Techniques probabilistes et combinatoires pour l analyse des flux de données
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- Léon Meunier
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1 Techniques probabilistes et combinatoires pour l analyse des flux de données Dédié à la mémoire de Philippe Flajolet ( ) Conrado Martínez Universitat Politècnica de Catalunya Journées ALÉA, CIRM, Marseille-Luminy Mars 2012
2 Introduction Un flux de données est une séquence (très longue) S = s 1, s 2, s 3,..., s N d éléments tirés d un (grand) domaine U (s i U) Le but: calculer y = y(s), mais...
3 Introduction Un flux de données est une séquence (très longue) S = s 1, s 2, s 3,..., s N d éléments tirés d un (grand) domaine U (s i U) Le but: calculer y = y(s), mais...
4 Introduction... sous certaines contraintes une seule passe sur les données court temps de traitement pour chaque élément une quantité limitée M de mémoire auxiliaire, M N; idéalement M = Θ(1) où M = Θ(log N) aucune hypothèse statistique (sur les données)
5 Introduction... sous certaines contraintes une seule passe sur les données court temps de traitement pour chaque élément une quantité limitée M de mémoire auxiliaire, M N; idéalement M = Θ(1) où M = Θ(log N) aucune hypothèse statistique (sur les données)
6 Introduction... sous certaines contraintes une seule passe sur les données court temps de traitement pour chaque élément une quantité limitée M de mémoire auxiliaire, M N; idéalement M = Θ(1) où M = Θ(log N) aucune hypothèse statistique (sur les données)
7 Introduction... sous certaines contraintes une seule passe sur les données court temps de traitement pour chaque élément une quantité limitée M de mémoire auxiliaire, M N; idéalement M = Θ(1) où M = Θ(log N) aucune hypothèse statistique (sur les données)
8 Introduction Il y a de nombreuses applications pour ce modèle: Analyse du trafic de réseau attaques DoS/DDoS, vers (worms),... Optimisation des requêtes de base de données Récupération de l information indice de similarité Data mining Et beaucoup plus...
9 Introduction Il y a de nombreuses applications pour ce modèle: Analyse du trafic de réseau attaques DoS/DDoS, vers (worms),... Optimisation des requêtes de base de données Récupération de l information indice de similarité Data mining Et beaucoup plus...
10 Introduction Il y a de nombreuses applications pour ce modèle: Analyse du trafic de réseau attaques DoS/DDoS, vers (worms),... Optimisation des requêtes de base de données Récupération de l information indice de similarité Data mining Et beaucoup plus...
11 Introduction Il y a de nombreuses applications pour ce modèle: Analyse du trafic de réseau attaques DoS/DDoS, vers (worms),... Optimisation des requêtes de base de données Récupération de l information indice de similarité Data mining Et beaucoup plus...
12 Introduction Il y a de nombreuses applications pour ce modèle: Analyse du trafic de réseau attaques DoS/DDoS, vers (worms),... Optimisation des requêtes de base de données Récupération de l information indice de similarité Data mining Et beaucoup plus...
13 Introduction On regarde S comme un multi-ensemble {w 1 f 1,..., w n f n }, où f i = la fréquence de l élément i-ième distincte w i La cardinalité card(s) = n N Les moments de fréquence F p = 1 i n f P i (N.B. n = F 0, N = F 1) Les éléments w i tels que f i k (k-éléphants) Les éléments w i tels que f i < k (k-souris) Les éléments w i tels que f i cn, 0 < c < 1 (c-icebergs) Les k éléments les plus fréquents...
14 Introduction On regarde S comme un multi-ensemble {w 1 f 1,..., w n f n }, où f i = la fréquence de l élément i-ième distincte w i La cardinalité card(s) = n N Les moments de fréquence F p = 1 i n f P i (N.B. n = F 0, N = F 1) Les éléments w i tels que f i k (k-éléphants) Les éléments w i tels que f i < k (k-souris) Les éléments w i tels que f i cn, 0 < c < 1 (c-icebergs) Les k éléments les plus fréquents...
