Mécanique quantique I

Transcription

1 Mécanique quantique I Quelques points pratiques 2. Introduction: > 2.1 du continu au discret > 2.2 des prédictions certaines aux prédictions probabilistes > 2.3 les interférences, diffraction de lumière, de photons, d électrons et autres particules

2 Informations pratiques Professeur: Alain Blondel Particules Assistants: Bertand Martin dit La Tour Particules Jason Hancock Matière condensée Pavel Sekatski Optique quantique Cours: mardi 1-12 jeudi 1-12 une semaine sur deux. Exercices mercredi jeudi 1-12 une semaine sur deux

3 Contrôle des connaissances: -- series d exercices à rendre d une semaine sur l autre Une note moyenne > 4 doit être obtenue pour valider les exercices Bonus entre et 1 point à valoir sur la note d examen écrit Il est extrêmement important de faire en sorte de bien faire tous les exercices dès le début du semestre! -- examen écrit: en quatre heures. En général 3 problèmes. Barême établi de telle sorte que finir deux problèmes *justes* donne l examen avec une bonne note (5) -- examen oral: une question sur le cours tirée au sort -- on peut rejeter le premier choix, le second choix est alors définitif. + 3 minutes pour préparer un exposé de 15 minutes sur ce sujet. Session en Juin et en Septembre (max: deux passages)

4 Documentation: Nous suivons le cours de mécanique quantique de l Ecole Polytechnique (Basdevant, Dalibard) leçons I à 14. Environ une leçon par semaine. La bibliothèque en possède quelques exemplaires. Il inclut des exercices en fin de chaque chapitre -- les faire. Vous pouvez aussi vous référrer au classique: mécanique quantique de Cohen-Tannoudji Delanoë Il y a quelques éléments de mathématiques qui sont importants: notions de probabilité, transformée de Fourier, distributions, (Appendices A et B du cours). On traitera de façon minimale des espaces de Hilbert.

5 Chapitre I Les bases de la mécanique quantique Passage du continu au discret quantique Prédecesseurs: Démocrite et les Atomes Newton et la nature corpusculaire de la lumière 1895 Bequerel découvre le rayonnement radioactif des isotopes de l Uranium et du Thorium 19 Max Planck propose la théorie des quantas pour décrire le rayonnement du corps noir 195 L effet photo-electrique est expliqué par Einstein pour démontrer le caractère quantifié de la lumière -photons (1926). 199 Expérience de Millikan: la quantification de la charge éléctrique déposée sur des micro-gouttes d huile 199 Expérience de Rutherford collisions de particules alpha sur la matière indique l existence de noyaux atomiques

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7 Les quantas (Max Planck 19) Max Planck étudie le rayonnement du corps noir (loi de Wien qui décrit l intensité de l émission électromagnétique en fonction de la fréquence) en utilisant les lois de la thermodynamique statistique. Il montre que les résultats expérimentaux peuvent être expliqués en supposant que tout se passe comme si l émission était générée par des oscillateurs harmoniques dont l énergie est liée à la fréquence émise par la relation: E = n hν (quantification de l énergie) ν est la fréquence du rayonnement = dn(oscillations)/dt h est la constante de Planck cette relation entre énergie et fréquence est fondamentale. Elle nous rappelle la relation entre énergie et temps des équations canoniques H q i H H = p& i, = q& i, = H&, p t i

8 E = n hν peut aussi s écrire E.T/h = n En 195 Einstein écrit un papier célèbre ou il explique que l effet photo-electrique En 1839, Antoine Becquerel et son fils présentent pour la première fois un effet photoélectrique. Leur expérience permet d'observer le comportement électrique d'électrodes émergées dans un liquide, modifié par un éclairage. Il a été compris et présenté en 1887 par Heinrich Rudolf Hertz qui en publia les résultats dans la revue scientifique Annalen der Physik[1]. Albert Einstein fut le premier à en proposer une explication, en utilisant le concept de particule de lumière ou quantum, appelé aujourd'hui photon, initialement introduit par Max Planck dans le cadre de l'explication qu'il proposa lui-même pour l'émission du corps noir. Albert Einstein a expliqué que ce phénomène était provoqué par l'absorption de photons, les quanta de lumière, lors de l'interaction du matériau avec la lumière.

