LES MATHÉMATIQUES ARABES ET LEUR RÔLE DANS LE DÉVELOPPEMENT D'UNE TRADITION SCIENTIFIQUE EUROPÉENNE

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1 LES MATHÉMATIQUES ARABES ET LEUR RÔLE DANS LE DÉVELOPPEMENT D'UNE TRADITION SCIENTIFIQUE EUROPÉENNE A. DJEBBAR Université Paris-Sud Centre d'orsay GHDSO Introduction L'apport de la science arabe au développement des activités scientifiques de l'europe est un fait admis depuis des siècles, en particulier parce que les scientifiques médiévaux euxmêmes n'ont cessé de se référer, dans leurs propres écrits, aux sources qui leur étaient parvenues. Mais lorsqu'il s'agit de préciser le contenu de cet apport, d'estimer son importance qualitative, et de décrire les différentes voies par lesquelles il a circulé d'est en Ouest et du Sud au Nord, de nombreuses difficultés surgissent, à cause de la rareté des témoignages et de la faiblesse des recherches sur ce sujet. Il est également admis que l'espagne a joué un rôle capital dans la circulation des écrits des idées et des savoir-faire de l'espace culturel arabo-musulman vers les foyers scientifiques du reste de l'europe et en particulier vers ceux des rivages méditerranéens du nord. Mais, là aussi, on rencontre de sérieuses difficultés lorsqu'on veut étudier certains aspects de cet apport, en particulier le rôle exact joué, dès le Xe siècle, par la production des foyers scientifiques d'espagne dans la lente circulation des idées et des outils mathématiques au-delà des Pyrénées. Dans cette courte étude, nous allons tenter de faire le point sur les résultats des recherches de ces dernières décennies à propos de la circulation du patrimoine mathématique grec, indien et arabe vers L'Espagne médiévale d'abord puis plus au nord. En privilégiant les informations puisées dans les écrits des mathématiciens eux-mêmes, nous décrirons, dans une première partie, les grandes orientations des Mathématiques arabes, en précisant le contenu de leurs chapitres respectifs et ce qui a pu circuler à travers différents canaux. Dans une seconde partie, nous nous occuperons plus particulièrement de la tradition scientifique de l'espagne médiévale, à la fois en tant que tradition féconde et en tant que relais dans la diffusion des écrits mathématiques accessibles à cette époque. Mais avant cela, il est nécessaire de faire quelques remarques importantes sur le phénomène de diffusion, des sciences grecque, indienne et arabe. Ces remarques concernent le contenu de ce qui a réellement circulé comme ouvrages ou comme notions scientifiques ainsi que la manière dont cette circulation s'est réalisée depuis le Xe siècle au moins, d'abord d'est en ouest puis du sud au nord. En premier lieu, il faut préciser que l'expression "transmission", qui est constamment utilisée, même par des historiens des sciences, pour parler de la circulation des mathématiques arabes, essentiellement à partir de l'espagne, du Maghreb ou de la Sicile, est une expression inappropriée. Dans la réalité des faits, il n'y a jamais eu de "transmission" dans le sens où des scientifiques de l'aire culturelle arabo-musulmane auraient délibérément diffusé des ouvrages

2 mathématiques ou astronomiques vers des foyers européens. En dehors de quelques initiatives isolées (comme l'aide accordée par certains mozarabes d'espagne à des traducteurs latins qui ne maîtrisaient pas l'arabe), c'est plutôt l'attitude contraire qui a prévalu : non seulement on ne songeait pas diffuser vers le Nord ce qui avait été produit un peu plus au Sud, mais on tentait même de dissuader ceux qui en avaient l'idée. Il est donc plus juste de parler de phénomène d'appropriation, par les Européens, de la sciences gréco-arabe du moyen-âge. En second lieu, il faut insister sur le fait que, pour un certain nombre de raisons qui ne sont pas toutes élucidées, cette appropriation a été partielle et, pour certaines disciplines, quelque peu sélective. Le caractère partiel de la circulation des écrits mathématiques et astronomiques peut s'expliquer, lorsqu'il s'agit d'ouvrages orientaux, par le simple fait que ces écrits n'étaient même pas connus des scientifiques de l'espagne et du Maghreb. C'est le cas, nous pouvons l'affirmer maintenant, d'un certain nombre d'ouvrages écrits par al-bîrûnî, al- Khayyâm, al-karajî. Mais cela peut s'expliquer, parfois, par le niveau élevé de certains ouvrages scientifiques arabes et par la complexité de leur contenu qui nécessitait l'acquisition de nombreuses connaissances qui n'étaient pas encore disponibles en Europe au début du grand phénomène de traduction, c'est à dire au début du XIIe siècle. En ce qui concerne le caractère sélectif des traductions, cela ne concerne qu'un domaine des mathématiques, celui de la science des héritages qui représentait