurée. Le terme mesurage est préféré à celui de mesure, car le mot «mesure» a de nombreux sens dans la langue française. La valeur mesurée, ou résultat d un mesurage, est la valeur attribuée à la grandeur suite à un mesurage. La valeur vraie est la valeur que l on obtiendrait si le mesurage était parfait. Un mesurage n étant jamais parfait, cette valeur est toujours inconnue. L erreur de mesure est l écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie. Par définition, cette erreur est inconnue puisque la valeur vraie est inconnue. II. Erreurs de mesure Les erreurs de mesures peuvent être dues à l instrument de mesure, à l opérateur ou à la variabilité de la grandeur mesurée. On distingue deux types d erreurs de mesures. a- Erreurs aléatoires Lorsqu un même opérateur répète plusieurs fois, dans les mêmes conditions, un même mesurage, les valeurs mesurées peuvent être différentes. Cette dispersion des valeurs mesurées peut être due à la qualité de l opérateur, à la qualité de l instrument de mesure, à d'éventuelles fluctuations de la grandeur mesurée ou de paramètres de l'environnement (température, pression, etc...). b- Erreurs systématiques Un appareil défectueux, mal étalonné ou utilisé incorrectement conduit à des valeurs mesurées proches les unes des autres, mais éloignées de la valeur vraie. Les erreurs systématiques peuvent disparaître par réglage. Le centre de la cible est la valeur vraie, inconnue. Les flèches sont les résultats de mesurages. Peu d'erreurs. Erreurs aléatoires. Erreurs systématiques. Erreurs aléatoires ET systématiques. III. Incertitude de mesure et intervalle de confiance En Physique, faire une mesure consiste à rechercher la valeur numérique d une grandeur, mais il est impossible de connaitre sa valeur exacte (ou valeur VRAIE ) à cause des erreurs de mesure. Pour juger de la précision d une mesure, nous ne pouvons qu associer une incertitude-type élargie U(x) à la valeur mesurée. On notera un résultat sous la forme : x vraie =x mesurée ± U (x) Exemple : la longueur d une table est L= ( (1,000 ± 0,005) m ) avec un taux de confiance de 95% signifie que l on estime que la vraie longueur de la table a 95% de chance d être comprise entre 0,995 m et 1,005 m. U(L) = 0,005 m est l incertitude-type élargie de la mesure de la longueur de la table. La longueur de la table est de 1,000m à 5 mm près en plus ou en moins. Cas où l incertitude n est pas précisée Si x=3,28 alors on prendra par défaut U(x) = 0,005 soit x=(3,280±0,005) TS CH00 Mesures et incertitudes.odt 1/6

2 Comment déterminer l incertitude-type élargie U(x)? L incertitude- type élargie se calcule par la formule U(x)= k u(x) k étant le facteur d élargissement et u(x) l incertitude-type. On ne gardera qu un seul chiffre significatif pour U(x)!!!!!!!!!! IV. Cas d'un seul mesurage (Incertitude de type B) On détermine d'abord l'incertitude-type : plusieurs cas possibles pour la valeur de s Exemple : Un thermomètre gradué en C Lecture simple sur une échelle graduée Double lecture sur une échelle graduée u= 1graduation (12) u= (2) 1graduation (12) = 1graduation (6) Exemples : règle, sur l oscilloscope, burette lecture double 0 Objet lecture simple Appareil avec indication du fabricant u= tolérance (3) ou écart fabricant (3) Exemple :multimètre, burette graduée, pipette jaugée, graduée Tolérances des burettes graduées de classe A : Capacités en ml Tolérances (ml) 25 ± 0,03 50 ± 0,05 Tolérance des pipettes jaugées : Capacités en ml Tolérances(mL) classe A et AS Tolérances(mL) classe B On détermine ensuite l'incertitude élargie Δx selon le niveau de confiance voulu : En terminale, le niveau de confiance pour une mesure unique est 95%, ce qui donne k = 2 soit U(x) = 2 u(x) Remarque : pour un niveau de confiance à 99%, on a k = 3 V. Cas d'une série de mesurages (Incertitude de type A) Si on effectue n mesures, on écrira le résultat sous la forme x= x ± U (x) avec x étant la valeur moyenne et U(x) = k u(x) a- La valeur de k dépend du nombre de mesure n. n k 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,2 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,1 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 1,96 Parfois, on retiendra la valeur k=2 comme les incertitudes de type B TS CH00 Mesures et incertitudes.odt 2/6

3 b- La valeur de u L incertitude -type u(x) se calcule par la formule u(x)= s exp n S exp est appelé écart-type et est noté Sx (dans les Ti-82) ou σ n-1 dans les autres calculatrices (casio notamment). Il se calcule par la relation : s exp = n ( x i x) 2 i =1 n 1 Pour la TI 82 : Aide! : Il existe la fonction stats pour gagner du temps : -Appuyer sur le bouton stats puis choisir EDIT pour rentrer vos valeurs dans une liste - Appuyer sur le bouton stats puis choisir CALC, rentrer le nom de la liste, vous obtenez x et Sx. VI. Incertitude sur une valeur calculée à partir de plusieurs mesurages a- Cas d'une somme ou d'une différence G = G 1 + G 2 ou G = G 1 G 2. Dans ces deux cas, l incertitude U(G) est donnée par : U(G)= U(G 1 ) 2 +U(G 2 ) 2 Exemple : Pour le volume V b mesuré sur une burette, il faut tenir compte de l incertitude U (V tolérance ) du à la tolérance, de l incertitude U(V lecture ) du à la double lecture (le zéro et Vb), puis à l incertitude de la goutte U (V goutte ) ( 0,05 ml) Soit une incertitude ΔV b = U (V tolérance ) 2 +U (V lecture ) 2 +U (V goutte ) 2 b- Cas d un produit ou d un quotient G = G 1 G 2 ou G= G 1 G 2. Dans ces deux cas, l incertitude U(G) est donnée par : U(G)=G ( U(G 2 1) ) +( U(G 2 2) ) G 1 G 2 c- Cas d une multiplication par un nombre exact G = A G 1 où A est un nombre exact. Dans ce cas, l incertitude U(G) est donnée par : U(G) = A U(G 1 ) VII. Comment exprimer le résultat? a- Précision relative d une mesure Elle est donnée par la formule U ( x) x en pourcentage. b- Chiffres significatifs (C.S.)et incertitudes Si x= 2,258 et U(x)= 0,03 alors on doit écrire x=2,26±0,03 Ainsi le nombre x possède 3 chiffres significatifs (U(x) a toujours 1 chiffre significatif au lycée) TS CH00 Mesures et incertitudes.odt 3/6