15 Introduction On regarde S comme un multi-ensemble {w 1 f 1,..., w n f n }, où f i = la fréquence de l élément i-ième distincte w i La cardinalité card(s) = n N Les moments de fréquence F p = 1 i n f P i (N.B. n = F 0, N = F 1) Les éléments w i tels que f i k (k-éléphants) Les éléments w i tels que f i < k (k-souris) Les éléments w i tels que f i cn, 0 < c < 1 (c-icebergs) Les k éléments les plus fréquents...
16 Introduction On regarde S comme un multi-ensemble {w 1 f 1,..., w n f n }, où f i = la fréquence de l élément i-ième distincte w i La cardinalité card(s) = n N Les moments de fréquence F p = 1 i n f P i (N.B. n = F 0, N = F 1) Les éléments w i tels que f i k (k-éléphants) Les éléments w i tels que f i < k (k-souris) Les éléments w i tels que f i cn, 0 < c < 1 (c-icebergs) Les k éléments les plus fréquents...
17 Introduction On regarde S comme un multi-ensemble {w 1 f 1,..., w n f n }, où f i = la fréquence de l élément i-ième distincte w i La cardinalité card(s) = n N Les moments de fréquence F p = 1 i n f P i (N.B. n = F 0, N = F 1) Les éléments w i tels que f i k (k-éléphants) Les éléments w i tels que f i < k (k-souris) Les éléments w i tels que f i cn, 0 < c < 1 (c-icebergs) Les k éléments les plus fréquents...
18 Introduction On regarde S comme un multi-ensemble {w 1 f 1,..., w n f n }, où f i = la fréquence de l élément i-ième distincte w i La cardinalité card(s) = n N Les moments de fréquence F p = 1 i n f P i (N.B. n = F 0, N = F 1) Les éléments w i tels que f i k (k-éléphants) Les éléments w i tels que f i < k (k-souris) Les éléments w i tels que f i cn, 0 < c < 1 (c-icebergs) Les k éléments les plus fréquents...
19 Introduction On regarde S comme un multi-ensemble {w 1 f 1,..., w n f n }, où f i = la fréquence de l élément i-ième distincte w i La cardinalité card(s) = n N Les moments de fréquence F p = 1 i n f P i (N.B. n = F 0, N = F 1) Les éléments w i tels que f i k (k-éléphants) Les éléments w i tels que f i < k (k-souris) Les éléments w i tels que f i cn, 0 < c < 1 (c-icebergs) Les k éléments les plus fréquents...
20 Introduction Mémoire disponible très limitée solution exacte trop couteuse algorithmes randomisés estimation ŷ de la quantité y d intérêt L estimateur ŷ est non biaisé E [ŷ] = y Il a une très bonne précision (erreur-type) e.g., ɛ = 0.01 (1%) SE [ŷ] := Var [ŷ] E [ŷ] < ɛ,
![intérêt L estimateur ŷ est non biaisé E [ŷ] = y Il a une très bonne](/docs-images/58/4435893/images/page_20.jpg "précision (erreur-type) e.g., ɛ = 0.")