pourtant un chapitre quantitativement très important dans la pratique mathématique des pays d'islam. C'est ainsi que, malgré l'intérêt que renferme le dernier chapitre du fameux livre d'algèbre d'al- Khwârizmî, il n'a, semble-t-il, bénéficié d'aucune traduction latine. L'explication la plus vraisemblable de cet état de fait est à chercher dans le caractère religieux de ce chapitre puisqu'il s'agit des problèmes de donation selon le Droit musulman. La production mathématique et astronomique d'orient et sa diffusion en Europe A partir d'un fond scientifique local et, surtout, à partir des traductions d'ouvrages mathématiques, essentiellement indiens et grecs, le Proche-Orient voit naître et se développer, à partir du début du IXe siècle, un ensemble d'activités qui vont contribuer à asseoir une tradition scientifique solide ayant certaines spécificités : assimilation critique du contenu de l'héritage ancien, juxtaposition et parfois synthèse d'apports scientifiques provenant de différentes aires culturelles et impliquant des attitudes nouvelles (comme l'interpénétration des procédés déductifs et algorithmiques en Mathématique ou des démarches théoriques et expérimentales en Physique), réécriture puis développement de certains chapitres classiques, constitution, pour chaque discipline, d'une terminologie adéquate, établissement de concepts, d'outils et de résultats nouveaux, investigations dans des domaines inexplorés auparavant. Sur le plan du contenu, et malgré le caractère lacunaire de la documentation connue et accessible, on peut repérer les éléments essentiels de cette tradition qui ont été, à partir du IXe siècle, à l'origine du développement de nouveaux foyers dans la grande périphérie de l'empire, c'est à dire en Asie Centrale, au Maghreb et en Espagne. 2

3 L'Algèbre En Algèbre, après la parution du livre d'al-khwârizmî, l'étude des premiers chapitres de la nouvelle discipline (constituée à partir d'algorithmes anciens, probablement d'origine babylonienne) va permettre d'aborder de nouveaux problèmes et d'ouvrir la voie à de nouvelles orientations. Il y eut d'abord l'introduction des nombres réels positifs dans les équations et la résolution de systèmes par Abû Kâmil (m. 930) et l'utilisation, par Sinân Ibn al-fath (Xe s.), de la notion de monôme d'ordre quelconque qui permet de généraliser les équations canoniques. Cette orientation a été poursuivie et développée aux XIe-XIIe siècles par al-karajî (m. 1029) et as-samaw'al qui ont élaboré les éléments d'une algèbre des polynômes. A cette occasion un premier symbolisme, celui des tableaux, est introduit pour réaliser certaines opérations arithmétiques telles que produit, quotient ou racine carrée de polynômes. Parallèlement, et après quelques échecs et différentes tentatives partielles de mathématiciens des IXe-Xe siècles, on a abouti, au XIe siècle, à l'élaboration d'une théorie géométrique des équations cubiques. Ce fut l'œuvre de c Umar al-khayyâm (m. 1139). Cette contribution a été, au XIIe siècle, améliorée par Sharaf ad-dîn at-tûsî (m. 1213). Nous savons que les livres d'algèbre d'al-khwârizmî (m. 850) et d'abû Kâmil sont arrivés, relativement tôt, en Espagne et qu'ils y ont été étudiés et longement commentés. Puis, à partir du XIIe siècle, ils ont bénéficié de traductions, ou de nouvelles rédactions, latines et hébraïques. Ce fut également le cas de manuels de mesurage utilisant les algorithmes algébriques et traitant de problèmes qui se rattachent à une tradition orientale pré-islamique. Mais il semble que les utilisateurs européens n'aient pas attendu les traductions pour s'initier à cette science qui était nouvelle pour eux. En effet, des éléments concordants nous permettent d'affirmer que dès le Xe siècle, des utilisateurs ou des érudits d'espagne, d'italie et du Midi de la France, qui avaient une connaissance suffisante de la langue arabe, ont accédé, partiellement, au contenu de l'algèbre arabe. Les deux livres que nous venons d'évoquer sont les seuls écrits algébriques arabes dont la transmission est sûre. Pour tous les autres, et en particulier ceux qui ont été publiés en Orient aux XIe-XIIe siècles, on doit se contenter de quelques conjectures. En effet, aucun écrit scientifique occidental connu ne cite les apports des mathématiciens de cette période. Pour al-khayyâm et at-tûsî, l'absence de chapitre sur les équations cubiques dans les écrits occidentaux qui nous sont parvenus, le silence des traducteurs européens et, surtout le témoignage imprécis d'ibn Khaldûn nous autorise à dire que ces ouvrages ne sont pas arrivés en Occident musulman ou n'ont pas fait l'objet d'enseignement et d'étude. Pour les mathématiciens novateurs, antérieurs à al-khayyâm, s'ils ne sont pas cités, certaines de leurs contributions sont présentes soit dans son Livre abrégé en algèbre de l'andalou Ibn Badr (XIIe s.), soit dans le Livre des fondements et de préliminaires du maghrébin Ibn al-bannâ (m. 1321), soit dans le Livre de la succion du nectar d'al-qatrawânî (XVe s.). Mais il ne semble pas que ces trois ouvrages aient connus des mathématiciens européens. La Théorie des nombres En Théorie des nombres, les recherches se sont orientées, essentiellement, dans trois directions. La première concerne les nombres premiers. Elle a débuté avec les recherches de 3

