Table des matières. Diusion thermique. S.Boukaddid Thermodynamique MP2

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Éloïse Dumouchel
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1 Diusion thermique Table des matières 1 oi de Fourier Flux thermique Vecteur densité volumique du courant thermique oi de Fourier Equation de diffusion thermique Bilan thermique unidimensionnel Cas générale Conditions limites Résistance et conductance thermique Définition Association des résistances thermiques Association en série Association en parallèle Analogie avec le calcul de capacité Transfert thermique par convection Définitions oi de Newton / 8

2 e transfert thermique se fait,sous trois modes : Conduction thermique : transfert thermique qui intervient dans un milieu de température non homogène et sans mouvement macroscopique de la matière (cas des solides) Convection thermique : transfert thermique qui intervient dans un milieu avec déplacement du milieu (cas des liquides et les gaz) Rayonnement thermique : la puissance thermique est émise par tout système matériel à température non nulle (T 0K),sous forme de rayonnement électromagnétique. 1 oi de Fourier 1.1 Flux thermique Soit un système (S) séparé de l extérieur par une surface fermée. e système (S) reçoit algébriquement un transfert thermique δq à travers δq (S) Σ Flux thermique : On appelle flux thermique (puissance thermique) Φ du système (S),l énergie thermique reçue par ce système par unité du temps. Φ = δq dt les dimensions du flux thermique : [Φ] = M. 2.T 3 unité de Φ : watt (W) Φ est une grandeur algébrique : Φ > 0 : le système reçoit l énergie thermique Φ < 0 : le système perd l énergie thermique 1.2 Vecteur densité volumique du courant thermique Considérons un système (S) séparé de l extérieur par un surface n : vecteur unitaire dirrigé vers l extérieur (S) ds n Définition : le vecteur densité volumique de courant j th est défini par Φ = j th ds n le flux élémentaire dφ dφ = j th.ds. n l unité de j th : W.m 2 2 / 8

3 1.3 oi de Fourier Enoncé : Dans un milieu matériel de température non uniforme,le vecteur densité volumique du courant thermique suit la loi phénoménologique j th = λ. g r adt λ représente la conductivité thermique du milieu (W.K 1.m 1.) le signe moins indique que le transfert thermique s effectue toujours dans le sens des températures décroissantes. la loi de Fourier est valable seulement aux faibles variations de températures Ordre de grandeur de λ Analogie avec la loi d Ohm matériaux cuivre acier verre bois eau air λ(w.m 1.K 1 ) ,2 0,25 0,6 0,026 Type de conduction Flux oi locale Conduction thermique flux thermique oi de Fourier Φ = j th. ds j th = λg r adt Conduction électrique courant électrique oi d Ohm I = j. ds j (M, t) = γ g r adv 2 Equation de diffusion thermique 2.1 Bilan thermique unidimensionnel γ : conductivité électrique V : potentiel scalaire Considèrons un conducteur métallique cylindrique de section S,de conductivité thermique λ,de masse volumique ρ et de capacité thermique massique c supposée constante x x + dx x premier principe sur une tranche du conducteur comprise entre x et x + dx du = δq + δw δq : transfert thermique entre la tranche et le milieu extérieur δw = P ext dv = 0 : car il s agit d un solide 3 / 8

4 du = c.dmdt = ρcsdxdt = δq δq = ρcsdxdt le flux thermique (compté dans le sens entrant) traversant la face située à l abscisse x : Φ(x, t) = j th (x, t)s le flux thermique traverssant la face à l abscisse x + dx : bilan du flux thermique Φ(x + dx) = j th (x + dx).s dφ = φ(x, t) Φ(x + dx, t) = [ j th (x) j th (x + dx) ] S = j th x dx.s d autre part on a : δq = dφdt ρcsdxdt = j th x dx.sdt j th = λ T x D = λ ρc : diffusivité thermique (m2.s 1 ) l équation de la diffusion thermique 2.2 Cas générale 2 T 2 x ρc T λ t = 0 2 T 2 x 1 D T t = 0 On montre que l équation de la diffusion thermique s écrit sous la forme T 1 D T t = 0 Remarque : si dans la tranche étudiée,existe une source délivrant une puissance thermique volumique p,l équation de la diffusion s écrit sous la forme T 1 T D t = p λ en régime permanent l équation de la diffusion thermique s écrit sous la forme : en absence d une source thermique : T = 0 en présence d une source thermique : T = p λ 2.3 Conditions limites Nature de la condition aux limites Conséquence sur les grandeurs thermiques surface en contact avec un thermostat température de la surface de température T 0 T = T 0 surface parfaitement calorifugée nullité de la composante normale du vecteur densité du flux thermique en tout point de la surface calorifugée : j th = 0 4 / 8

