Cours RDM 1 A.U : Extension simple Compression simple

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1 Chapitre 3 Extension simple Compression simple 3.1 Extension simple Définition Une poutre est sollicitée a 1'extension simple lorsqu'elle est soumise a deux forces directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes et qui tendent a l'allonger Dans le repère de définition des sollicitations ( x, y, z) lie à la section droite (), Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par coh = R telque dans : coh = G avec > ( < : compression ) Essai de traction a) Définition. Cet essai consiste à soumettre une éprouvette à un effort de traction, progressivement croissant, généralement jusqu'a la rupture. Pour pouvoir déterminer les caractéristiques d un tel matériau. Eprouvettes. il existe deux types d'éprouvettes, suivant la forme du produit que l'on doit essayer AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 35

2 - forme cylindrique (a) pour les métaux en barres et pour d 4mmm ; - forme prismatique (b) pour les métaux en feuilles et pour : largeur 8 x épaisseur. Les dimensions de 1'eprouvette doivent satisfaire à certaines normes. La partie centrale est calibrée. Avec L = longueur entre repères ; = section. Pour 1'éprouvette a section circulaire, L K (avec K = 5,65). 2 Détail des mors et de l éprouvette 3 Éprouvettes cylindrique et plane 1 - Machine à essai de traction 4 Rupture d éprouvette 5 triction et formes de la cassure d éprouvette AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 36

3 b) Exemple d enregistrement d essai : - AcierE3 (fig1): est acier de construction d usage général. Il se présente sous la forme de tôles. - Acier 5CV4 (fig2) : est acier à ressort au chrome-vanadium Trempé à l huile à 85 C suivi d un revenu à 6 C. - Aluminium 15A (fig 3) : est aluminium d usage courant en électroménager. AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 37

4 c) Conduite de l essai : La courbe de traction présente habituellement une portion initiale linéaire (OA). Le long de OA, la déformation est réversible. C est-à-dire que si on supprime 1'effort d'extension, I'éprouvette revient à sa longueur initiale l Cette portion constitue le domaine élastique. Au-delà de OA, les déformations ne sont plus réversible elles sont permanentes, on dit que l'éprouvette à subi une déformation plastique. A partir du point repéré C sur les trois courbe et Expérimentalement on- constate qu'il se forme une striction. Ce processus conduit à la rupture (en D) Etude des caractéristiques mécaniques tirées de l essai Limite élastique R e (ou ) :elle peut être apparente lorsque le point A etst clairement défini e sur la courbe, ou conventionnelle (R p,2 ) lorsque le point A n est pas marqué.ex : pour l acier 295, R e = 295 MPa. Pour l acier 5CV : R p,2 = 93MPa Pour l aluminium15a : R p,2 = 65MPa Module d'élasticité longitudinale on module de Young, E : dans la zone élastique, c'est le rapport de proportionnalité entre la contrainte normale et I'allongement unitaire. E F l l soit E ( enmpa ) Résistance à la traction R m : : c'est la contrainte normale max Rm maximum de force appliquée sur l éprouvette. ex : pour l acier 295 R m = 48MPa. correspondant au Allongement A % :. oit L u la longueur ultime entre repères, mesurée après rupture de 1'eprouvette en rapprochant les deux fragments. Pou l acier 295, A% = 21 Lu L A% L 1 triction Z % : soit la section initiale de 1'eprouvette. oit u la section minimale de I'éprouvette après rupture AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 38

5 Z% u CV4 15A R e (MPa) 295 R p,2 (MPa) E(MPa) R m (MPa) A% Caractéristiques de quelques matériaux Aciers d usage général uances Rr (MPa) Re (MPa) E (MPa) 185 (A33) (E24) (E28) (E36) Aciers de construction mécanique uances Rr (MPa) Re (MPa) E (MPa) E 295 (A5) E 335 (A6) E 36 (A7) Aciers pour traitements thermiques uances Rr (MPa) Re (MPa) E (MPa) C 22 (XC 18) 41 à à 6 21 C 25 (XC 25) 46 à à C 35 (XC 38) 57 à à C 4 (XC 42) 62 à à C 45 (XC 48) 66 à à C 5 (XC 5) 7 à à uances Aciers faiblement alliés Rr (MPa) Re (MPa) E (MPa) 48 Cr 2 (38 C 2) 6 à 9 35 à Cr 6 (1 C6) 85 à à i Cr 14 (14 C 11) 8 à à i Cr Mo 7 (18 CD 6) 8 à 15 7 à i Cr Mo 16 (35 CD 16) 1 à à Cr Mo 4 (35 CD 4) 7 à 12 5 à Aciers fortement alliés AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 39

6 uances Rr (MPa) Re (MPa) E (MPa) X 2 Cr i (Z3 C 19-11) 44 à X 6 Cr Ti 18.1 (Z6 CT 18-1) 49 à Fontes uances Rr (MPa) Re (MPa) E (MPa) E GJL 2 (FGL 2) E GJL 4 (FGL 4) E GJ 5-7 (FG 5-7) E GJ 9-2 (FG 9-2) E GJMW 25-1 (MB 4-1) E GJMB 35-1 (M 35-1) E GJMB 65-3 (M 65-3) ota : La nuance entre parenthèses correspond à l'ancienne norme de désignation des matériaux Loi de Hooke : Dans le cas d un solide en forme de poutre, l effort unitaire longitudinal est proportionnel à l l allongement relatif l E avec : = contrainte d extension (MPa). E = Module de Young (MPa). = Allongement relatif (sans unité). La loi de Hooke n à un sens que dans le domaine élastique Etude des contraintes : Considérons le tronçon (E 1 ) limité par () oit ( G, x, y, z), le repère de définition des sollicitations dans () et le torseur associe aux efforts de cohésion exercés par (E 2 ) sur (E 1 ) à travers () : coh coh R M G Exprimons les éléments de réduction en G du torseur de cohésion R F M Avec F x G AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 4