4 Thâbit Ibn Qurra (m. 901) sur les nombres amiables. On ne sait pas comment elle s'est poursuivie si ce n'est qu'au XIe siècle, Ibn al-haytham (m. après 1040) résout des problèmes de congruence et qu'al-fârisî (m. 1321) établit de nouveaux résultats concernant la décomposition d'un nombre en facteurs premiers. La seconde direction, suggérée par l'étude des Arithmétiques de Diophante (vers 250) qui ont été traduites partiellement par Qustâ Ibn Lûqâ (m. 910), a suscité des recherches sur la résolution de systèmes d'équations indéterminées à solutions entières ou rationnelles et sur les triplets pythagoriciens. La troisième direction concerne l'étude des suites et des séries finies qui apparaissent dans certains problèmes d'algèbre, probablement d'origine pré-islamique. Mais l'on retrouve ces problèmes à la fois dans le chapitre, d'origine archimédienne, qui traite du calcul des surfaces et des volumes (par la méthode d'exhaustion) et dans celui des nombres figurés dont l'étude a été réactivée grâce à la traduction de l'introduction arithmétique de Nicomaque (IIe s. ap. J. C.). De la première tradition, seuls les nombres amiables ont pu être repérés dans des écrits de l'espagne et du Maghreb. Une nouvelle rédaction de l'épître de Thâbit Ibn Qurra a été insérée par le mathématicien de Saragosse, al-mu'taman (m. 1085), dans son traité et des calculs de couples de nombres amiables se retrouvent chez al-hassâr (XIIe s.) et chez Ibn Mun c im (m. 1228). Comme aucun des écrits que nous venons de mentionner n'a été traduit en latin ou en hébreu, nous ne savons pas encore par quels canaux ces notions ont circulé en Europe. La seconde tradition est présente en Occident musulman à travers des problèmes exposés et résolus dans des ouvrages ou des chapitres d'algèbre. Mais, ni le nom de Diophante ni ceux des mathématiciens arabe que son ouvrage a inspirés n'y sont explicitement évoqués. Quant à la troisième tradition, elle se retrouve dans le chapitre de la science du calcul qui traite des problèmes liés à l'addition et nous savons que le contenu de ce chapitre a circulé en Europe, soit dans des écrits latins et hébraïques soit dans des traductions de textes arabes. La Géométrie En Géométrie, une première tradition est partie des problèmes de constructibilité des points et des figures du plan. Après avoir été souvent confrontés à des problèmes non constructibles, certains mathématiciens des pays d'islam ont été amenés à élargir la notion d'existence géométrique ou algébrique par l'utilisation systématique des sections coniques. A cette occasion, un certain nombre d'études ont été menées sur les propriétés de ces courbes et sur les meilleurs moyens de les engendrer. Cela a permis de résoudre, à nouveau, et de différentes manières, les problèmes classiques de la tradition grecque (trisection, duplication, inscription de polygones réguliers dans un cercle). Un peu plus tard, ces différentes contributions ont favorisé l'élaboration de la théorie géométrique des équations cubiques. Une seconde tradition s'est attaquée à des problèmes de mesure (surfaces, volumes, moment d'inertie). Ce qui a permis de retrouver certains résultats perdus d'archimède (comme la détermination de l'aire d'une portion de parabole) et de compléter d'autres. La troisième et dernière tradition, qui est née d'une lecture critique des Eléments d'euclide, va permettre d'étendre les opérations arithmétiques aux irrationnels positifs, 4

5 d'élaborer une réflexion nouvelle sur les fondements de la Géométrie (en particulier autour du cinquième postulat des parallèles) et de redéfinir le concept de rapport qui devait permettre de dégager la notion de nombre réel positif. Parallèlement, un deuxième type de réflexion a été engagé et poursuivi jusqu'au XIe siècle. Il a d'abord concerné les problèmes de construction et de raisonnement géométriques puis il s'est étendu à tous les outils de la démonstration (analyse et synthèse, raisonnement par l'absurde, induction). C'est en fait une véritable tradition qui s'est constituée à partir d'éléments déjà existants dans les corpus philosophique et mathématique grecs. Ses artisans sont Thâbit Ibn Qurra au IXe siècle, Ibrâhîm Ibn Sinân et as-sijzî au Xe, Ibn