Calcul d un terme de rang donné

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Sévérine Thibault
il y a 8 ans
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1 Calcul d un terme de rang donné Suite arithmétique Un petit village de Chine surveille avec inquiétude l avancée d une dune de sable de plusieurs km de long. Elle n est plus aujourd hui en 2011 qu à 200m des premières maisons du village et avance à une vitesse moyenne de 10m/an. Pour n 0, on note d n la distance en séparant le village de la dune. On suppose que la dune continue d avancer à la même allure. Calculer la distance séparant la dune du village dans 12 ans. On a : Premier Terme : d 0 = 200; Terme Général: d n = n ; Terme Récurrent : d n+1 = d n 10 ; Suite géométrique Une balle élastique est lâchée d une hauteur de 100m au dessus du sol. La hauteur atteinte à chaque rebond est égale à 9 de la hauteur du précédent. Calculer la hauteur, en cm près, du dixième rebond. On a : Premier Terme : U 0 =100 Terme Général : U n+1 = 9 10 U n Terme Récurrent : U n = n Utilisation de la forme explicite Utilisation de la forme explicite Programme nom_du_programme ; VAR U : réel ; N : entier ; DEBUTPROG Afficher("hauteur de départ") ; Saisir(U) ; Afficher("nombre de rebond voulu") ; Saisir(N) ; U <- U*puissance((9/10),N); Afficher("la hauteur au",n,"ième rebond est",u) ; FINPROG

On suppose que la dune continue d avancer à la même allure. Calculer la distance séparant la dune du village dans 12 ans.

2 Utilisation de la relation de récurrence Utilisation de la relation de récurrence Programme nom_du_programme ; VAR D : réel ; N : entier ; index : entier ; DEBUTPROG Afficher("distance du village en 2011" ) ; Saisir (D) ; Afficher ("année voulue") ; Saisir (N) ; POUR index <- 0 JUSQU'A N FAIRE D <- D-10 ; FINP Afficher{ "la distance séparant la dune du village dans",n,"ans est",d } ; FINPROG

village en 2011" ) ; Saisir (D) ; Afficher ("année voulue") ; Saisir (N) ; POUR index <- 0 JUSQU'A

3 Exercice suites : Intérêts simples, intérêts composés Une personne souhaite placer durant plusieurs années un capital de euros. Elle hésite entre deux types de placements : Un placement à intérêts simples à 2,25 % l an : chaque année, son capital augmente d une somme fixe égal à 2,25 % du capital initial, c est-à-dire de 450 ; Un placement à intérêts composés à 2 % l an : dans ce cas, les intérêts produits sont capitalisés, et rapportent donc eux aussi 2 % l an. On désigne par S n le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérêts sont simples (S 0 = ), et C n le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérêts sont composés (C 0 = ). 1 ) Calculer S 1 et C 1. 2 ) Quelle est la nature de la suite (S n )? De la suite (C n )? Justifier. 3 ) Faire fonctionner l algorithme ci-dessous qui détermine le terme de rang n de chacune des deux suites, et qui donne le placement le plus avantageux suivant la valeur de n. 2 n EST_DU_TYPE NOMBRE 3 i EST_DU_TYPE NOMBRE 4 S EST_DU_TYPE LISTE 5 C EST_DU_TYPE LISTE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 LIRE n 8 S[0] PREND_LA_VALEUR C[0] PREND_LA_VALEUR POUR i ALLANT_DE 0 A n 11 DEBUT_POUR 12 S[i+1] PREND_LA_VALEUR S[i] C[i+1] PREND_LA_VALEUR C[i]* FIN_POUR 15 SI (S[n]>C[n]) ALORS 16 DEBUT_SI 17 AFFICHER "le placement 1 est le plus avantageux" 18 FIN_SI 19 SINON 20 DEBUT_SINON 21 AFFICHER "le placement 2 est le plus avantageux" 22 FIN_SINON 23 AFFICHER "S[n] = " 24 AFFICHER S[n] 25 AFFICHER "C[n]=" 26 AFFICHER C[n] 27 FIN_ALGORITHME

; Un placement à intérêts composés à 2 % l an : dans ce cas, les intérêts produits sont capitalisés, et rapportent donc eux aussi 2 % l an.

4 Comparaison du comportement de différentes suites Dans une grande ville, 3 opérateurs téléphoniques proposent des abonnements renouvelables chaque trimestre. On suppose que les tendances observées vont se maintenir quelques années. Opérateur 1 Osanguine : 8000 abonnés initialement et 500 nouveaux recrutés chaque trimestre Opérateur 2 Cé pa fèr : 5000 abonnés initialement et croissance de 8% du nombre d abonnés chaque trimestre Opérateur 3 BEUG: abonnés initialement, un taux de réabonnement trimestriel de 80% et 2500 nouveaux recrutés chaque trimestre. Au bout de 2 ans, quel opérateur a le plus d abonnés? Au bout de 3 ans, quel opérateur a le plus d abonnés? Au bout de 5 ans, quel opérateur a le plus d abonnés? Solution : Opérateur 1 : U 0 = 8000 et U n+1 = U n Opérateur 2 : V 0 =5000 et V n+1 = 1,08 V n Opérateur 3 : W 0 =10000 et W n+1 = 0,8 W n Avec un tableur série 2 série 3 série 4 n Un Vn WN , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Série2 Série3 Série4

Opérateur 1 Osanguine : 8000 abonnés initialement et 500 nouveaux recrutés chaque trimestre Opérateur 2 Cé pa fèr : 5000 abonnés initialement et croissance de 8% du nombre d abonnés chaque trimestre