21 Introduction Mémoire disponible très limitée solution exacte trop couteuse algorithmes randomisés estimation ŷ de la quantité y d intérêt L estimateur ŷ est non biaisé E [ŷ] = y Il a une très bonne précision (erreur-type) e.g., ɛ = 0.01 (1%) SE [ŷ] := Var [ŷ] E [ŷ] < ɛ,
22 Probabilistic Counting G.N. Martin À la fin des années 70 G. Nigel N. Martin invente le probabilistic counting pour optimiser les requêtes de bases de données Il corrige le biais qu il a trouvé dans son estimateur, en bidouillant l algorithme
23 Probabilistic Counting Lorsque Flajolet découvre l algorithme, il le met dans des bases solides scientifiques avec une analyse détaillée qui fournit les facteurs de correction et montre la borne supérieure dans l erreur-type
24 Probabilistic Counting La première idée: chaque élément est haché pour donner un certain nombre dans (0, 1) aléa reproductible Le multi-ensemble S est mappée par la fonction de hachage h : U (0, 1) dans un multi-ensemble S = h(s) = {x 1 f 1,..., x n f n }, avec x i = hash(w i ), f i = # de x i s L ensemble des éléments distincts X = {x 1,..., x n } est donc un ensemble de n numéros aléatoires indépendants répartis uniformément dans (0, 1)
25 Probabilistic Counting La première idée: chaque élément est haché pour donner un certain nombre dans (0, 1) aléa reproductible Le multi-ensemble S est mappée par la fonction de hachage h : U (0, 1) dans un multi-ensemble S = h(s) = {x 1 f 1,..., x n f n }, avec x i = hash(w i ), f i = # de x i s L ensemble des éléments distincts X = {x 1,..., x n } est donc un ensemble de n numéros aléatoires indépendants répartis uniformément dans (0, 1) On fait abstraction de la possibilité ici de collisions
26 Probabilistic Counting La première idée: chaque élément est haché pour donner un certain nombre dans (0, 1) aléa reproductible Le multi-ensemble S est mappée par la fonction de hachage h : U (0, 1) dans un multi-ensemble S = h(s) = {x 1 f 1,..., x n f n }, avec x i = hash(w i ), f i = # de x i s L ensemble des éléments distincts X = {x 1,..., x n } est donc un ensemble de n numéros aléatoires indépendants répartis uniformément dans (0, 1) On fait abstraction de la possibilité ici de collisions
27 Probabilistic Counting Flajolet & Martin (JCSS, 1985) ont proposé de trouver, parmi les valeurs hachées, le plus grand préfixe (en binaire) de la forme 0.0 p ; R est la valeur maximale de sorte que les motifs , , ,..., 0.0 R sont tous apparus dans le flux La valeur R est une observable qui peut être facilement trouvé avec très peu de mémoire & il est insensible aux répétitions observables doivent être des fonctions de X seulement
28 Probabilistic Counting Pour un ensemble de n nombres aléatoires dans (0, 1) E [R] log 2 n Toutefois, E [ 2 R] n, outre les écarts sont significatifs
29 Probabilistic Counting Pour un ensemble de n nombres aléatoires dans (0, 1) E [R] log 2 n Toutefois, E [ 2 R] n, outre les écarts sont significatifs
30 Probabilistic Counting procedure PROBABILISTICCOUNTING(S) bmap 0, 0,..., 0 for s S do y hash(s) p long. de plus grand préfixe 0.0 p dans y bmap[p] 1 R long. de plus grand préfixe 0 R dans bmap φ est le facteur de correction return Z := φ 2 R L analyse fournit la valeur de φ nécessaire pour corriger le biais: φ 1 = eγ 2 3 ( (4k + 1)(2k + 1) 2k(4k + 3) k 1 E [ φ 2 R] = n ) ( 1) ν(k)
31 Stochastic averaging Malheureusement l erreur-type de l estimateur Z := φ 2 R, malgré constante, est trop grande: SE [Z] > 1 Le deuxième idée: répéter pour améliorer la précision Mais... utiliser m fonctions de hachage pour produire m flux est un calcul coûteux et implique de graves difficultés pour garantir l indépendance
32 Stochastic averaging Malheureusement l erreur-type de l estimateur Z := φ 2 R, malgré constante, est trop grande: SE [Z] > 1 Le deuxième idée: répéter pour améliorer la précision Mais... utiliser m fonctions de hachage pour produire m flux est un calcul coûteux et implique de graves difficultés pour garantir l indépendance