al-haytham au XIe, et probablement d'autres dont les écrits ne nous sont pas parvenus et que les recherches futures pourraient révéler. Des éléments concernant la circulation de ces différentes traditions géométriques orientales commencent à être repérés. Pour la première, nous disposons de deux témoignages peu connus qui permettent d'affirmer qu'elle est bien parvenue en Espagne et au Maghreb. Il y a d'abord celui du mathématicien maghrébin Ibn Haydûr (m. 1413) qui évoque deux écrits orientaux sur l'inscription de l'heptagone. Il s'agit de l'épître d'as-saghânî (X e s.) et de celle d'un certain Abû Muhammad. Le même auteur évoque aussi un texte attribué à un auteur indien qui prend pour valeur approchée du côté de l'heptagone la moitié du côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle. Le second témoignage, beaucoup plus important, est celui du philosophe de Saragosse, Ibn Bâjja (m. 1138), l'avempace des Latins, qui nous donne des informations précises sur les travaux de son professeur Ibn Sayyid (qui était de Valence), et sur ses propres travaux, concernant l'étude des coniques et leur utilisation pour engendrer de nouvelles courbes planes. Ces dernières auraient été, par la suite, utilisées pour résoudre deux généralisations de problèmes classiques : celui de la détermination de n moyennes entre deux grandeurs données (qui généralise le problème déjà résolu des deux moyennes) et celui de la multisection d'un angle (qui généralise le problème également résolu de la trisection). Il faut signaler que, même au XIIe siècle, ces deux généralisations étaient considérées comme non encore résolues. C'est en tout cas ce que dit explicitement le grand mathématicien as-samaw'al (m. 1175). Ce fait, à lui tout seul, nous permet d'affirmer que, non seulement le contenu du corpus géométrique classique (dont la connaissance est indispensable pour s'attaquer à des problèmes nouveaux de ce type) était connus dans certains foyers scientifiques d'espagne, mais que les mathématiciens de ces foyers ont été bien informés des problèmes que se posaient les chercheurs d'orient et qu'ils ont participé activement à leur résolution. Pour la seconde tradition, nous ne disposons que des travaux d'al-mu'taman qui ne se réfère jamais explicitement à ses sources mais qui, par la diversité des sujets exposés dans son ouvrage et par la manière dont il les a traités, nous permet de dire que, là aussi, une grande partie de la tradition archimédienne arabe est parvenue en Espagne, même si les preuves concrètes dont nous disposons, pour le moment, ne concernent que l'épître d'ibrâhîm Ibn Sinân (m. 946) sur le calcul de l'aire d'une portion de parabole. 5

6 En ce qui concerne la troisième tradition, on sait désormais, et depuis quelques années seulement, que la contribution la plus importante d'ibn al-haytham dans ce domaine, son Livre sur l'analyse et de la synthèse, est arrivé à Saragosse au plus tard dans la seconde moitié du XIe siècle. La copie a d'ailleurs servi à la rédaction de certains chapitres du livre d'al- Mu'taman. La Trigonométrie En Trigonométrie, les premiers pas dans ce domaine, réalisés en Orient, ont consisté à étendre et à améliorer les tables indiennes de sinus et de cosinus, puis à introduire de nouvelles fonctions : tangente, cotangente, sécante et cosécante. Un peu plus tard, des relations fondamentales ont été établies entre ces six fonctions, la plus célèbre étant le fameux "théorème qui dispense" (ou théorème des sinus) qui servira, en particulier, au calcul des éléments du triangle sphérique mais qui permettra surtout de se dispenser d'utiliser le théorème de Ménélaüs (Ie s. ap. J. C.), instrument moins performant aux yeux des calculateurs. L'importance de ces nouveaux outils va amener les astronomes à leur consacrer des chapitres autonomes. C'est ce que feront Ibn c Irâq (m. 1030), en Asie centrale et Abû l-wafâ' (m. 998), à Bagdad. Ces contributions purement mathématiques n'ont pu que favoriser le processus d'autonomisation de la Trigonométrie par rapport aux problèmes astronomiques qui ont permis son développement. Cette autonomisation est déjà bien amorcée dans le livre d'al- Bîrûnî (m. 1048), Les clés de l'astronomie. Elle sera complète dans le traité de Nasîr ad-dîn at-tûsî (m. 1274), Le livre de la figure sécante. Il n'y a pas d'éléments sûrs permettant de dire que ces deux derniers ouvrages ont été connus en Espagne. Mais, cela ne signifie pas que les méthodes et les résultats qu'ils contiennent n'ont pas circulé par l'intermédiaire d'ouvrages moins importants ou moins spécialisés. En effet, d'après le mathématicien maghrébin du XIVe siècle Ibn Haydûr, le théorème du sinus était accessible aux utilisateurs de son époque (et donc de ceux des XIIe- XIIIe siècles) soit à