3 Transformations. Quand le point initial et son image sont confondus, on dit que le point est invariant.

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1 3 Transformations e troisième et dernier chapitre de géométrie plane sera consacré à l étude des transformations d un point de vue théorique et d un point de vue didactique, par l intermédiaire d extraits de manuels, manuels approuvés par le Ministère ou autres. Dans ce chapitre, toujours avec une perspective d arrimage entre les différents ordres d enseignement, les rappels théoriques aborderont non seulement les transformations qui sont aux programmes du primaire, mais aussi celles qui sont au programme du secondaire. La translation et la symétrie qui sont au programme du primaire seront présentées telles qu elles le sont pour les mathématiciens et telles qu on les enseigne au primaire. 3.1 Rappels théoriques Transformations géométriques Par définition, une transformation géométrique est une correspondance biunivoque du plan sur lui même qui, à chaque point du plan, associe un point unique du plan selon une règle bien définie. Le point obtenu s appelle l image du premier. Souvent, on désigne par l image du point, l image du point, etc. Quand le point initial et son image sont confondus, on dit que le point est invariant. Si une figure et son image sont confondues l une avec l autre, on dit que la figure est globalement invariante. Les transformations à l étude au primaire sont la translation et la symétrie orthogonale ou réflexion. u programme du premier cycle du secondaire, on aborde la rotation et l homothétie. Isométries Étymologiquement, «isométrie» vient du grec «isos» qui signifie «égal» et «metron» qui signifie «mesure». Donc, les isométries sont les transformations du plan dans lesquelles les mesures (les distances entre les points) de la figure initiale sont conservées sur la figure image. 61

2 3 La géométrie à l école primaire Les figures vertes et roses sont isométriques : elles sont composées de figures ayant les mêmes mesures (longueur des segments, égalité des angles, etc.). Si on les découpe, elles coïncideront. On dit aussi qu elles sont superposables. u programme de l école primaire, on étudie la symétrie orthogonale par rapport à une droite (ou encore réflexion) et la translation. Les élèves travaillent presque toujours sur du papier quadrillé. Une autre isométrie est au programme du premier cycle du secondaire : la rotation. Homothétie Une homothétie est définie par un point appelé centre de l homothétie et un rapport qui est un nombre réel,. Par définition, le point a pour image le point dans l homothétie de centre et de rapport positif quand les points, et sont alignés, que et sont du même côté de et que l on a l égalité. Si 1, est entre et parce que la longueur de est plus petite que celle de. Si 1, est entre et parce que la longueur de est plus petite que celle de. Dans les illustrations suivantes, la figure rose est l image de la figure verte dans la translation de centre. Illustration 1 Illustration 2 O 4 6 ' 18 ' O 1,2 1,8 ' ' ' ' 4; ; ; 0,3 1,2 6; 0,3 1,8 Le rapport d homothétie est 3. La figure image a des mesures trois fois plus grandes que la figure initiale. Le rapport d homothétie est 0,3. Les mesures de la figure image ont été obtenues en multipliant celles de la figure initiale par 0,3. La figure image (figure rose) est donc plus petite que la figure initiale. Dans une homothétie, les angles de la figure initiale sont conservés dans la figure image. Les côtés de la figure initiale et les côtés homologues de la figure image sont parallèles entre eux, ou dans le prolongement les uns des autres. Si le rapport d homothétie est négatif, le centre est entre le point et son image. 62

3 Transformations Symétrie par rapport à une droite (ou réflexion) Définition mathématique Étant donné une droite, on appelle symétrie orthogonale d axe l application qui à tout point associe le point tel que la droite, soit la médiatrice du segment. Dire que la droite est la médiatrice du segment, c est dire que la droite coupe le segment perpendiculairement en son milieu. D' 2 E F 3,6 I 2 G G' H D 3,6 d F' ' E' 3,6 2 Le point est l image du point : la droite est perpendiculaire au segment et elle le coupe en son milieu. On dit aussi que le point est le symétrique du point par rapport à la droite ou que les points et sont symétriques l un de l autre par rapport à la droite. On peut constater que si un point est d un côté de la droite, son image est de l autre côté. insi, dans l illustration ci dessus, on peut observer que et étant de chaque côté de la droite, leurs images et sont elles aussi de chaque côté de la droite. Le triangle, image du triangle, a les mêmes mesures, donc les mêmes caractéristiques que le triangle. 63

