T 4 Machines Thermiques

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1 Machines Thermiques PCSI I Généralités Définition : une machine thermique permet de transformer de l énergie thermique en travail et inversement. On peut citer par exemple : les moteurs à essence, les centrales électriques thermiques, les pompes à chaleur ou encore les réfrigérateurs. Il est intéressant de se concentrer sur ce dernier exemple et de comprendre les mécanismes physiques qui gouvernent le fonctionnement d un réfrigérateur. Autrement dit, comprendre comment faire du froid à partir d un travail mécanique. Le premier réflexe que l on a lorsqu il fait chaud consiste à s éventer. La sueur qui se trouve sur notre peau s évapore et prélève de l énergie (chaleur latente) pour le faire. Si l on veut être plus efficace, on peut s asperger d eau et se placer devant un ventilateur. Cependant, une fois que l on est sec il faut à nouveau s asperger, ce qui au bout du compte consomme beaucoup d eau. On imagine assez facilement qu en recyclant la vapeur d eau qui s est évaporée, on peut se maintenir au frais en n utilisant qu une faible quantité d eau. C est exactement le même principe qui est à l œuvre dans un réfrigérateur. Un fluide effectue un cycle au cours duquel il s évapore en refroidissant l intérieur du réfrigérateur, puis la vapeur est recyclée, c est-à-dire condensée pour être à nouveau utilisée. Cette notion de cycle est primordiale pour bien comprendre le fonctionnement d une machine thermique. 1. Bilans sur un cycle Bilan énergétique : un fluide qualifié "d agent thermique" ou fluide caloporteur (air, fréon, eau...) suit un cycle au cours duquel il reçoit algébriquement le transfert thermique total Q Cycle au contact de thermostats (capacités thermiques infinies) et le travail total W Cycle. On parle de moteur thermique si au cours d un cycle, W Cycle < 0 (travail fourni à l extérieur) et de récepteur thermique si au cours du cycle, W Cycle > 0 (travail provenant d une source de travail : compresseur par exemple). U étant une fonction d état et par application du premier principe sur le fluide : U Cycle = 0 Q Cycle + W Cycle = 0 soit Q Cycle = W Cycle Bilan entropique : S étant une fonction d état et par application du second principe sur le fluide : S Cycle = 0 S e + S c = S e = N i=1 Q i T i + S c = 0 ; S c 0 S e = N i=1 Q i T i 0 1

2 Si toutes les transf. sont réversibles, S c = 0 Si une au moins est irréversible, S c > 0 N i=1 Q i T i = 0 Égalité de Clausius N i=1 Q i T i < 0 Inégalité de Clausius 2. Cycle monotherme Définition : Un cycle est monotherme si le système échange de l énergie thermique avec un seul thermostat. Exemple : un radiateur électrique qui reçoit du travail électrique et le restitue sous forme calorifique à la pièce qu il doit chauffer et qui fait office de thermostat (T s ). Thermostat T S Q < 0 Sens conventionnel Premier principe :W + Q = 0 système W > 0 Source de travail Sens réel à compléter après les bilans Deuxième principe : S = 0 = S e + S c = Q T s + Sc avec S c 0 S e = Q T s < 0 donc Q < 0 et W > 0 On retrouve le second principe selon Kelvin qui est un des énoncés historiques : un cycle monotherme ne peut être que récepteur (on ne peut pas construire un bateau qui avancerait sur l eau en transformant l eau de mer liquide en glace). 3. Cycle ditherme Définition : un cycle est ditherme si le système échange de l énergie thermique avec deux thermostats. 3.a. Représentation Source de travail ou mileu extérieur W Thermostat chaud système Thermostat froid < 3.b. Sens conventionnel Bilans énergétique et entropique Premier principe : U Cycle = W + + = 0 Deuxième principe : S Cycle = 0 = S e + S c S e = Qc Clausius). + Qc + 0 (inégalité de PCSI Page 2/9