5 3 Résistance et conductance thermique 3.1 Définition Considérons un matériau sans source thermique locale (p = 0),sous forme d un barreau homogène de longueur et de section S 0 en travail en régime permanent ou T ne dépend que d une seule variable x S Φ x T(0) = T 1 ;T() = T 2 d 2 T dx 2 = 0 T(x, t) = T 2 T 1 j th = λ dt dx x + T 1 e x = λ T 1 T 2 e x T(x, t) = T 2 T 1 x + T 1 le flux thermique traverssant une section S du barreau : Φ = Φ = λs (T 1 T 2 ) Définition : On définit la résistance thermique par la conductance thermique est : G th = 1 R th R th = T 1 T 2 Φ la résistance rhermique du barreau : R th = la conductance thermique : G th = λs 3.2 Association des résistances thermiques Association en série λs S j th.ds e x On parle d association en série de deux conducteurs thermiques si ces deux conducteurs,ayant une section commune,sont traversés par le même flux. V 1 R 1 V 2 R 2 V 3 V 1 R eq V 3 I I R th1 Φ R R th2 Φ theq T 1 T 2 T 3 T 1 T 3 5 / 8

6 T 1 T 3 = (T 1 T 2 ) + (T 2 T 3 ) = R th1.φ + R th2.φ = R theq.φ R theq = R th1 + R th Association en parallèle On parle de l association en parallèle de deux conducteurs thermiques si ces deux conducteurs sont soumis à la même différence de température T 1 T 2 I 1 R 1 I 1 + I 2 R eq V 1 V2 V 1 V 2 I 2 R 2 T 1 T 2 T 1 T 2 R th1 Φ 1 R th2 R theq Φ 1 + Φ 2 Φ 2 Φ = Φ 1 + Φ 2 = T 1 T 2 R th1 + T 1 T 2 R th2 = T 1 T 2 R theq 1 R theq = 1 R th1 + 1 R th2 3.3 Analogie avec le calcul de capacité la géométrie du barreau peut aussi être comparée à un condensateur formé de deux armature planes et parallèles,d aire S séparées par une distance,l espace entre les armatures est supposé vide. T 1 S T 2 j th Φ V 1 S V 2 Q 1 ε 0 E 6 / 8

7 Grandeurs thermiques vecteur densité de courant thermique j th Température T oi de Fourier j th = λg r ad T Grandeurs associées au condensateur champ électrique entre les armatures multiplié ε 0 : ε 0 E Potentiel électrique V définition du potentiel ε 0 E = ε0 g r adv conductivité thermique λ permittivité du vide ε 0 flux thermique Φ = j th ds n charge d une armature : Q = ε 0 E ds n S Φ Q conductance thermique : G th = Capacité C = T 1 T 2 V 1 V 2 Conducteur thermique d un barreau G th = λs Capacité du condensateur plan C = ε 0S 4 Transfert thermique par convection 4.1 Définitions Convection : la convection est le mouvement macroscopique d une certaine quantité de matière On distingue entre deux types de convections : convection forcée : le mouvement du fluide est imposé par une pompe ou un ventilateur convection naturelle : le mouvement du fluide est dû à la poussée d Archimède sur le fluide chaud qui s élève tandis que le fluide plus froid descend S 4.2 oi de Newton Notion du couche limite couche limite Au voisinage de la paroi,le champ des vitesses et le champ de température du fluide ne sont pas uniforme.ils varient dans une domaine restreint,perpendiculairement à la paroi,appelé Couche limite. a température varie de T p (sur la paroi) à T f (fluide) Paroi T p δ Fluide à temperature T f oi de Newton Enoncé : la densité surfacique du flux sortant du paroi ϕ sor t ant est proportionnelle à la différence de température entre la paroi (T p ) et le fluide (T f ). ϕ sor t ant = h(t p T f ) h : coefficient conducto-convectif ou coefficient de Newton(W.m 2.K 1 ) 7 / 8

8 couche lmite Paroi T p ϕ sor t ant fluide T f h dépend de la nature du paroi,de la nature du fluide et de son vitesse le flux thermique sortant s obtient par l intégration sur la surface en contact avec le fluide Φ sor t ant = ϕ sor t ant dσ = h(t p T f )Σ à la surface d un solide (T s ) en contact avec un fluide (T f ),le densité du flux conductoconvectif est : j th = h(t s T f ) n ext n ext : la normale extérieure au solide 8 / 8

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