4 3 La géométrie à l école primaire Définition à l école primaire Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles coïncident par pliage le long de cette droite. Situation 1 Situation 2 insi, dans la situation 1, on peut faire coïncider les figures rose et verte en pliant selon une droite inclinée vers la gauche. Dans la situation 2, c est impossible. Les deux figures sont isométriques mais ne sont pas symétriques l une de l autre. Quand les élèves n ont pas à reconnaître que des figures sont symétriques, ils doivent compléter une figure par symétrie. Le support est alors le papier quadrillé et l axe de symétrie suit l une des lignes du quadrillage, horizontale ou verticale dans la feuille de travail. Propriétés géométriques de la symétrie La symétrie par rapport à une droite est une isométrie du plan qui a des propriétés particulières, que n ont pas les autres isométries. L ensemble de ces propriétés est illustré dans la figure ci dessous. E' D F ' ' D' F' E 64

5 Transformations 3 a) Si une droite est sécante à l axe, alors la droite symétrique coupe l axe au même point. On dit aussi que deux droites symétriques l une de l autre se coupent sur l axe de symétrie. Les droites et sont symétriques l une de l autre par rapport à la droite. Elles se croisent en qui est sur l axe de symétrie; le point, image de, est confondu avec. b) haque point de l axe est symétrique de lui même. On dit que les points de l axe sont invariants. Les points et qui sont deux points de l axe de symétrie sont confondus avec leurs symétriques et. c) Toute droite perpendiculaire à l axe est symétrique d elle même : elle est globalement invariante. haque point de la droite a une image unique située de l autre côté par rapport à l axe mais sur la droite. La droite est perpendiculaire à l axe. Dans la symétrie par rapport à l axe, l image de la droite est la droite, mais les points et sont sur la droite. Donc, la droite et son image par symétrie, la droite, sont globalement confondues. d) Si une droite est parallèle à l axe de symétrie, alors son image est une droite parallèle aux deux précédentes. La droite est parallèle à la droite. La droite, image de la droite dans la symétrie par rapport à la droite, est aussi parallèle aux droites et Translation Définition mathématique Étant donné un vecteur (les points et n étant pas confondus), on appelle translation de vecteur l application qui, à tout point du plan, associe le point tel que, ou encore tel que le quadrilatère soit un parallélogramme. M' ' E' M D' E D Les quadrilatères,, sont tous des parallélogrammes, peu importe la position du vecteur dans la page. Les côtés d un parallélogramme ayant la même mesure, une figure et son image auront les mêmes mesures. La translation est une isométrie. 65

6 3 La géométrie à l école primaire Définition à l école primaire L image de la figure dans la translation de flèche est la figure, telle que a subi le glissement proposé par la flèche définie dans le quadrillage par son sens, sa longueur et sa direction. t F' F La démarche attendue de l élève à l école primaire est qu il caractérise la translation (sens, longueur et direction de la flèche de translation) et qu il applique cette caractérisation à chacun des sommets de la figure initiale. insi, de la situation illustrée ci dessus, un élève pourra dire qu il s agit d une translation de 4 carreaux vers la droite et de 3 carreaux vers le haut. On doit remarquer que, dans la plupart des cas, la flèche qui définit la translation est dessinée à partir d un des sommets de la figure initiale. eci ne sera pas sans conséquences sur les apprentissages des élèves. Propriétés géométriques de la translation La translation est une isométrie tout à fait particulière au sens où aucun point n est invariant. La seule propriété qui soit remarquable est qu une droite et son image par translation sont parallèles entre elles. Les côtés de la figure initiale et ceux de la figure image par translation sont parallèles entre eux. Mais la réciproque n est pas vraie : ce n est pas parce que deux figures ont leurs côtés isométriques parallèles qu elles sont images l une de l autre par translation. Situation 1 Situation 2 Dans la situation 1, les deux triangles sont images l un de l autre par translation : les segments qui ont pour extrémités les sommets homologues sont parallèles et de même longueur. Dans la situation 2, les côtés isométriques des triangles sont parallèles les uns aux autres, mais les segments joignant les sommets homologues ne sont pas parallèles ni de même longueur. 66