3 II Étude de moteurs dithermes 1. Représentation, principe de Carnot Principe de Carnot : pour qu un système puisse décrire un cycle moteur, il doit nécessairement échanger de l énergie thermique avec au moins deux thermostats à des températures différentes en prélevant un transfert thermique à la source chaude et en en restituant une partie à la source froide. Remarque : il a été posé en 1824 c est à dire bien avant l énoncé du premier principe. Thermostat chaud Milieu extérieur W < 0 > 0 < 0 système Thermostat froid Sens conventionnel Sens réel 2. Rendement du moteur ditherme Définition : Le rendement d un système thermique est le rapport positif ρ énergie utile récupérée du système ρ = énergie coûteuse dépensée par le système = énergie à optimiser énergie coûteuse Pour un moteur thermique, ρ = W = W 0 Valeur limite : D après le premier principe : W = + D après l inégalité de Clausius : ρ = Qc+ = 1 + < car 0 et ρ = ρ 1 = ρ C < 1 ( > ) on a égalité si le cycle est réversible. Théorème de Carnot : le rendement d un moteur ditherme est inférieur à la valeur limite ρ c = 1 qui ne dépend que de la température des sources, la valeur limite est atteint si le cycle est réversible. En fait, aucun moteur réel n est réversible rendements toujours inférieurs : ρ réel < ρ C. Définition : le cycle de Carnot est un cycle ditherme constitué de deux isothermes réversibles et deux adiabatiques réversibles. PCSI Page 3/9

4 L allure du cycle dans le diagramme entropique (T, S) ne dépend pas de la nature du fluide. On peut aussi représenter le cycle de Carnot décrit par un gaz parfait en diagramme de Watt (p, V ). p C B Diagramme de Watt / GP adiab rév Isotherme rév D Isotherme rév adiab rév A T C B Diagramme entropique adiab rév Isotherme rév Isotherme rév adiab rév D A V S B < S A S A S Aire du cycle = W avec W < 0 Remarques : W = Q d où W = Q et les deux cycles ont la même surface. Aire du cycle = Q avec Q > 0 Ce moteur n est qu un modèle expérimental, il est très difficile à mettre en œuvre (p C très élevée). Pour avoir un cycle réversible, toutes les transformations doivent être quasi statiques et le cycle devrait être parcouru lentement d où une puissance faible. III Étude de récepteurs dithermes 1. Exemples Réfrigérateur ou climatiseur dont le but est de refroidir la source froide (aliments ou appartement) en réchauffant la source chaude (cuisine ou air extérieur). Pompe à chaleur dont le but est de réchauffer la source chaude (appartement) en refroidissant la source froide (rivière, nappe phréatique). Ces transferts thermiques non spontanés nécessitent un travail : W > 0. Source de travail Thermostat chaud W > 0 < 0 > 0 système Thermostat froid Sens conventionnel Sens réel PCSI Page 4/9

5 2. Efficacité (cœfficient de performance) d un récepteur 2.a. Réfrigérateur ou climatiseur Définition : efficacité frigorifique e F : si on reprend la même définition que pour le rendement, ici, énergie à optimiser e F = énergie coûteuse e F = W > 0 Valeur maximale : de Clausius Qc le premier principe W + + = 0 e F = + 0, donnent : ( 1 + ) ( 1 ) + = 1 Qc Qc 1 Tc et l inégalité e F = e F C on a égalité si le cycle est réversible. 2.b. Pompe à chaleur Définition : efficacité thermique e T : énergie à optimiser e T = énergie coûteuse e T = W = W Valeur maximale : e T = on a de même, + = et + 0 avec < Q 1 f 1 e T = e T C égalité si le cycle est réversible. 2.c. Commentaires On retrouve l équivalent du théorème de Carnot : l efficacité frigorifique (resp. thermique) d un réfrigérateur (resp. d une pompe à chaleur) ditherme cyclique est inférieure à l efficacité frigorifique (resp. thermique) d un réfrigérateur (resp. d une pompe à chaleur) ditherme cyclique réversible dont le fluide calorifique suit le cycle de Carnot constitué de deux isothermes réversibles et deux adiabatiques réversibles dans le sens inverse du cas (II.2.). L efficacité de Carnot ne dépend pas du fluide mais que de la température des sources. PCSI Page 5/9