33 Stochastic averaging Malheureusement l erreur-type de l estimateur Z := φ 2 R, malgré constante, est trop grande: SE [Z] > 1 Le deuxième idée: répéter pour améliorer la précision Mais... utiliser m fonctions de hachage pour produire m flux est un calcul coûteux et implique de graves difficultés pour garantir l indépendance
34 Stochastic averaging Utilisez les premiers log 2 m bits de chaque valeur hachée pour le rediriger vers l un des m sous-flux stochastic averaging Obtenir m observables R 1, R 2,..., R m et la moyenne! Chaque R i fournit une estimation pour le nombre d éléments qui vont au sous-flux i-ième, à savoir, R i estime n/m
35 Stochastic averaging Utilisez les premiers log 2 m bits de chaque valeur hachée pour le rediriger vers l un des m sous-flux stochastic averaging Obtenir m observables R 1, R 2,..., R m et la moyenne! Chaque R i fournit une estimation pour le nombre d éléments qui vont au sous-flux i-ième, à savoir, R i estime n/m
36 Stochastic averaging Utilisez les premiers log 2 m bits de chaque valeur hachée pour le rediriger vers l un des m sous-flux stochastic averaging Obtenir m observables R 1, R 2,..., R m et la moyenne! Chaque R i fournit une estimation pour le nombre d éléments qui vont au sous-flux i-ième, à savoir, R i estime n/m
37 Stochastic averaging Il ya plusieurs façons de calculer un estimateur à partir des m observables Somme des estimateurs: Z 1 := φ(2 R Rm ) Moyenne arithmétique des observables (proposé par Flajolet et Martin): Z 2 := m φ 2 1 m 1 i m R i
38 Stochastic averaging Moyenne harmonique (voir plus loin): m 2 Z 3 := φ 3 2 R R R m Ici nous nous attendons à 2 R i m/n, d où pour le deuxième facteur on aura m 2 /(m 2 /n) = n
39 Stochastic averaging Toutes les stratégies ci-dessus nous donnent des estimateurs dont l erreur-type est de la forme c m + l.o.t. Augmenter la mémoire précision beaucoup meilleure! Dans le cas du probabilistic counting, on utilise la moyenne arithmétique des observables SE [Z ProbCount ] 0.78 m
40 Stochastic averaging Toutes les stratégies ci-dessus nous donnent des estimateurs dont l erreur-type est de la forme c m + l.o.t. Augmenter la mémoire précision beaucoup meilleure! Dans le cas du probabilistic counting, on utilise la moyenne arithmétique des observables SE [Z ProbCount ] 0.78 m
41 LogLog & HyperLogLog M. Durand Durand & Flajolet (2003) ont réalisé que on peut dispenser des bitmaps du Probabilistic Counting et proposent comme observable le plus grand R tel que le motif 0.0 R 1 1 apparaît La nouvelle observable est similaire à celle du Probabilistic Counting, mais pas égale: R(LogLog) R(ProbCount) Example Motifs observés: , , , R(LogLog) = 5, R(ProbCount) = 3
42 LogLog & HyperLogLog M. Durand Durand & Flajolet (2003) ont réalisé que on peut dispenser des bitmaps du Probabilistic Counting et proposent comme observable le plus grand R tel que le motif 0.0 R 1 1 apparaît La nouvelle observable est similaire à celle du Probabilistic Counting, mais pas égale: R(LogLog) R(ProbCount) Example Motifs observés: , , , R(LogLog) = 5, R(ProbCount) = 3
43 LogLog & HyperLogLog M. Durand Durand & Flajolet (2003) ont réalisé que on peut dispenser des bitmaps du Probabilistic Counting et proposent comme observable le plus grand R tel que le motif 0.0 R 1 1 apparaît La nouvelle observable est similaire à celle du Probabilistic Counting, mais pas égale: R(LogLog) R(ProbCount) Example Motifs observés: , , , R(LogLog) = 5, R(ProbCount) = 3
44 LogLog & HyperLogLog Nous avons besoin seulement de maintenir la R maximal en cours R := max{r, p} il suffit de stocker Θ(log log n) bits comme E [R] = Θ(log n)! Maintenant nous avons E [R] log 2 n, mais E [ 2 R] = +, le stochastic averaging vient à la rescousse! Pour LogLog, Durand & Flajolet propose Z LogLog := α m m 2 1 m 1 i m R i
