Observation de l effet Hall et mesure de la constante de Hall de quelques matériaux semi-conducteurs et métalliques.

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1 H6-1 H6. Effet Hall I. BUT DE LA MANIPULATION Observation de l effet Hall et mesure de la constante de Hall de quelques matériaux semi-conducteurs et métalliques. II BASES THÉORIQUES Quand un échantillon conducteur (métal ou semi-conducteur) parcouru par une densité de courant électrique j I S est placé dans un champ magnétique B perpendiculaire au plan de l'échantillon (Fig. 1), il apparaît une différence de potentiel V H j x B z b mesurable entre ses deux bords. Donc, on peut écrire V H R H j x B z b où R H est une constante de proportionnalité. Ce phénomène est appelé l'effet Hall et R H la constante de Hall. z B I y x o b a Fig. 1 Conducteur électrique de section S a b dans un champ d'induction B. Les phénomènes cinétiques qui apparaissent dans les solides sous l'action commune des champs électrique E et magnétique B sont dits galvanomagnétiques. L'effet Hall est l'un de ces phénomènes le plus connu. La loi d'ohm. L'équation vectorielle du mouvement d'une particule libre de charge q et masse m dans un solide, soumise à une force extérieure F e et à une force de frottement f kv, est donnée par V H m d dt v F e m v (1)

2 H6-2 La force de frottement décrit le freinage de la particule due à son interaction (collisions) avec les ions du réseau cristallin du solide et avec les autres porteurs de charges. On suppose ici que si les forces extérieures sont brusquement supprimées, le retour vers l'état d'équilibre se fait de façon exponentielle avec un certain temps de relaxation. dv v 1 dt v v oe t (2) Si les forces extérieures sont constantes, il s'établit un nouvel état stationnaire, donc dv dt 0. Supposons que la force extérieure soit un champ E homogène, alors la nouvelle vitesse stationnaire ou vitesse moyenne de dérive v d du porteur de charge est 0 qe m v d v d q E E (3) m La quantité algébrique µ = q/m représente la vitesse par unité de champ électrique, elle est définie comme la mobilité des porteurs de charges. Si le solide contient N porteurs de charges par unité de volume, sous l'action d'un champ E et en régime permanent, les porteurs de charges se déplacent donc avec une vitesse moyenne de dérive dans la même direction que le champ électrique. Dans ce cas, il apparaît un courant électrique donné par j qnv d q2 N E qne E (4) m où qn est la conductivité électrique. La relation j E est connue sous le nom de la loi d'ohm. Densité de courant j en présence d'un champ électromagnétique Posons E quelconque et B B z ˆ e z dirigé le long de l'axe Oz. En introduisant la fréquence cyclotron (q m)b z et la conductivité électrique qn définie pour B = 0, on peut montrer qu'en régime permanent, la vitesse moyenne de dérive de la particule est égale à v d q m E qb z m (v d ˆ e z ) (5) ainsi que la projection de la densité de courant j qnv d sur les axes xyz donne j x Ex E 1 y j y Ey E 1 x j z E (6) z En présence d'un champ magnétique, la densité de courant j n'est pas, en général, parallèle au champ électrique E. Cependant pour un métal, même pour des champs B assez élevés, l anisotropie correspondante est très faible, de sorte que j E, c'est-à-dire que la loi d'ohm est toujours valable. Les phénomènes liés à l'anisotropie sont surtout importants dans les semi-conducteurs, et ils dépendent de la géométrie du système.

3 H6-3 Effet Hall La relation (6) montre que, sous l'action d'un champ B B z e ˆ z, les porteurs de charges sont déviés vers la surface latérale de l'échantillon. Sur le côté opposé apparaît un défaut de charges de signe opposé. La séparation de charges se poursuit jusqu'à ce qu'il en résulte un champ électrique, appelé champ de Hall, qui s'oppose à cette déviation. A l'équilibre il n'y pas de dérive selon l'axe Oy. Donc, le champ de Hall E H est déterminé par la condition j y = 0 et les équations posées en (6) nous permettent de trouver la relation de Hall E H E y j x 1 qn x B z R H j x B z (7) soit R H 1 qn (8) R H est ainsi apte à fournir expérimentalement la valeur algébrique de la densité des porteurs de charges mobiles dans un conducteur et son signe. De plus, si est connu, alors la mesure de R H permet de déterminer la mobilité des porteurs de charge R H, à condition qu'il n'y ait qu'un seul type de porteurs. Différents types de porteurs de charges. Dans les semi-conducteurs, la conductibilité électrique est souvent assurée par deux types de porteurs de charges de charges q 1 et q 2 et de densités volumiques N1 et N2, respectivement. La conductivité totale, ainsi que le courant peuvent donc s'écrire 1 2 q 1 N 1 1 q 2 N 2 2 (9) j t j 1 j 2 q 1 N 1 v 1 q 2 N 2 v 2 (10) A température ambiante, le temps de relaxation est de l'ordre de s, donc le terme est de l'ordre de 10-3 et les termes en ( ) 2 sont petits devant l'unité. Dans ce cas on montre que l'équation (6) peut s'écrire comme suit: j x E x ( )B z E y j y E y ( )B z E x (11) et que la condition de Hall j y = 0 implique E y E x; j x 1 2 E x E x avec ( )B z, d'où R H q N q N q N q N (12) Exemple: deux porteurs de nature différente; électrons et trous, q p = -q e =q R H Npp Nee q N N p p e e 2 (13)

