PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

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1 PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE Mots clés de la description quantique d un système physique Relations d incertitude : Etats du système «observables» de ce système Evolution temporelle du système Avec quel degré de précision peut-on espérer connaître plusieurs grandeurs physiques simultanément? Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique?

2 PHYSIQUE NEWTONIENNE OU PHYSIQUE ONDULATOIRE? Particule ponctuelle de masse m (non relativiste) { r() t, p() t } Newton Position et impulsion réelles ψ rt, ( ) Schrödinger ψ, dr = dp= ψ rt, dr ψ est continue et ( ) 3 rt description probabiliste : ( ) Les concepts classiques cessent de s appliquer quand : Avec : Action caractéristique constante de Planck h Action = longueur caractéristique x impulsion caractéristique

3 LA PHYSIQUE QUANTIQUE PEUT EGALEMENT ETRE MACROSCOPIQUE Superfluidité de l hélium liquide à basse température (T<,3K). Supraconductivité de certains métaux à basse température. lévitation Caractère quantique marqué si : Effet «fontaine» distance entre voisins < longueur d onde de de Broglie

4 Mesures sur une particule ponctuelle Particule ponctuelle de masse m dans un état ( rt, ) Mesure de position ψ ψ Le résultat n est pas certain : variable aléatoire de densité de probabilité ( rt, ) Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules, toutes préparées dans le même état ψ ( rt, ), on peut tracer un histogramme : Position moyenne 3 3 x = xψ rt, dr= ψ rt, xψ rtdr, ( ) ( ) ( ) = ψ = ψ ψ (, ) (, ) (, ) 3 3 r r rt dr rtr rtdr Mesure d impulsion 3 p = ψ ( r, t) ψ ( r, t) d r i

5 Mesures sur une particule ponctuelle A toute grandeur de la physique newtonienne Ar (, p) Â tel que 3 A ψ ( r, t) Aˆ = ψ ( r, t) d r, on associe un opérateur Action de l opérateur position ˆr sur la fonction d onde : multiplication par r ˆp Action de l opérateur impulsion sur la fonction d onde : i ˆ ˆ ˆ Opérateur moment cinétique L = r p ( ) ˆ Action sur ψ rt, : L, ˆ, ˆ z = i x y Lx = Ly = y x

6 FORMULATION GENERALE DE LA MECANIQUE QUANTIQUE L état d un système est caractérisé par un vecteur ψ () t d un espace de Hilbert. Particule ponctuelle : ( rt, ) ψ ψ ( ) Atome d hydrogène : rélec., rprot., t Fonctions de carré sommable Autres types de degré de liberté : moment magnétique, spin, polarisation Espaces de dimension finie Le vecteur ψ () t est normé : ψ () t = ψ () t = ψ () t ψ () t = 1 généralisation de ( ) 3 rt ψ, dr = 1

7 OBSERVABLES Relation entre le formalisme et les quantités physiquement mesurables A toute grandeur physique A, on associe un opérateur  agissant dans l espace de Hilbert. En dimension finie,  est une matrice carrée Les opérateurs  associés aux grandeurs physiques sont hermitiens ( ) Aˆ = Aˆ ψ ˆ ˆ 1 Aψ = ψ Aψ 1 Observables vecteur ligne vecteur colonne matrice carrée

8 MESURES INDIVIDUELLES Le principe énoncé pour une particule ponctuelle se généralise à tout système physique : La valeur moyenne des résultats d une mesure de A, effectuée sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l état ψ vaut : A ( ) an a i i i = = N( ai ) i généralisation de ψ Aψ ( réel) 3 A ψ ( r, t) Aˆ = ψ ( r, t) d r Mais quels sont les résultats individuels possibles ai et leur probabilité p i?

9 Principe : MESURES INDIVIDUELLES Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs propres a α de Â. La probabilité de trouver la valeur propre a α, de vecteur propre associé ψα est : ( ) Ceci est bien cohérent : P a α = ψ α ψ ( ) ˆ A = a P a = a ψ ψ ψ ψ = ψ A ψ ψ ψ α α α α α α α α α α Aˆ = ψ ψ α ψ α ψ α Si la valeur propre est dégénérée, cette formule se complique un peu : P a Pˆ ( ) α = α ψ où ˆP α est le projecteur sur le sous-espace propre de a α

10 UN EXEMPLE CONCRET : ENERGIE D UN ELECTRON DANS UN PUITS QUANTIQUE Potentiel électrostatique vu par un électron de conduction V(x) x Sandwich de Al Ga As Ga As Al Ga As L observable (particulièrement importante) associée à l énergie est l Hamiltonien. pˆ m Hˆ = + V ( xˆ ) Pour une particule ponctuelle à 1D : avec p ˆ d = idx

11 LE PUITS QUANTIQUE (suite) Une mesure de l énergie de l électron ne peut donner comme résultat qu une des valeurs propres E α de l Hamiltonien : d " V x ψ ( x) + V ( x) ψ ( x) = E ψ ( x) Hˆ = + ( ) mdx m α α α α V(x) E α x Spectre continu d énergie : Etats asymptotiquement libres Partie discrète du spectre : Etats liés