45 LogLog & HyperLogLog Nous avons besoin seulement de maintenir la R maximal en cours R := max{r, p} il suffit de stocker Θ(log log n) bits comme E [R] = Θ(log n)! Maintenant nous avons E [R] log 2 n, mais E [ 2 R] = +, le stochastic averaging vient à la rescousse! Pour LogLog, Durand & Flajolet propose Z LogLog := α m m 2 1 m 1 i m R i
46 LogLog & HyperLogLog Nous avons besoin seulement de maintenir la R maximal en cours R := max{r, p} il suffit de stocker Θ(log log n) bits comme E [R] = Θ(log n)! Maintenant nous avons E [R] log 2 n, mais E [ 2 R] = +, le stochastic averaging vient à la rescousse! Pour LogLog, Durand & Flajolet propose Z LogLog := α m m 2 1 m 1 i m R i
47 LogLog & HyperLogLog L analyse fournit la forme exacte du facteur de correction α m = ( Γ( 1/m) 1 21/m ln 2 ) m pour garantir non-biaisage asymptotique, et l erreur-type est SE [ ] 1.30 Z LogLog m Seulement m compteurs de log 2 log 2 N bits sont nécessaires: Ex.: m = 2048 compteurs de 5 bits pour estimer cardinalités jusqu à , avec une erreur inférieure à 4%
48 LogLog & HyperLogLog L analyse fournit la forme exacte du facteur de correction α m = ( Γ( 1/m) 1 21/m ln 2 ) m pour garantir non-biaisage asymptotique, et l erreur-type est SE [ ] 1.30 Z LogLog m Seulement m compteurs de log 2 log 2 N bits sont nécessaires: Ex.: m = 2048 compteurs de 5 bits pour estimer cardinalités jusqu à , avec une erreur inférieure à 4%
49 LogLog & HyperLogLog É. Fusy O. Gandouet F. Meunier Flajolet, Fusy, Gandouet & Meunier conçoivent en 2007 le best algorithm known (cif. PF s keynote speech à ITC Paris 2009) En bref, HyperLogLog combine les observables R i à la LogLog de m sous-flux avec la moyenne harmonique SE [ Z HyperLogLog ] 1.03 m
50 LogLog & HyperLogLog É. Fusy O. Gandouet F. Meunier Flajolet, Fusy, Gandouet & Meunier conçoivent en 2007 le best algorithm known (cif. PF s keynote speech à ITC Paris 2009) En bref, HyperLogLog combine les observables R i à la LogLog de m sous-flux avec la moyenne harmonique SE [ Z HyperLogLog ] 1.03 m
51 LogLog & HyperLogLog P. Chassaing L. Gérin L idée a été inspirée par l étude analytique de Chassaing & Gérin (2006) de quelle etait la manière optimale de combiner observables; dans leur cas, les observables étaient les valeurs k-èmes de chaque sous-flux Chassaing & Gérin montrent que la meilleure façon de faire ceci est avec la moyenne harmonique
52 LogLog & HyperLogLog P. Chassaing L. Gérin L idée a été inspirée par l étude analytique de Chassaing & Gérin (2006) de quelle etait la manière optimale de combiner observables; dans leur cas, les observables étaient les valeurs k-èmes de chaque sous-flux Chassaing & Gérin montrent que la meilleure façon de faire ceci est avec la moyenne harmonique
53 Statistiques d ordre Bar-Yossef, Kumar & Sivakumar (2002); Bar-Yossef, Jayram, Kumar, Sivakumar & Trevisan (2002) proposent d utiliser la statistique d ordre k-ième X (k) pour estimer la cardinalité; pour un ensemble de n nombres aleatoires indépendantes et uniformément distribués E [X k ] = k n + 1 Giroire (2005, 2009) propose aussi quelques estimateurs qui combinent le stochastic averaging et les statistiques d ordre k-ième
54 Statistiques d ordre Bar-Yossef, Kumar & Sivakumar (2002); Bar-Yossef, Jayram, Kumar, Sivakumar & Trevisan (2002) proposent d utiliser la statistique d ordre k-ième X (k) pour estimer la cardinalité; pour un ensemble de n nombres aleatoires indépendantes et uniformément distribués E [X k ] = k n + 1 Giroire (2005, 2009) propose aussi quelques estimateurs qui combinent le stochastic averaging et les statistiques d ordre k-ième