4 H6-4 Le tableau qui suit rassemble quelques valeur numériques typique de R H mesurées dans certains métaux et semi-conducteurs: Matériau R H Nombre de porteurs de 29 3 charges 10 m Densité atomique m m C Ag Au Bi Cu Fe Zn Si (dopé au As) à temp. ambiante typiquement 6x10 7 à 6x10 4 (*) 10-8 à Dans les métaux, le signe de R H montre que le courant électrique résulte soit du mouvement d électrons ( R H < 0), soit du mouvement de trous ( R H > 0). On appelle trous des charges apparemment positives. Ce dernier cas ne peut être élucidé qu au moyen de la mécanique ondulatoire. (*) Dans les semi-conducteurs, la valeur et le signe de R H dépendent fortement de la densité des dopants ("impuretés"), R H peut même être nul si N p p 2 Ne e 2. III MONTAGE EXPÉRIMENTAL Circuit d alimentation de l électroaimant: Le poste de travail est équipé d un électroaimant alimenté selon le schéma de la Fig. 2. L induction magnétique B qui règne dans l entrefer de l'électroaimant peut être mesurée à l aide d un Teslamètre (étalonnage). Ferromagnétisme (rappel, cf TP hystérèse magnétique). Lors du passage d'un courant I dans une bobine (solénoïde) de longueur L ayant un nombre de spires N, il prend naissance à l'intérieur un champ magnétique homogène d'intensité H = (N. I)/L correspondant au champ d'induction B= H. Si l'on introduit dans la bobine un noyau de fer, on constate une forte augmentation du champ d'induction magnétique. Au champ H de la bobine s'est ajouté un champ supplémentaire H' dû à la magnétisation du barreau de fer. L'induction magnétique totale est alors donnée par B = (H+H'). En supposant une proportionnalité entre H et H' on peut réécrire B = (H+ H) = (1+ )H = H = B avec =(1+ ) où est la perméabilité magnétique relative au vide du matériaux et la susceptibilité magnétique de la substance. Pour les substances ferromagnétiques on constate de valeurs de très élevées (jusqu'à 10 4 ) mais le champ H' n'est plus proportionnel au champ H qui le produit. Pour des grandes valeurs de H, H' atteint une valeur limite (saturation). D'autre part, lorsqu'on diminue l'intensité de H à zéro, il reste un champ H' 0 (rémanence). Il est nécessaire d'appliquer un champ H de sens contraire (champ coercitif) pour faire disparaître la rémanence (phénomène d'hystérésis). Mesure de la tension de Hall La tension de Hall V H E H b (b = largeur de la plaquette) devrait en toute rigueur se mesurer par une méthode d opposition. Toutefois, pour des raisons de commodité, nous utiliserons un microvoltmètre de très grande résistance, ce qui conduit à des résultats tout à fait satisfaisants (erreurs supplémentaires commises inférieures à 0.1%). Le schéma de la Fig. 3 montre la disposition des appareils utilisés.

5 H6-5 Echantillon Bobine Source 10 A IB A Fig. 2 Dispositif expérimental - + a) V I A > V Hall Fig. 3 Schémas des montages électriques: a) échantillons semi-conducteurs à 4 contacts, b) plaquettes à 5 contacts

6 H6-6 Fig. 4 : Image du montage expérimental IV TRAVAIL SUGGERE Echantillon à 4 contacts (semi-conducteurs). Pour ces mesures, on emploie des échantillons de InP fortement dopés. Les échantillons sont préparés en couche mince (1-2 microns) et présentent une géométrie en forme de croix idéale pour ce type des mesures (Fig. 3b). En effet, vu la configuration symétrique de l'échantillon, à champ B + fixe, on peut effectuer 4 mesures différentes de V H obtenues par simple permutation cyclique sur les contacts Si on inverse le champ B (champ B - ), on obtient 4 mesures en plus. Une image du montage est donnée à la figure 4. 1) Mesures de Hall sur InP dopé au Si (type n). Réaliser le montage de la Fig. 3a, par ex. avec I entre 1 et 3 et la tension de Hall entre 2 et 4 (configuration I 13 V 24 ), et fixer le courant à 1 ma. Pour B = 0, mesurer les tensions résiduelles V ij pour les 4 configurations possibles. Déterminer l origine de la tension résiduelle. Pour une configuration fixe, mesurez la tension V H en fonction du champ B +. Inversez le champ et faite les mesures de V H en fonction du champ B -. 2) Fixer maintenant un champ magnétique fixe (environ 400 mt, ceci correspond à environ 4 A dans les bobines) et mesurer V H en fonction du courant I dans l échantillon. Faites varier le courant entre -1 et 1 ma. 3) Calculer R H et la densité de porteurs de charge N pour chacun des cas. 4) Comment se comporte la tension de Hall vis-à-vis de l épaisseur de l échantillon a?