travers un ouvrage d'ibn Mu c âdh (m. après 1050), un mathématicien de Jaen, soit à travers celui d'un autre spécialiste d'espagne, Jâbir Ibn Aflah, soit enfin à travers l'appendice ajouté par le philosophe Ibn Sînâ (m. 1037) à son résumé de l'almageste de Ptolemee (vers 140). Ibn Haydûr sous-entend même qu'aucun écrit trigonométrique d'orient, autre que celui d'ibn Sînâ, n'est parvenu en Occident musulman. Si cela était vrai, on aurait là un autre exemple de rupture, encore inexpliquée, dans la circulation d'importants résultats scientifiques. LES CONTRIBUTIONS MATHEMATIQUES DE L'ESPAGNE ET DU MAGHREB ET LEUR DIFFUSION EN EUROPE Pour l'espagne, le XIe siècle correspond à la période la plus créatrice en Mathématique. Les biobibliographes, comme Sâ c id al-andalusî, le disent avec force détails et leurs témoignages sont confirmés et explicités par l'étude des rares textes qui nous sont parvenus et qui ont été analysés ou édités dans les deux dernières décennies. Les contenus de ces textes, ainsi que la liste des écrits qui ont été publiés entre le XIe et le XIIIe siècle (mais dont la plupart est perdue), confirment l'importance de la circulation des écrits mathématiques grecs, 6

7 indiens et arabes d'orient et du Maghreb vers l'espagne. Quant à leur diffusion en Europe, elle a été partiellement explicitée par un certain nombre de travaux d'historiens des sciences du XIXe siècle et du début du XXe, et plus particulièrement par ceux de Steinschneider qui a patiemment recensé les traductions, dans les langues non arabes (latin, catalan, hébreu, castillan, etc.), traductions qui ont commencé à Tolède au début du XIIe siècle et qui se sont poursuivies, en Espagne et ailleurs, jusqu'au XVe siècle. Dans le chapitre précédent, nous avons ajouté, à ces informations bibliographiques, d'autres que nous avons tirées de l'analyse des textes mathématiques eux-mêmes et qui témoignent de la présence, en Espagne, d'ouvrages importants produits en Orient et dont le contenu a peut-être circulé en Europe en empruntant des canaux autres que celui de la traduction. Dans cette seconde partie, nous allons nous intéresser aux mathématiques produites en Espagne et au Maghreb aux XIe-XIIIe siècles, en essayant de faire le point sur ce qui est connu de cette production, sur sa circulation interne et sur son éventuelle diffusion vers l'europe. Pour le XIe siècle andalou, il y a, en particulier, le Livre des transactions d'az-zahrâwî dont seules quelques citations nous sont parvenues, le Grand livre de géométrie d'ibn as- Samh (m. 1035) dont des fragments nous ont été préservés par une traduction hébraïque du XVe siècle, le Livre de la complétion d'al-mu'taman dont nous connaissons désormais le contenu détaillé, le livre de Trigonométrie d'ibn Mu c âdh al-jayyânî, intitulé Livre des arcs inconnus de la sphère et, surtout, le résumé d'un ouvrage perdu d'ibn Sayyid sur la génération et les propriétés de nouvelles courbes autres que les coniques. A l'exception du livre d'ibn as-samh, les autres ouvrages (qui sont à la fois des synthèses d'écrits antérieurs et des prolongements de ces écrits au niveau des résultats ou de la démarche), n'ont pas bénéficié de traduction. Il est possible que cela a été dû au fait qu'aucune copie de ces écrits n'était disponible dans les villes où ont eu lieu les traduction. Mais, on peut supposer aussi que l'obstacle principal à leur traduction a été leur niveau élevé et la difficulté de leur contenu. En ce qui concerne le Maghreb du XIe siècle, les rares informations intéressant les activités scientifiques de cette région donnent l'impression que les foyers les plus dynamiques se situaient alors en Ifriqya. Parmi les scientifiques de cette époque deux nous intéressent ici : l'un d'eux est de Kairouan et l'autre a vécu une vingtaine d'année à Mahdiyya. Le plus ancien, Ibn Abî r-rijâl (m ), était connu comme astronome. C'est pourtant son opuscule astrologique, le Livre brillant sur les jugements des étoiles, qui lui valut la postérité dans l'europe médiévale, grâce aux traductions latine et espagnole. Le second, Abû s-salt (m. 1134), était plutôt connu pour ses écrits mathématiques et logiques. Mais c'est son épître sur l'astrolabe qui a eu la faveur de certains utilisateurs européens du moyen-âge puiqu'elle a bénéficié d'une traduction hébraïque. Aux XIIe-XIIIe siècles, des facteurs internes à l'espagne (Reconquista, antagonismes des Rois des Taïfa) et des facteurs régionaux (avènement des pouvoirs almoravide puis 7