55 Statistiques d ordre J. Lumbroso Bien que le minimum (k = 1) ne permet pas un estimateur viable, le stochastic averaging évite le problème Ainsi, Lumbroso utilise la moyenne harmonique des minimums de m sous-flux Z MinCount := m(m 1) M M m, où M i est le minimum de l i-ième sous-flux
56 Statistiques d ordre J. Lumbroso Bien que le minimum (k = 1) ne permet pas un estimateur viable, le stochastic averaging évite le problème Ainsi, Lumbroso utilise la moyenne harmonique des minimums de m sous-flux Z MinCount := m(m 1) M M m, où M i est le minimum de l i-ième sous-flux
57 Statistiques d ordre L estimateur, non-biasé, a erreur-type 1/ m 2 Lumbroso parvient aussi à calculer la distribution de probabilité du estimateur, et quelles sont les corrections nécessaires pour estimer les petites cardinalités (qui présentent habituellement des déformations)
58 Statistiques d ordre L estimateur, non-biasé, a erreur-type 1/ m 2 Lumbroso parvient aussi à calculer la distribution de probabilité du estimateur, et quelles sont les corrections nécessaires pour estimer les petites cardinalités (qui présentent habituellement des déformations)
59 Recordinality A. Helmi J. Lumbroso A. Viola RECORDINALITY est un nouvel estimateur vaguement lié à les statistiques d ordre, mais il fonctionne sur des principes très différents de ceux d autres estimateurs, avec des propriétés remarquables Ne manquez pas l exposé de Jérémie juste après!
60 Recordinality A. Helmi J. Lumbroso A. Viola RECORDINALITY est un nouvel estimateur vaguement lié à les statistiques d ordre, mais il fonctionne sur des principes très différents de ceux d autres estimateurs, avec des propriétés remarquables Ne manquez pas l exposé de Jérémie juste après!
61 D autres problèmes Pour trouver les k-éléphants ou k-souris on prend un échantillon aléatoire de taille T d éléments différents, avec leurs compteurs de fréquence Alors, si il y a une proportion p k de k-souris (k-éléphants) dans l échaintillon alors notre estimation est # de k-souris = p kˆn, avec n l estimation de la cardinalité...
62 D autres problèmes Pour trouver les k-éléphants ou k-souris on prend un échantillon aléatoire de taille T d éléments différents, avec leurs compteurs de fréquence Alors, si il y a une proportion p k de k-souris (k-éléphants) dans l échaintillon alors notre estimation est # de k-souris = p kˆn, avec n l estimation de la cardinalité...
63 D autres problèmes Le problème de l obtention des échantillons aléatoires d éléments du flux est clairement l un des plus important et intéressant L échantillons est un multi-ensemble, chaque élément x j apparaît avec fréquence proportionnelle a ν j straight sampling needle-on-a-haystack
64 D autres problèmes Le problème de l obtention des échantillons aléatoires d éléments du flux est clairement l un des plus important et intéressant L échantillons est un multi-ensemble, chaque élément x j apparaît avec fréquence proportionnelle a ν j straight sampling needle-on-a-haystack
65 D autres problèmes Wegman G. Louchard Ce qu il faut sont des échantillons d éléments différents distinct sampling Adaptive sampling (Wegman, 1980; Flajolet, 1990; Louchard, 1997) nous donne exactement ce que on a besoin
66 D autres problèmes Wegman G. Louchard Ce qu il faut sont des échantillons d éléments différents distinct sampling Adaptive sampling (Wegman, 1980; Flajolet, 1990; Louchard, 1997) nous donne exactement ce que on a besoin
67 D autres problèmes procedure ADAPTIVESAMPLING(S, maxc) C ; p 0 for x S do if hash(x) = 0 p... then C C {x} if C > maxc then p p + 1; filter C return C Quand on a fini, C est le nombre d éléments que on a, dans un trie aléatoire de taille n, dans le sous-arbre avec racine 0 p ; il a exactement 2 p sous-arbres avec racines à profondeur p (0 c est un d eux). Donc il y aura C n/2 p la taille C nous donne une estimation d n!!
68 Merci beaucoup de votre attention!
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