SOLLICITATION DE CISAILLEMENT

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1 Terminale S.T.I. 1 / 8 IV. CISAILLEMENT Définition. Une poutre subit une sollicitation de pur lorsqu'elle est soumise à deux forces de liaison égales et directement opposées dont le support est contenu dans un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne. (E) (P) A ' B Sous l'action de ces deux forces la poutre tend à se séparer en deux morceaux E1 et E2 glissant l'un par rapport à l'autre dans le plan de section droite (P).

2 Terminale S.T.I. 2 / 8 (E1) y (S) E1 ' (P) E2 z T x Les éléments de réduction en du torseur des efforts de cohésion s'expriment DANS LA SECTION CISAILLEE par : { 0 0 Tcoh( E2 E1) } = Ty 0 Tz 0 remarques : on peut toujours remplacer les composantes d'effort tranchant (Ty et Tz) par une unique composante T. R avec 2 2 T = Ty + Tz Tz T Ty 4.2 Etude expérimentale. Il est physiquement impossible de réaliser du pur au sens de la définition précédente. En effet, dans la réalité, il est absolument impossible d appliquer deux forces opposées situées exactement dans le même plan. Considérons une poutre (E) parfaitement encastrée dans un «mur»et appliquons-lui un effort de le plus prêt possible du plan (P). Cet effort sera malgré tout situé à une distance Δx du plan (P) d'encastrement (voir fig.). On se rapproche des conditions du réel, avec Δx très petit.

3 Terminale S.T.I. 3 / 8 Si l'on isole (E1), pour un plan de coupure confondu avec le plan (P) on trouve alors le torseur de cohésion suivant : Ty (Effort tranchant) { 0 0 Tcoh ( E2 E1) } = 0 0 Δx. R Mz (Moment de lexion) Conclusion : En réalité, la poutre subit une sollicitation composée CISAILLEMENT ET LEXION. Cette sollicitation est appelé CISAILLEMENT SIMPLE. Seulement Δx étant très petit, les effets induits par le moment de flexion Mz = seront négligeables devant l importance de l effort tranchant Ty = Δx. C est pourquoi nous ignorerons complètement Mz considérant ainsi que la poutre est sollicitée à du pur. 4.3 Contraintes

4 Terminale S.T.I. 4 / 8 Chaque élément de surface ΔS supporte une contrainte de contenu dans la section cisaillée (S). Section (S) + T (S) Il y a répartition uniforme des contraintes de dans la section droite. (même valeur de en chaque point de la section cisaillée) On définit la contrainte moyenne dans la section droite cisaillée (S) par la relation : = T S avec : : contrainte tangentielle de en MPa (valeur moyenne). T : effort tranchant en Newton. S : aire de la section droite (S) en mm Caractéristiques mécaniques d'un matériau. Nous avons vu qu un essai de traction appliqué à une éprouvette permet de déterminer, entre autre, deux propriétés majeures du matériau. La résistance limite élastique à la traction σ e La résistance à la rupture à la traction σ r

5 Terminale S.T.I. 5 / 8 Il existe aussi des essais de permettant de déterminer deux autres propriétés. La résistance limite élastique au notée e La résistance à la rupture au notée r En effet les matériaux ne réagissent pas avec la vigueur au qu à la traction. Nous avons constaté que l acier avait une résistance élastique au deux fois plus faible qu à la traction. D où la relation e= 0.5σ e POUR L ACIER De même e= 0.8σ e POUR LES ONTES 4.5 Résistance pratique au. Comme pour les pièces sollicitées à la traction ou à la compression, on défini une RESISTANCE PRATIQUE AU CISAILLEMENT notée p. Cette résistance permet de prendre en compte un coefficient de sécurité «s». p est donné par la relation suivante : e p = s p : Résistance pratique au en Mpa e : Résistance élastique au du matériau en Mpa S : Coef. de sécurité (sans unité).

6 Terminale S.T.I. 6 / Condition de résistance. Pour vérifier si la pièce étudiée qui soumise à des forces de est compatible avec le matériau prévu (qui résiste dans le domaine élastique), il faut comparer deux valeurs : moyen qui dépend des forces, des dimensions de la pièce et de sa forme. p qui dépend de la résistance élastique au e et du coef. de sécurité. Pour que la pièce résiste face aux sollicitations de il faut vérifier la condition de résistance suivante. m o yen p Avec = p e s max i p e 0 r 4.7 Déformations élastiques.

7 Terminale S.T.I. 7 / 8 L étude ne pourra être menée que pour une déformation située dans le domaine élastique du matériau. Après déformation la poutre prend la forme suivante. Sections droites sollicitées au. y γ x S1 S2 Le morceau «S1» subit un déplacement latéral par rapport à «S2» d une valeur Description du phénomène. Chaque section droite de la poutre d épaisseur infiniment petite (situées dans la zone cisaillée) subit un glissement latéral par rapport à sa voisine. Δy La ligne moyenne s incline donc d un angle γ appelé angle de glissement relatif. Dans le domaine élastique du, il existe aussi une proportionnalité entre les contraintes et les déformations. Le coefficient de proportionnalité est noté s appel : MODULE D ELASTICITE TRANSVERSAL. ou : MODULE DE COULOMB. Ce module dépend du module d Young «E».

8 Terminale S.T.I. 8 / 8 Le module de Coulomb est donné par la relation suivante. Exemple : = 0.4E Matériau ontes Aciers Laiton Duralumin Plexiglas (MPa) Loi de Hooke. La loi de proportionnalité entre la contrainte et l angle de glissement relatif γ, appelée LOI DE HOOKE est la suivante. MPa MPa Radian ou sans unité mm Elle s écrit : =. γ avec Δy γ = Δ x mm Ou est appelé MODULE D ELASTICITE TRANSVERSAL (Ou encore MODULE DE COULOMB). D où la relation suivante : S = Δy Δx Unités : : effort de en Newton S : section cisaillée en mm 2 : Module de Coulomb en MPa Δy et Δx en mm