8 almohade au Maghreb) vont être à l'origine de deux phénomènes étroitement liés. Le premier concerne l'espagne où l'on observe l'éclipse, parfois très rapide, de certains foyers scientifiques (Cordoue, Saragosse, Valence, Tolède) et la lente émergence ou la redynamisation de foyers situés plus au sud (Séville, Malaga, Grenade). Le second phénomène a lieu au Maghreb où l'intégration d'une partie de l'espagne à l'empire almoravide, puis almohade, va s'accompagner d'une inversion (d'espagne vers le Maghreb) du flux migratoire de l'élite intellectuelle, favorisant ainsi l'émergence et le développement de quatre foyers scientifiques maghrébins : Ceuta, Bougie, Tunis, Marrakech. Les mathématiciens de ces différents foyers sont les plus anciens du Maghreb dont il nous est parvenu des écrits ou des informations précises sur leurs contributions. Nous allons évoquer brièvement ces quatre foyers en donnant, à chaque fois, des éléments d'informations ou des hypothèse concernant le rôle qu'ils ont joué dans la circulation de la production scientifique du Maghreb vers l'europe. Bougie a été un grand centre intellectuel à partir du XIIe siècle, mais peu d'informations sur les activités scientifiques nous sont parvenues. L'un des rares représentants connus de la tradition mathématique de Bougie est al-qurashî (m. 1184). C'est un contemporain du premier grand mathématicien européen Leonardo Pisano (Fibonacci) (m. après 1240). Comme ce dernier, il est étranger à cette ville où il a vécu un certain temps. La différence entre les deux est que le premier est venu à Bougie pour enseigner et le second pour étudier. Al-Qurashî est connu, surtout, pour son livre d'algèbre, non encore retrouvé, mais dont certains extraits nous ont été transmis par Ibn Zakariyyâ' al-gharnâtî, un mathématicien andalou du XIVe siècle. Selon le témoignage d'ibn Khaldûn (m. 1406), le livre d'al-qurashî serait un commentaire du traité du grand algébriste égyptien du Xe siècle, Abû Kâmil. La découverte de ce commentaire serait d'une grande importance pour suivre la circulation des problèmes et des méthodes algébriques avant la période de traduction latine du XIIe siècle et, en particulier, à travers les écrits de Fibonacci puisque ce dernier, pour réaliser son Liber Abbaci, a puisé, directement dans le fond algébrique arabe. La ville de Ceuta a peut-être été la résidence permanente ou occasionnelle du mathématicien Abû Bakr al-hassâr (XIIe s.) qui est l'auteur de deux ouvrages connus : le Livre complet sur l'art du nombre et le Livre de la démonstration et de la remémoration. Le premier est un traité abrégé sur la science du calcul. Le second, qui était un important ouvrage en deux volumes, traite de calcul et de Théorie des nombres. Malheureusement, seul le premier volume et la table des matières du second nous sont parvenus. Son contenu semble être fortement lié à celui de la tradition andalouse du calcul. En tous les cas les seuls ouvrages cités par al-hassâr appartiennent à cette tradition. Il s'agit du Livre des transactions d'az- Zahrâwî et de L'introduction pratique d'ibn as-samh. Il ne semble pas que cet ouvrage ait circulé en Europe. Ce qui n'est pas le cas du second livre puisque l'on sait qu'il a été traduit en hébreu, à la fin du XIIIe siècle, par Moses Ibn Tibbon. Cela dit, nous ne savons pas si cette traduction a permis la circulation du manuel d'al-hassâr dans les milieux scientifiques d'expression latine. 8

9 La ville de Tunis offre, à travers les activités de Ramon Lull, un autre exemple de circulation de l'information scientifique en Méditerranée occidentale. On sait en effet que Lull est allé deux fois à Tunis, d'abord en 1292 puis en 1315 (après avoir séjourné à Bougie en 1307). Nous n'avons pas d'informations précises sur ses activités scientifiques dans ces deux villes du Maghreb mais nous savons, qu'à cette époque, il connaissait l'arabe et que parmi les livres scientifiques qu'on lui attribue, il y a un ouvrage d'astronomie, le Tractatus novus de astronomia, et un livre de géométrie, le Liber geometria nova et compendiosa. Le premier a été écrit en 1297 et le second en 1299, c'est à dire après son voyage à Bougie. Une analyse comparative de ces textes, mais aussi d'autres textes, comme l'ars maior ou l'ars Universalis, avec des écrits d'auteurs maghrébins des XIIe-XIIIe siècles, pourraient nous éclairer sur ce que Lull a connu de l'activité scientifique à Bougie et à Tunis à la fin du XIIIe siècle. A titre d'exemple illustrant l'utilité de cette démarche, on peut signaler l'utilisation par Lull, dans certains de ses écrits non mathématiques, de notions ou de procédés combinatoires qui ont un lien avec des pratiques combinatoires observées au Maghreb depuis le XIIe siècle. Le quatrième et dernier foyer scientifique maghrébin des XIIe-XIIIe siècles est Marrakech dont le statut de capitale du nouvel Empire va attirer un grand nombre de spécialistes dans différentes disciplines. En mathématique, l'apport andalou semble avoir été déterminant dans la constitution