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10 Effet photoélectrique 1. Les électrons ne sont émis que si la fréquence de la lumière est suffisamment élevée et dépasse une fréquence limite appelée fréquence seuil 2. Cette fréquence seuil dépend du matériau et est directement liée à l'énergie de liaison des électrons qui peuvent être émis, 3. Le nombre d'électrons émis lors de l'exposition à la lumière, qui détermine l'intensité du courant électrique, est proportionnel à l'intensité de la source lumineuse, 4. L'énergie cinétique des électrons émis dépend linéairement de la fréquence de la lumière incidente. 5. Le phénomène d'émission photoélectrique se produit dans un délais extrêmement petit inférieur à 1-9 s après l'éclairage, ce qui rend le phénomène quasi instantané. L effet photo-électrique s explique par le fait qu un photon doit avoir une énergie E=hv supérieure au niveau d énergie atomique pour libérer l électron de l atome. L énergie qui reste résulte en énergie cinétique des électrons

11 Une onde plane s écrivant: iωt +ikx A(x,t) = A e La longueur d onde λ de la lumière, est liée à la fréquence et à la pulsation par la vitesse c de l onde c = λ /T = λν par définition de la longueur d onde, et donc à la pulsation ω = 2π /T et au nombre d onde k (radian de phase par unité de longueur) k = 2π /λ

12 la relation de Planck, E=hv, qui permet d expliquer l effet photo-électrique, permet aussi de relier l énergie d un photon et sa pulsation: E = hν = hω /2π = hω avec h = h /2π h = 6, Joule.seconde on préférera utiliser hc =197,327 MeV.fm 2MeV.fermi 1fermi= 1 femto. mètre=1fm=1-15 m

13 on se rapellera que la quantité de mouvement d un photon est donnée par E=p.c, d où l on dérive que soit p = hk E = hν = hc /λ = hkc p = h /λ = hk sera souvent utilisée par la suite la longueur d onde d un photon est inversement proportionnelle à son énergie ou sa quantité de mouvement.

14 λ km m mm µm nm pm fm ev kev MeV GeV ondes radio radar visible X gammas γ E Ondes visibles : µm niveaux d énergie: vibrations absorption particules moléculaires atomique élémentaires nucléaire

15 la manifestation des photons est très différente selon leur énergie: en dessous de ~1 ev on ne peut détecter que des phénomènes électromagnétiques (ondes) collectifs vers 1 ev on peut détecter la lumière visible ou par effet photoelectrique 1 photon à la fois (dans un photomultiplicateur par ex ou les nouveaux sipm) À plus hautes énergies on détecte uniquement les photons individuels.

16 MRS APD One pixel ~ 4 x 4 µm 2

17 Multi-Pixel-Photon-Counter Operation

18 au dessus de E >= 1 MeV ~2. m e c 2, un photon peut créer une paire électron + positon. γ + atome e + +e - + atome ici dans une chambre à bulles une particule incidente interagit et produit diverses particules secondaires dont un π γγ Noter que la distance parcourue par les deux photons est différente! dn dl exp(-l/x ) = p(l) X X L e + γ e - e + γ e -

19 La mécanique quantique prédit la courbe (distribution) qui peut être obtenue comme résultat d un grand nombre d observations mais elle ne prédit pas la valeur de la longueur au bout de laquelle un photon donné se matérialisera. dn dl exp(-l/x ) = p(l) X X L

20 On peut arbitrairement transformer un photon quantique de haute energie en photon de basse énergie par une transformation de Lorentz = = c v c v γ β E c p c p c p z y x Rappel: Quadrivecteur energie impulsion: Transformation de Lorentz à vitesse v le long de l axe des x: v γ E E Photon le long de Ox: E=p x c, p y =p z = = = E E E E 1 1 ' ' γ βγ βγ γ E =γ(1+β)e

21 E =γ(1+β)e Ex: γ=5 β~ ±1-1/2γ 2 ~ +1 et E = 1 E ~ -1 et E = E/1 On peut changer l énergie de façon arbitraire par une transformation de Lorentz photons de haute énergie: nature individuelle (particule) photons de basse énergie: manifestations collectives (ondes) Mais ce sont les mêmes objets physiques!

22 Phénomènes diffractifs et interférences Diffraction de la lumière par une fente: Onde plane a x Onde plane = approximation d une onde issue d une source très éloignée Écran récepteur Théorème d Huygens: on intègre de [,a] les ondes sphériques Issues des points infinitésimaux de l ouverture tous considérés comme sources.

23 Diffraction de la lumière par une fente: Onde plane a u θ r r Écran récepteur L x

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25 f f θ

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