7 Transformations Rotation Définition mathématique Une rotation est définie à partir d un point, le centre de rotation (en général ), d un angle (en général α, en ) et d un sens de rotation (sens horaire ou sens antihoraire). On appelle rotation de centre, d angle α et de sens horaire (ou antihoraire), la transformation du plan qui, à tout point associe le point, tel que l angle mesure α dans le sens horaire (ou antihoraire) et que les longueurs des segments et soient égales. E ' D' O D 2,4 2,4 E' ' 2,4 Dans la figure ci dessus, le point est l image du point dans la rotation de centre, d angle 90 dans le sens antihoraire :, et O = 90 dans le sens antihoraire de vers. Le triangle est image du triangle dans la même rotation. Le sens antihoraire s appelle aussi le sens positif, et le sens horaire s appelle le sens négatif. On peut alors définir l angle et le sens d une rotation par un nombre relatif. insi, dire d une rotation qu elle est d angle +90, c est dire qu elle est de 90 dans le sens antihoraire. Propriétés géométriques Dans une rotation d angle non nul, le seul point invariant est le centre de rotation. La rotation d angle 180 (le demi tour) est la rotation particulière où les côtés de la figure initiale et les côtés de la figure finale sont parallèles entre eux. On appelle aussi cette rotation particulière la symétrie centrale. O ' ' ' Sur la figure ci dessus, les angles, et sont des angles plats (180 ) et on a les égalités de longueurs suivantes :,,. 67

8 3 La géométrie à l école primaire 3.2 ctivités personnelles Reconnaissance de transformations Dans certaines situations, le fanion rose est l image du fanion bleu par une transformation géométrique. Précisez lesquelles. Décrivez alors la transformation dans la case à droite de la figure. 68

9 Transformations onstruction de l'image d'une figure par une transformation donnée Symétrie par rapport à la droite onstruisez, à l aide de vos instruments de géométrie, les points,,, et symétriques respectifs des points,,, et par rapport à la droite. E D d Translations de vecteur et de vecteur onstruisez, à l aide de vos instruments de géométrie, les points 1, 1 et 1, images des points, et dans la translation de vecteur, et les points 2, 2 et 2,images respectives des points, et dans la translation de vecteur. v u Rotation de centre et d angle 60 (sens antihoraire) onstruisez le triangle, image du triangle dans la rotation de centre et d angle 60 dans le sens antihoraire. O 69

10 3 La géométrie à l école primaire nalyse d un dallage Dans l illustration ci dessous, les figures,,,, etc. sont isométriques. Leur juxtaposition permet de recouvrir complètement le plan, sans chevauchement ni espace non recouvert. Elles composent alors un dallage du plan et chaque figure s appelle une dalle. D E F G H I a) Par quelles transformations la dalle a t elle pour image la dalle? b) Par quelles transformations la dalle a t elle pour image la dalle? c) Par quelles transformations la dalle a t elle pour image la dalle? d) Par quelles transformations la dalle a t elle pour image la dalle? 70

11 Transformations 3 Problème de dallage On donne deux types de dalles, les dalles (triangle scalène) et les dalles (quadrilatère quelconque). Dalle Dalle Peut on réaliser un dallage du plan en utilisant uniquement des dalles ou uniquement des dalles? a) Si oui, réalisez l un ou l autre ou les deux. b) Si non, expliquez pourquoi c est impossible. 71

12 3 La géométrie à l école primaire 3.3 ctivités didactiques (analyses de manuels) Les activités qui suivent s inscrivent dans une perspective d évaluation sommative sur les transformations (4 e année pour la symétrie, 6 e année pour la translation) Retrouver une transformation Extrait de licmaths 4 e année a) Faites l exercice comme l élève aura à le faire. b) omment avez vous procédé pour reconnaître l image de la figure et l image de la figure? 72

13 Transformations 3 c) et exercice contient un sous entendu à propos du mot «miroir». Lequel? d) Proposez une nouvelle présentation de l exercice de façon que l élève puisse témoigner qu il reconnaît l image de la figure (ou de la figure ) par symétrie. 73

14 3 La géométrie à l école primaire utre question Dans les dallages suivants, colorie les dalles qui sont images de la dalle grise par translations. N oublie pas d indiquer la flèche de translation de la même couleur. Dallage Dallage a) Faites l exercice tel que demandé aux élèves. b) Sur quel dallage les translations sont elles les plus faciles à reconnaître? Pourquoi? c) Est il opportun de donner cet exercice tel quel dans une évaluation? Si oui, pourquoi? Si non, comment pouvez vous l exploiter en classe? 74