12 UN AUTRE EXEMPLE CONCRET : L OSCILLATEUR HARMONIQUE ˆ 1 ˆ p H = + mω xˆ m spectre discret : 1 E n = n+ ω Etat fondamental (n=0) : fonction d onde gaussienne ψ ( x) x exp avec α = α 0 mω

13 NOTATIONS DE DIRAC : EN RESUME... L'état d'une particule est défini par la donnée de sa fonction d'onde Ψ r bg appartenant à l'espace L des fonctions de carré sommable. On définit, par isomorphisme, l'espace vectoriel des états, E tel qu'à toute fonction Ψ L correspond un vecteur "ket" Ψ E. L'état d'une particule sera donc défini par la donnée d'un ket Ψ. Soit Ψ le vecteur de E*, espace dual de E. On appellera "bra" ce vecteur. On munit l'espace vectoriel E du produit scalaire ΦΨ défini par : L'espace E ainsi construit a donc la structure d'un espace de Banach (encore appelé pré- Hilbertien). Si de plus on munit cet espace d'une base orthonormée complète, E est alors un espace de Banach complet ou espace de Hilbert. Les vecteurs de base vérifient une relation d'orthonormalité et une relation de fermeture (traduisant le caractère complet de la base choisie dans E). Si les vecteurs de base sont repérés par des indices discrets (on parlera alors de "base discrète"), ces deux relations s'écrivent : ui uj = δ ij où δ est le symbole de Kroneker ij Si les vecteurs de base sont repérés par des indices continus (on parlera alors de "base continue"), ces deux relations s'écrivent : b uα uβ = δα β g où δ est une distribution de Dirac i =z * bgbgd 3 ΦΨ Φ r Ψr r ui u i = 1 où 1 est l'opérateur identité z dα u α u α = 1

14 NOTATIONS DE DIRAC : EN RESUME...(suite) On notera respectivement ces deux types de base : mu i retmu α r. CHOIX DE DEUX BASES CONTINUES DANS L'ESPACE L DES FONCTIONS D'ONDES On choisit l'ensemble des fonctions : b g b g ξr'(r) =δ (r-r') et v 3 F i (v p' r = exp H G I 3 π p'.r K J est l'ensemble des ondes planes où bπg est un facteur de normalisation rendant "symétriques" les expressions d'une transformée de Fourier et de son inverse. r' Par isomorphisme, il correspond respectivement dans E, deux bases notées m r et m p' r. Suivant la base utilisée on parlera de représentation mr' r ou de représentation mp' r. On rappelle que δ désigne la distribution de Dirac, c est-à-dire la «fonction généralisée» définie par :δbg x = x δbg z b 0 pour 0 et 0 = + et plus précisément, telle que l on ait : δbxg fbxgdx = fb0g pour tout intervalle ab, contenant 0, et toute fonction f continue sur ab p' 3 i brg = b g F exp H G I π p'.r K J a,.

15 LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE POSTULAT I A un instant t0 fixé, l'état d'un système physique est défini par la donnée d'un ket ψ t 0 appartenant à l'espace des états E. POSTULAT II Toute grandeur physique mesurable A est décrite par un opérateur hermitique A agissant dans E. Cet opérateur est une observable. POSTULAT III La mesure d'une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres de l'observable A correspondante. POSTULAT IV cas d'un spectre discret non dégénéré : Lorsqu'on mesure la grandeur physique A sur un système dans l'état ψ normé, la probabilité d'obtenir comme résultat la valeur propre non-dégénérée an de l'observable A correspondante est b g Pan = un ψ où u n est le vecteur propre normé de A associé à la valeur propre an. b g

16 LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE (suite) cas d'un spectre discret dégénéré : Lorsqu'on mesure la grandeur physique A sur un système dans l'état ψ normé, la probabilité P(an) d'obtenir comme résultat de la mesure la valeur propre an de l'observable A correspondante est : Pa u i b ng = n ψ i i où i = 1,...gn, gn étant le degré de dégénérescence de an et ou n t un système orthonormé de vecteurs formant une base dans le sous-espace propre En associé à la valeur propre an de A. cas d'un spectre continu et non-dégénéré : Lorsqu'on mesure la grandeur physique A sur un système dans l'état normé ψ, la probabilité dp(a) d'obtenir un résultat compris entre a et a + da est : ( ) dp a = v ψ da a où v a est le vecteur propre correspondant à la valeur propre a de l'observable A associée à A.

17 LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE (suite) POSTULAT V Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l'état ψ donne le résultat an, l'état du système immédiatement après la mesure est la projection normée de ψ sur le sous-espace propre associé à an, soit : Pn ψ ψ P ψ 1 / POSTULAT VI L'évolution dans le temps du vecteur d'état ψ t n b g est régie par l'équation de Schrödinger : d b g b g b g i ψ t = H t ψ t dt où H(t) est l'observable associée à l'énergie totale du système. A la position r(x,y,z) de la particule est associée l'observable R(X,Y,Z) ; à l'impulsion p(px,py,pz) de la particule est associée l'observable P(Px,Py,Pz). L'observable A qui décrit une grandeur physique A définie classiquement s'obtient en remplaçant dans l'expression convenablement symétrisée de A, r et p par les observables R et P respectivement.