4 Rappels de seconde et 1S : Les zéros situés avant le nombre ne sont pas des C.S. Exemple : dans 0,02 il y a1 seul chiffre significatif Les zéros situés après le nombre sont des C.S. Exemple : dans 0,0020 il y a 2 C.S. On ne compte pas les puissances de 10. Exemple : dans 6,75 x10-3 il y a 3 C.S. Règle n 1 : Après une addition ou une soustraction, le résultat final ne doit pas avoir plus de décimales que le nombre qui en comporte le moins Ex : 23,12 + 1,2 = 24,3 Règle n 2 :Après une multiplication ou une division, le résultat ne doit pas avoir plus de chiffres significatifs que le nombre qui en comporte le moins Ex : = 3, et non 3000 même si mathématiquement c est exact! En effet, 3000 possède 4 C.S. alors que 30 n en possède que 2 d où l intérêt des nombres scientifiques!!! VIII. Applications Pour chaque cas calculer l'incertitude type u(x), l'incertitude élargie U(x) puis présenter correctement le résultat. Cas n 1 : mesure d'une température avec un thermomètre à graduation valeur lue : θ = 23,9 C ; plus petite graduation : 0,5 C Cas n 2 : Mesure d'un volume à l'aide d'une fiole jaugée Fiole jaugée de 100 ml ; intervalle de tolérance : ± 0,1 ml Cas n 3 : Mesure d'une période à l'oscilloscope Cas n 4 : Mesure d'une masse sur une balance électronique Une balance numérique au 1/100 de g affiche une masse m = 38,45 g. Cas n 5 : Détermination d'une résistance électrique avec le code des couleurs (R = 80 Ω ; tolérance ± 5 %) Cas n 6 : Mesure d'un volume à la burette graduée Un élève mesure un volume d eau de 40,0 ml avec une burette graduée de 50 ml de classe A (tolérance ± 0,05 ml) graduée au 1/10 ml Cas n 7 : Mesure de la valeur d'une résistance à l'ohmmètre de précision On lit R = kω ; La notice du fabricant indique : "accuracy : 0.019% + 3d" TS CH00 Mesures et incertitudes.odt 4/6

5 Compétences Notions et contenus Erreurs et notions associées Incertitudes et notions associées Expression et acceptabilité du résultat Compétences expérimentales exigibles Identifier les différentes sources d erreur (de limites à la précision) lors d une mesure : variabilités du phénomène et de l acte de mesure (facteurs liés à l opérateur, aux instruments, etc.). Évaluer et comparer les incertitudes associées à chaque source d erreur. Évaluer l incertitude de répétabilité à l aide d une formule d évaluation fournie. Évaluer l incertitude d une mesure unique obtenue à l aide d un instrument de mesure. Évaluer, à l aide d une formule fournie, l incertitude d une mesure obtenue lors de la réalisation d un protocole dans lequel interviennent plusieurs sources d erreurs. Maîtriser l usage des chiffres significatifs et l écriture scientifique. Associer l incertitude à cette écriture. Exprimer le résultat d une opération de mesure par une valeur issue éventuellement d une moyenne et une incertitude de mesure associée à un niveau de confiance. Évaluer la précision relative. Déterminer les mesures à conserver en fonction d un critère donné. Commenter le résultat d une opération de mesure en le comparant à une valeur de référence. Faire des propositions pour améliorer la démarche. TS CH00 Mesures et incertitudes.odt 5/6

6 Cas n 1 : mesure d'une température avec un thermomètre à graduation u(θ)= 0,5 12 =0,14 C donc U(θ) = 2 x u(θ) = 0,28 C arrondi à 0,3 C θ = 23,9 ± 0,3 C pour un intervalle de confiance de 95 % Cas n 2 : Mesure d'un volume à l'aide d'une fiole jaugée u(v)= 0,1 =0,058 ml 3 donc U(V) = 2 x u(v) = 0,12 ml arrondi à 0,1 ml V = 100,0 ± 0,1 ml pour un intervalle de confiance de 95 % Cas n 3 : Mesure d'une période à l'oscilloscope attention : double mesure dans ce cas. La mesure de T donne : T = 5,0 x = 1,0 ms u(t)= 0, =16,3μ s U(T) = 2 x u(t) = 3, s. 6 En raison du nombre de CS de T, cela impose que U(T) = s > 3, s donc T = 1, ± s = 1,0 ± 0,1 ms pour un intervalle de confiance de 95% TS CH00 Mesures et incertitudes.odt 6/6