7 Les résultats de 1'essai d'extension permettent de faire un certain nombre d'hypothèses - une section droite reste plane et perpendiculaire à l'axe de 1'eprouvette; - entre deux sections droites quelconques. 1'allongement unitaire l l est le même. On peut donc en conclure que les efforts de cohésion df dans une section droite sont perpendiculaires a (), uniformément repartis dans () et cela quel que soit () entre A et B df Or R C( M, x) ds en extension simple C( M, x) et R ds ( s) Projetons sur l axe ( G, x); ds. s Les efforts élémentaires de cohésion étant uniformément repartis dans () on écrira alors et donc Avec : = contrainte normale d'extension ( > ) en MPa, = effort normal d'extension ( > ) en, = aire de la section droite en mm 2. AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 41

8 3.1.6 Relation entre l'effort normal et I'allongement l otons d'abord qu'en extension : > et E avec et l l l >. l E on peut donc exprimer l allongement l : l l l. E Une poutre tendue, de longueur l, de section, construite d un matériau de module de Young E et sollicitée dans une section droite quelconque par un effort normal > connu, s'allonge de Application : caractéristiques mécaniques d'un matériau : oit une éprouvette en acier 295 (E3) avec d = 1mm et la longueur initiale entre les repères A et B est l = 1mm. Dans la zone OA des déformations élastiques, on donne les résultats du tableau de mesure : l. F (d) l (mm),3,6,9,12,16 l 1- Tracer la courbe de F( l ) et la courbe conventionnelle de ( ) l 2- Déterminer le module de Young E, la résistance à l extension R m, et l allongement A% Réponse : AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 42

9 F () (MPa) 66,21 129,87 19,98 254,65 318, E (MPa) 2, , , , , E 5 2,121 R e 3MPa R m 477MPa A % 22 MPa Déformation longitudinale et transversale Pendant l essai de traction la longueur de l éprouvette augmente et sa section diminue. Dans la zone élastique, l éprouvette s allonge et la déformation longitudinale l (suivant la direction de la force) s accompagne d une déformation transversale perpendiculaire à celle de la force): b b à L (suivant la direction La relation entre la déformation longitudinale et celle du transversale est définit par : b b à l L Ou encore on note;. y x Avec υ est le coefficient de poisson. AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 43

10 3.1.8 Condition de résistance Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'extension pe : On a : R e pe s En construction mécanique le coefficient de sécurité s varie en général entre 2 et 5 La condition de résistance s écrit : pe, ou : pe Application : Un tirant de 2 m de long supporte dans une section droite quelconque un effort normal d'extension = 5.. I1 est en acier pour lequel : pe =1MPa ; E=2 1 5 MPa Déterminer le diamètre minimal du tirant et son allongement. OLUTIO Le diamètre minimal nous est donné par la condition de résistance pe d où pe pe soit oit 5 ; 1 2 5mm AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 44

11 d 8mm L allongement est donné par la loi de Hooke : E avec l et l D où l l 5 21 = 5 E l 1mm Concentrations de contraintes Quand la poutre présente de brusques variations de section ; filetage, rainure de clavetage, épaulement..., au voisinage du changement de section la répartition des contraintes n est plus uniforme et la contrainte réelle est plus grande que il y a concentration de contrainte. On prend alors : réelle k AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 45

12 Exemple Considérons un arbre épaule qui subit un effort normal d'extension F. Le coefficient K, de concentration de contrainte peut se déterminer en utilisant I'abaque CETIM D d Avec par exemple : D = 1, d = 64, r = 5 et t 18 ; on obtient :k=kt=2,1 2 La contrainte d'extension se calcule facilement : 15,54MPa avec =5 14 et d = 64 La contrainte réelle se trouve au niveau de la variation de section et vaut : réelle k t 32, 64 MPa AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 46

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14 TD Traction Compression Exercice 1 : oulèvement de charges Un système permet de soulever des charges et utilise une barre cylindrique en acier 355 de diamètre 18mm de longueur 8m soumise à un effort de traction de ) Calculer la contrainte de traction sur cette barre en MPa. 2) Calculer le coefficient de sécurité appliqué à la barre. 3) Calculer l'allongement de la barre lorsqu'elle soumise à l'effort de 15.. Exercice 2 : Boulon oit un boulon de diamètre 12mm de longueur 2mm soumis à un effort de 5., l'installation sur laquelle est monté ce boulon doit avoir un coefficient de sécurité de 3. 1) Calculer la contrainte de traction sur ce boulon en MPa. 2) Choisir la matière du boulon parmi les suivantes. 185 : Re = 185MPa 235 : Re = 235MPa E295 : Re = 295MPa 355 : Re = 355MPa E36 : Re = 36MPa C55 : Re = 42MPa AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 48

15 3) En fonction de la matière choisie, calculer le coefficient de sécurité réel appliqué au boulon. 4) Calculer l'allongement du boulon lorsqu'il est soumis à l'effort de 5.. Exercice 3 : Câble Un câble en acier E36 de masse volumique 7,8kg/dm³, de diamètre 6mm supporte un spéléologue de masse 8kg (g = 1/kg) dans un puits de profondeur 8m. 1) Calculer le poids du câble. 2) Calculer la contrainte dans le câble. 3) Calculer le coefficient de sécurité. 4) Calculer l'allongement de ce câble. 5) Calculer l'allongement de ce câble du seul fait de son poids. AWADI, KAROUI,CHOUCHE, BOUZIDI Page 49