6 L efficacité peut avoir une valeur supérieure à 1, cela est du au fait que l essentiel de dans le cas du réfrigérateur et dans le cas de la pompe à chaleur est "gratuite" car prélevé à la source extérieure. Exemple : pompe à chaleur avec T F = 10 C= 283 K et T C = 20 C= 293 K, on obtient e T C = 293 = 29, 3! soit en théorie 29,3 fois plus efficace qu un simple radiateur électrique 10 (rendement 1). En réalité, l efficacité mesurée est bien inférieure à la valeur théorique car le cycle n est pas réversible mais on peut avoir des valeurs proches de 7 ou 8 d après les notices et 3 ou 4 dans la pratique. De plus, l installation est assez coûteuse. L efficacité augmente si est proche de : à la mise en route. IV Machine thermique réelle : moteur de Beau de Rochas Conçu en 1862, il fut présenté pour la première fois lors de l exposition universelle à Paris (1890). 1. Description : cycle à quatre temps 1 er temps 2 ème temps 3 ème temps : seul temps moteur 4 ème temps A B B C C D E E A Premier temps : admission AB. Le cylindre ayant son volume minimal (point A : V = V min ), la soupape d admission s ouvre et le mélange air + carburant entre dans le cylindre quasiment à pression constante. Le piston se déplace jusqu à ce que le volume du cylindre soit maximal (point B : V = V max ). V max V min est la cylindrée du moteur. Deuxième temps : compression BC. Les soupapes étant fermées, le mélange est comprimé jusqu au volume V min : point C. Troisième temps : explosion et détente CDE. Au point C, une étincelle électrique provoque l explosion du mélange qui fait augmenter la pression jusqu à atteindre la valeur maximale (point D). Les soupapes étant toujours fermées, les produits de la combustion se détendent en repoussant fortement le piston jusqu à ce que le volume du cylindre soit maximum (point E). PCSI Page 6/9

7 T 4 Quatrième temps : échappement EA. Au point E, la soupape d échappement s ouvre sur l atmosphère. L expulsion des gaz d échappement s accompagne d une diminution brutale de la pression et du volume jusqu au volume minimal (retour au point A). La soupape d échappement se ferme alors et la soupape d admission s ouvre à nouveau, on est ramené au début du premier temps. Dans la pratique, les moteurs à explosion fonctionnent généralement avec quatre cylindres, ce qui permet de réaliser une rotation quasi uniforme du moteur. 2. Modélisation Afin de pouvoir réaliser une étude plus simple du moteur, il est préférable de faire les hypothèses suivantes : Le mélange initial et les gaz d échappement (principalement composés d air, molécules diatomiques) sont assimilés à un gaz parfait de cœfficient isentropique γ = 1, 40 constant. Ce gaz ne subit pas de réaction chimique et l énergie thermique effectivement dégagée lors de la combustion du carburant réel est supposée fictivement fournie par une source chaude fictive. p D C pv γ = Cte P atm A W < 0 pv γ = Cte E B V V min L admission AB est supposée isobare à la pression atmosphérique. La compression BC et la détente DE sont supposées adiabatiques (car plus rapides que les échanges thermiques avec le carter) et réversibles (quasistatiques et frottements négligés) ces évolutions sont donc isentropiques. La combustion CD est suffisamment rapide pour que le piston n ait pas le temps de se déplacer, CD est donc isochore (pour un moteur Diesel elle est plutôt isobare). L ouverture de la soupape ramène le gaz à la pression atmosphérique assez rapidement pour que le piston n ait pas le temps de bouger, EB est alors isochore. Durant cette évolution, le gaz se détend et cède de l énergie thermique à l atmosphère qui joue le rôle d une source froide fictive. V max PCSI Page 7/9

8 L échappement des gaz BA se fait à pression constante. En remarquant que les travaux au cours des étapes AB et BA se compensent, on peut occulter ces deux étapes aux cours desquelles le système est ouvert. Cycle parcouru dans le sens horaire W < 0 : cycle moteur. Conclusion : Tout se passe comme si une certaine quantité de gaz constituant un système fermé décrivait indéfiniment un cycle constitué de deux adiabatiques réversibles et deux isochores : cycle de Beau de Rochas cycle de Carnot d où ρ<ρ C. Le système reçoit algébriquement un travail W de l extérieur et les transferts thermiques Q CD = avec une source chaude et Q EB = avec une source froide : machine ditherme. 3. Rendement Exprimer le rendement ρ du moteur en fonction des températures. Application du premier principe sur un cycle : U Cycle = W Cycle + Q Cycle = W + Q BC + Q CD + Q DE + Q EB = 0 Avec Q BC = 0 et Q DE = 0, on en déduit Q CD + Q EB = W et par définition, ρ = W = W = Q CD + Q EB Q Source Chaude Q CD Q CD ρ = 1 + Q EB Q CD CD étant une isochore, Q CD = U CD = C v (T D T C ) et de même EB étant une isochore, Q EB = U EB = C v (T B T E ) = C v (T E T B ) et ρ = 1 T E T B T D T C Exprimer ρ en fonction du taux de compression τ = Vmax V min. La transformation BC étant une adiabatique réversible donc quasistatique, on peut utiliser les relations de Laplace entre les points B et C : T B V γ 1 B = T B V γ 1 min = T C V γ 1 C = T C V γ 1 max De même, DE étant une adiabatique réversible, T D V γ 1 max γ 1 V max T C = T B = T B τ γ 1 V min = T E V γ 1 min T D = T E τ γ 1 d où T D T C = (T E T B )τ γ 1 et finalement, ρ = 1 τ 1 γ Il est possible d exprimer le rendement ρ en fonction des températures, puis en fonction du taux de compression τ = Vmax V min. Le résultat est ρ = 1 τ 1 γ Commentaires On peut augmenter ρ en augmentant le taux de compression τ. Par exemple, pour γ = 1, 40. En pratique, si on augmente trop τ, il risque de se produire un autoallumage : le mélange s enflamme spontanément avant la fin de la compression et le moteur cogne. On limite ce phénomène en utilisant des carburant à fort indice d octane. τ ρ 0,36 0,51 0,58 0,63 Si on veut comparer au ρ avec ρ C, il faut affecter une température aux sources fictives. On prend la température de la source froide, l atmosphère égale à T B = 300 K par exemple et la température de la source chaude égale à T D, la température maximale du gaz T D 3400 K. On obtient ρ C = 1 = 0, 91 On a bien entendu ρ < ρ C puisque le cycle n est pas réversible. PCSI Page 8/9