ou la réactivation d'une tradition qui va s'imposer à tout le Maghreb. Les premiers représentants de cette tradition sont Ibn al-yâsamîn (m. 1204) et Ibn Mun c im. Leurs écrits, qui sont les vecteurs de la production andalouse du XIe siècle, vont contribuer, directement ou indirectement, à la formation des trois générations de mathématiciens. L'étude de ce qui nous est parvenu du corpus mathématique maghrébin, produit entre le XIIe et le XIVe siècle, nous autorise aussi à conjecturer la présence à Marrakech de certains textes produits en Orient et dont on n'avait pas encore trouvé de trace dans les écrits biobibliographiques ou mathématiques connus. Ainsi, l'étude comparative de l'appendice au Livre des fondements et des préliminaires en algèbre d'ibn al-bannâ, confirme l'utilisation, à Marrakech, de la version arabe d'ishâq-thâbit des Éléments d'euclide. Pour rester dans le corpus grec, il faut également signaler que certains spécialistes de l'époque avaient à leur disposition la version arabe du traité sur la Sphère et le cylindre d'archimède, l'introduction arithmétique de Nicomaque et l'épître sur l'heptagone du pseudo-archimède. Pour le corpus arabe d'orient, en plus des ouvrages que nous avons déjà signalés dans les paragraphes précédents, nous avons trouvé, chez Ibn Haydûr, une référence explicite à l'un des commentaires d'ibn al-haytham sur les Éléments d'euclide, intitulé Résolution des doutes <du livre> d'euclide. Conclusion Comme on le voit, les éléments nouveaux par rapport aux bilans réalisés par M. Steinschneider à propos de la circulation des écrits mathématiques d'espagne et du Maghreb vers l'europe, sont bien modestes. Mais cela ne devrait pas entraîner des conclusions hâtives sur le volume de la circulation mathématique et sur sa qualité. Il y a plusieurs raisons à cela. La première est liée tout simplement au caractère lacunaire des sources pouvant apporter des 9

10 réponses à ces questions. La seconde raison tient au fait qu'il y eut toute une période où des mathématiciens européens ont eu accès directement aux sources arabes rendant parfois inutile le passage par la traduction. Pour les latinisants, nous avons le cas bien connu de Fibonacci que nous avons déjà évoqué. Ce savant n'a pas attendu la traduction du livre d'al-hassâr ou d'autres manuels pour leur emprunter, en particulier, le symbolisme des différentes espèces de fractions en usage à cette époque. Ce symbolisme est constamment utilisé dans le Liber Abbaci sans que son auteur éprouve le besoin de signaler son origine. Il y a aussi le cas de l'auteur anonyme du Liber Mahamelet [Le livre des transactions] qui cite parfois ses sources arabes mais qui, le plus souvent, les utilise sans les évoquer en y ajoutant ses apports personnels. Pour les hébraïsants, il ne s'agit pas de cas isolés ayant permis la transmission de tel ou tel écrit mathématique grec ou arabe. Nous sommes en présence d'une véritable tradition dont les différentes pratiques étaient déjà connues mais dont les résultats ont été peu à peu révélés par les recherches de ces dernières décennies. La pratique la plus ancienne est illustrée par l'ouvrage d'abraham Ibn c Ezra (vers 1160), Le livre du nombre, et par les deux écrits d'abrahâm Bâr Hiyyâ (m. 1145), le Liber Embadorum en latin et Les fondements de la raison et la Tour de la foi. Les deux auteurs, des mathématiciens maîtrisant l'arabe, ont rédigé, directement en hébreu, des thèmes mathématiques puisés dans le fond arabe d'espagne en y ajoutant leur propre contribution. Le second moyen de circulation est la transcription de textes arabes en lettres hébraïques. Les aspects bibliographiques commencent à être mieux cernés mais il reste à compléter l'étude des écrits mathématiques de ce corpus et plus particulièrement ceux pour lesquels nous ne disposons pas de copie de la version arabe. A partir de ces faits, on est naturellement amené à nous interroger sur une éventuelle circulation directe, c'est à dire sans traduction, de deux apports originaux considérés, dans l'état actuel de nos connaissances comme des spécificités de la tradition mathématique de l'espagne et du Maghreb. Il s'agit, en premier lieu, du symbolisme algébrique dont l'utilisation en Europe n'est pas envisageable dans sa version originale (dans la mesure où n'interviennent que des lettres arabes dans son écriture). Mais son existence pouvait suggérer l'élaboration d'un symbolisme analogue, utilisant les lettres latines ou hébraïques. Le second apport concerne l'ensemble des résultats et des procédés combinatoires élaborés et pratiqués au Maghreb aux XIIe-XIIIe siècle et même au delà. Il paraît, à première vue, étonnant que l'on ait pensé traduire un manuel de calcul comme le petit livre d'al-hassâr et que l'on ne se