5 Comparaison_evolution_suites Version algobox 2 O EST_DU_TYPE NOMBRE 3 C EST_DU_TYPE NOMBRE 4 B EST_DU_TYPE NOMBRE 5 i EST_DU_TYPE NOMBRE 6 N EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 AFFICHER "Nombre d'abonnés initialement à Sanguine " 9 LIRE O 10 AFFICHER "Nombre d'abonnés initialement à Cé pa Fèr " 11 LIRE C 12 AFFICHER "Le nombre d'abonnés initialement à BEUG " 13 LIRE B 14 AFFICHER "Nombre de trimestres voulus " 15 LIRE N 16 POUR i ALLANT_DE 1 A N 17 DEBUT_POUR 18 O PREND_LA_VALEUR O C PREND_LA_VALEUR 1.08*C 20 B PREND_LA_VALEUR 0.8*B FIN_POUR 22 SI (O>C) ALORS 23 DEBUT_SI 24 SI (B>O) ALORS 25 DEBUT_SI 26 AFFICHER "Beug a le plus d'abonnés en " 27 AFFICHER N 28 AFFICHER "Trimestres. le nombre d'abonnés est " 29 AFFICHER B 30 FIN_SI 31 SINON 32 DEBUT_SINON 33 AFFICHER "Sanguine a le plus d'abonnés en " 34 AFFICHER N 35 AFFICHER "trimestres. le nombre d'abonnés est " 36 AFFICHER O 37 FIN_SINON 38 FIN_SI 39 SINON 40 DEBUT_SINON 41 SI (B>C) ALORS 42 DEBUT_SI 43 AFFICHER "BEUG a le plus d'abonnés en " 44 AFFICHER N 45 AFFICHER "trimestres. Le nombre d'abonnés est " 46 AFFICHER B 47 FIN_SI 48 SINON 49 DEBUT_SINON 50 AFFICHER "Cé Pa Fèr a le plus d'abonnés en " 51 AFFICHER N 52 AFFICHER "trimestres. le nombre d'abonnés est " 53 AFFICHER C 54 FIN_SINON 55 FIN_SINON 56 FIN_ALGORITHME

trimestres voulus " 15 LIRE N 16 POUR i ALLANT_DE 1 A N 17 DEBUT_POUR 18 O PREND_LA_VALEUR O+500 19 C PREND_LA_VALEUR 1.08*C 20 B PREND_LA_VALEUR 0.

6 Calcul d'un terme de rang donné d'une suite définie par récurrence, problème de seuil. Au 1 er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de habitants. Un bureau d'étude fait l hypothèse qu'à partir du 1 er janvier 2005: le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès; du fait des mouvements migratoires, 4000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville. 1. Écrire un algorithme permettant de déterminer la population de cette ville au 1 er janvier Modifier l'algorithme précédent afin de déterminer à partir de quelle année la population de cette ville aura doublée N EST_DU_TYPE NOMBRE 3 i EST_DU_TYPE NOMBRE 4 pop EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 i PREND_LA_VALEUR 0 7 pop PREND_LA_VALEUR TANT_QUE (i<15) FAIRE 9 DEBUT_TANT_QUE 10 pop PREND_LA_VALEUR 1.05*pop i PREND_LA_VALEUR i+1 12 FIN_TANT_QUE 13 AFFICHER "L'année en laquelle la population aura doublée pour la première fois est: " 14 AFFICHER pop 15 FIN_ALGORITHME 2. 2 N EST_DU_TYPE NOMBRE 3 i EST_DU_TYPE NOMBRE 4 pop EST_DU_TYPE NOMBRE 5 a EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 i PREND_LA_VALEUR 0 8 pop PREND_LA_VALEUR TANT_QUE (pop<200000) FAIRE 10 DEBUT_TANT_QUE 11 pop PREND_LA_VALEUR 1.05*pop i PREND_LA_VALEUR i+1 13 FIN_TANT_QUE 14 a PREND_LA_VALEUR 2005+i 15 AFFICHER "L'année en laquelle la population aura doublée pour la première fois est: " 16 AFFICHER a 17 FIN_ALGORITHME

migratoires, 4000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville. 1. Écrire un algorithme permettant de déterminer la population de cette ville au 1 er janvier 20

7 Résoudre un problème avec un algorithme La probabilité qu un tireur atteigne une cible est 1/3. On suppose les tirs indépendants les uns des autres. Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d atteindre au moins une fois la cible soit supérieure à 0,99? Solution sous ALGOBOX Solution sous forme d organigramme 2 compteur EST_DU_TYPE NOMBRE 3 pn EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 compteur PREND_LA_VALEUR 1 6 pn PREND_LA_VALEUR 1-2/3 7 TANT_QUE (pn < 0.99) FAIRE 8 DEBUT_TANT_QUE 9 compteur PREND_LA_VALEUR compteur+1 10 pn PREND_LA_VALEUR 1 - pow(2/3,compteur) 11 FIN_TANT_QUE 12 AFFICHER "Il faut " 13 AFFICHER compteur 14 AFFICHER "tirs pour que la probabilité qu'il atteigne au moins 1 fois la cible soit supérieure à 0,99" 15 FIN_ALGORITHME

Solution sous ALGOBOX Solution sous forme d organigramme 2 compteur EST_DU_TYPE NOMBRE 3 pn EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 compteur PREND_LA_VALEUR 1 6 pn PREND_LA_VALEUR 1-2/3 7

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