7 H6-7 Echantillon Epaisseur a Courant de travail Courant maximal InP:Si 1 µm 1 ma 1 ma InP:Si 2 µm 1 ma 1 ma Ag 1.9 µm 2 A 3 A Cu 1.6 µm 2 A 3 A Bi 3 mm 2 A 3 A W 0.6 µm 200 ma 300 ma In 2O 3:SnO µm 100 ma 150 ma Bi 0.55 µm 30 ma 40 ma Tab1 : Epaisseurs et courants admis pour chacun des échantillons Echantillons à 5 contacts (métalliques) Les échantillons montés dans une configuration à 5 contacts permettent de s affranchir de la tension résiduelle qui est mesurée à B nul quand un courant parcourt l échantillon. Pour cela on règle le potentiomètre qui est branché en parallèle avec la plaquette (cf Fig. 3b) ). Cela permet entre-autres de mesurer avec la même installation des échantillons délivrant une tension de Hall plus ou moins importante. Vous disposez actuellement de six échantillons avec cette configuration. La marche à suivre des mesures est la suivante : 1) Choisir un échantillon. Effectuer le montage de la Fig. 3b). Etablir le courant de travail dans l échantillon (cf Tab 1). En l absence d induction B, régler le potentiomètre pour se débarrasser de la tension résiduelle. Déterminer comment ce système fonctionne et l origine de cette tension. (Tous échantillons sauf celui de W) Fixer le courant de travail dans l échantillon et mesurer V H en fonction du champ d induction B. Faites varier B de B - à B +. Fixer le champ d induction B et mesurez V H en fonction du courant I dans l échantillon. Vous pouvez augmenter le courant jusqu à la valeur maximale admise dans le Tab. 1. ATTENTION : Ne pas laisser l échantillon avec le courant maximal plus que le temps de prendre la mesure, càd quelques secondes! 2) Choisir un nouvel échantillon et répéter 1). Mesurer le plus grand nombre d échantilons. 3) Calculer R H et N pour chacune des mesures effectuées, à partir de régressions linéaires. 4) Conclure sur la spécificité de chacun des matériaux. Quelques remarques concernant la bonne exécution des mesures Dans ce TP, il nous faut repérer des grandeurs vectorielles avec des instruments de mesure qui ne peuvent mesurer que la norme de ladite grandeur. Il convient pour cela d établir un repère cartésien au début de l expérience (cf Fig. 1) et de s y conformer tout au long de l expérience. Par exemple, on appellera B > 0 la norme du vecteur de champ B orienté suivant z et -B < 0 celle du vecteur de même norme mais orienté à l opposé de z. Définir les mêmes quantités pour le vecteur densité de courant, ainsi que le vecteur du champ électrique de Hall. Ne pas dépasser le courant maximal admis pour un échantillon, au risque de le brûler! Par ailleurs, ne pas laisser de courant circulant dans les bobines, ni dans l échantillon si vous n êtes pas en période de mesure!

8 H6-8 Étalonnage du champ d'induction B (bonus). A l'aide de la sonde Hall (Teslamètre), effectuer une série de mesures de B=f(I B ) pour 0 I B 6 A. Relevez la courbe suivant le chemin suivant : I B Max -> 0 -> -I B Max -> 0 -> I B Max. Observer les effets de saturation et rémanence (hystérèse). En déduire le domaine "utile" de B. La courbe de calibration B = f(i B) obtenue, que pouvez-vous conclure concernant l incertitude sur B à un courant I B donné? Utilisation du Teslamètre. Le teslamètre se trouve dans la boîte noire située à côté de l installation. Il doit être mis à zéro avant de commencer les mesures. Pour ce faire, il faut isoler la sonde de tout champ magnétique. Placer l extrémité de la sonde dans le cylindre métallique prévu à cet effet. Puis, mettre le commutateur sur Zero, et maintenir le bouton Hold Reset appuyé, jusqu à ce que l affichage indique 0. Remettre ensuite le commutateur sur Measure. Lors de la mesure d un champ magnétique, s assurer que la sonde est perpendiculaire au champ. Attention, le teslamètre est un appareil de mesure fragile. Bibliographie: Cours d'électricité et Magnétisme.