soit pas intéressé au chapitre du livre d'ibn Munôim consacré exclusivement à l'analyse combinatoire, avec ses définitions, ses propositions et son domaine d'application. La première explication qui vient à l'esprit est celle que l'on peut avancer pour d'autres traités mathématiques arabes qui ont pu rebuter les traducteurs à cause de la complexité de leur contenu. La seconde explication renvoie à des considérations culturelles semblables à celles qui pourraient expliquer l'absence, dans les traductions de Robert de Chester et de Gérard de Crémone, du dernier chapitre du livre d'algèbre d'al-khwârizmî consacré à la résolution des problèmes de donation et qui ne constituent, eux-mêmes, qu'un aspect des problèmes complexes de répartition des héritages en pays d'islam. 10

11 Dans le cas de la combinatoire, il s'agit aussi, du moins chez les premiers maghrébins qui en ont traité, c'est à dire Ibn Mun c im et Ibn al-bannâ, d'un problème qui est né et qui a été résolu dans le cadre de préoccupations lexicographiques et linguistiques spécifiques à la langue arabe, même si les démarches suivies et les résultats établis ont un caractère tout à fait général. Malgré cela, on ne peut s'empêcher de s'interroger sur une éventuelle circulation des idées combinatoires sans médiation d'une autre langue mais à partir d'un accès direct au texte arabe. Cela a pu être le cas pour les mathématiciens juifs des XIIe-XIIIe siècles qui manipulaient aisément l'arabe et l'hébreu. Un exemple nous est donné par Lévi Ben Gershom (= Gersonide) (m. 1344). Son Livre de calcul contient des résultats combinatoires dont le contenu est aussi achevé que celui de la tradition maghrébine et dont la présentation est sous forme d'un chapitre indépendant, comme dans le livre d'ibn Munôim. Ce qui pousse naturellement le lecteur à s'interroger sur une éventuelle circulation, même partielle, de certains textes maghrébins ou sur une élaboration parallèle de ce chapitre à partir d'une préoccupation linguistique commune. 11

12 BIBLIOGRAPHIE BONCOMPAGNI, B. : Il Liber Abbaci di Leonardo Pisano, Rome, 1867, p. 47 et sqq. BURNETT, Ch. : A Group of Arabic-Latin Translators Working in Northern Spain in the mid-twelfth Century, in Journal of the Royal Asiatic Society, 1977, p BURNETT, Ch. : The Institutional Context of Arabic-Latin Translations of the Middle Ages, A Reassessment of the 'School of Toledo', in O. WEIJERS (édit.), The Vocabulary of Teaching and Research between the Middle Ages and Renaissance, CIVICIMA, Études sur le vocabulaire intellectuel du moyen-âge, 8, Turnhout, 1995, p ; CASURELLAS, J. SAMSO, J. (édit.) : From Baghdad to Barcelona, Studies in the Islamic Exact Sciences in Honour of Prof. Juan Vernet, Barcelona, Anuari de Filologia XIX - Instituto Millas Vallicrosa, 1996, p CLAGETT, M. : The Medieval Latin Translations from the Arabic of the Elements of Euclid, with Special Emphasis on the Versions of Adelard of Bath, in Isis, n 44 (1953), p ; D'ALVERNY, M. T. : Translations and Translators, in R. L. BENSON - G. CONSTABLE (édit.), Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, Oxford, 1982, p ; DJEBBAR, A. : Deux mathématiciens peu connus de l'espagne du XI e siècle : al- Mu'taman et Ibn Sayyid, Colloque International sur "Les Mathématiques autour de la Méditerranée jusqu'au XVIIe siècle", Marseille-Luminy, Avril 1984, in M. FOLKERTS & J.P. HOGENDIJK (édit.) : Vestigia Mathematica, Studies in medieval and early modern mathematics in honour of H.L.L. Busard, Amsterdam-Atlanta, GA 1993, p DJEBBAR, A. : Transmission et échanges scientifiques en Méditerranée au temps des Croisades : l'exemple des mathématiques, Colloque International sur L'occident et le Proche- Orient au temps des Croisades : traductions et contacts scientifiques entre 1000 et 1300, Louvain-la-Neuve, Mars A paraître dans les actes du Colloque. DJEBBAR, A. : Quelques commentaires sur les versions arabes des Eléments d'euclide et sur leur transmission à l'occident musulman, Actes du Colloque International "Mathematische Probleme im Mittelalter, der lateinische und arabische Sprachbereich", Wölfenbüttel (Allemagne), Juin 1990, M. FOLKERTS (édit.), Wiesbaden, Harrassowitz Verlag, 1996, pp DJEBBAR, A. : L'analyse combinatoire au Maghreb : l'exemple d'ibn Mun c im (XIIe- XIIIe siècles), Paris, Université Paris-Sud, Publications Mathématiques d'orsay, 1985, n DJEBBAR, A. : Les livres arithmétiques des Éléments d'euclide dans une rédaction du XIe siècle, Paris, Université de Paris-Sud, Prépublications Mathématiques d'orsay, HOGENDIJK, J. P. : Discovery of an 11th century geometrical compilation, The Istikmâl of Yûsuf al-mu'taman Ibn Hûd, King of Saragossa, Historia Mathematica n 13 (1986), p

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