9 En réalité, on mesure ρ de l ordre de 0,3 à 0,5. De plus, les moteurs ne travaillent pas toujours à leur puissance maximale ni dans une zone où le rendement est maximale et le rendement moyen est de l ordre de 10 % V Exemple dans un cas avec pseudo-source Une pompe à chaleur fonctionne entre l air extérieur de température fixe T a = 283 K et la pièce à chauffer de température T. Initialement, la pièce est à la température T a. On désire la chauffer jusqu à la température in = 293 K. La pièce possède une capacité thermique C = J/K et est parfaitement calorifugée. 1. On va raisonner pendant un cycle en supposant que la température ne varie que très peu T T + dt. Les grandeurs d échange seront notés avec un δ pour indiquer qu elles sont infinitésimales. Appliquer les deux premiers principes sur un cycle en notant δ le transfert thermique avec la pièce à chauffer et δ celui avec l extérieur et δw le travail électrique reçu. 2. Exprimez δ en fonction de C et de dt. 3. Le transfert thermique total est la somme des transferts thermiques infinitésimaux depuis que la pompe à chaleur a été mis en route, c est à dire = δ. À partir du 2 e principe, déterminez une inégalité sur 4. En déduire le travail minimal W min à fournir à la pompe à chaleur afin que la pièce accède à la température voulue. 5. Faire l application numérique. 6. Sachant que la pompe à chaleur consomme P = 1 kw, quelle est la durée minimale nécessaire pour chauffer la pièce? 7. Quelle serait-elle dans le cas d un chauffage électrique consommant la même puissance? 1. 1er ppe : du = 0 = δ + δ + δw 2e ppe : ds = 0 = δs c + δ T a + δqc T avec δs c 0 2. δ = CdT (attention à la convention thermo, ce que la pièce gagne, c est ce que le fluide a perdu) 3. = δ = in T a T a CdT T 4. W = C(in T a ) CT a ln in T a S c avec S c 0 d où CT a ln in T a = W min 5. Numériquement W min = ( ln ) = 1, J 6. il faut au moins W min = 10 3 s 17 min P 7. dans le cas d un chauffage électrique, W = C(in T a ) = donc un temps 60 plus long soit environ 17 h. Dans les fait, l efficacité de la pompe à chaleur est bien moindre (plutôt 3). PCSI Page 9/9

10 Table des matières I Généralités 1. Bilans sur un cycle 2. Cycle monotherme 3. Cycle ditherme 3.a. Représentation 3.b. Bilans énergétique et entropique II Étude de moteurs dithermes 1. Représentation, principe de Carnot 2. Rendement du moteur ditherme III Étude de récepteurs dithermes 1. Exemples 2. Efficacité (cœfficient de performance) d un récepteur 2.a. Réfrigérateur ou climatiseur 2.b. Pompe à chaleur 2.c. Commentaires IV Machine thermique réelle : moteur de Beau de Rochas 1. Description : cycle à quatre temps 2. Modélisation 3. Rendement V Exemple dans un cas avec pseudo-source PCSI LycéeVictor Hugo de Besançon

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