Mécanique des fluides TD6 TSI

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1 Mécanique des fluides TD6 TSI Exercice 1 : Donne-moi ton flux et ta circulation et je te dirai qui tu es! Un expérimentateur a à disposition : Un débitmètre Un «circulomètre» Il indique le volume de fluide le traversant (sa géométrie étant une surface inscrite dans un carré) Il est constitué de 4 petits capillaires,,, et. Si de l eau traverse un capillaire, c est que l écoulement présente une direction commune avec celle du capillaire. Décrire précisément le champ des vitesses (direction(s) et invariance(s)) Les différentes observations conduisent successivement aux résultats suivants : (,,) (,,) = (,,) = (,,) = (,,) (,,) = (,) = () = Le champ est donc uniforme et unidirectionnel. Exercice 2 : Calcul de débits L écoulement stationnaire sera décrit en repérage cartésien et s effectue «en sens unique» : On observe un écoulement axial de symétrie cylindrique dans une conduite cylindrique de rayon. Calculer le débit volumique et la vitesse moyenne de l écoulement (appelée aussi vitesse débitante) si : - = exp ( ) avec vitesse en = (on prendra exp( 8) 1) - = (1 ) avec vitesse en = Avec le profil gaussien, on a : = exp ( 8 ) =2 exp ( 8 ) L expérimentateur effectue les observations suivantes : Conditions de la mesure parallèle à () à la côte parallèle à () à la côte parallèle à () à la côte parallèle à () à la côte + Circulomètre dans un plan parallèle à () à la côte Circulomètre dans un plan parallèle à () à la côte Circulomètre dans un plan parallèle à () à la côte Observations Débit nul Débit nul Débit non nul de valeur Débit non nul de valeur Aucun capillaire traversé par un écoulement Deux capillaires sont traversés par de l eau mais la circulation totale est nulle Deux capillaires sont traversés par de l eau mais la circulation totale est nulle =2 R exp ( 8 = πr 16 ) (1 exp( 8)) 8 = soit une vitesse moyenne donnée par Avec le profil Poiseuille, on a : = (1 ) =2 = r Soit une vitesse moyenne donnée par Exercice 3 : Problème de physique concernant l écoulement incompressible d air dans une conduite On considère un écoulement stationnaire, homogène (donc incompressible et de masse volumique donnée) d air dans une conduite cylindrique de 5 cm de diamètre, à une pression de 1,5 bar et une vitesse moyenne de 2 m.s -1. Cet air, à la température de 3K, peut être considéré comme parfait. Combien d installation comme celle-ci permettent de respecter les normes en vigueur dans une cantine

2 Mécanique des fluides TD6 TSI scolaire servant 4 repas. Calculer le débit massique de l installation complète. Soit le nombre d installations, on a un débit volumique donné alors par : = et une consigne imposant =4 on trouve =6 L hypothèse incompressible permet de relier facilement le débit massique et volumique par : =. La masse volumique nous ait donnée par la loi des gaz parfait : = on peut alors trouver le débit massique de 4kg/s Exercice 4 : Vitesse d un liquide dans une conduite de section variable Dans une conduite de 2cm de diamètre circule, de manière stationnaire, du pétrole avec un débit de 1L.s -1. Le fluide passe ensuite dans une conduite de diamètre 1cm. Calculer les vitesses moyennes dans les deux conduites. L hypothèse incompressible (et homogène) est implicite pour ce fluide et sachant que l écoulement est stationnaire, on a donc conservation du débit volumique : = = Donc = =, (,) 3. et = =, (,) 12 : diviser par deux la section revient à multiplier par 4 la vitesse de l écoulement Exercice 5 : Equation de conservation de la masse à 1D et 3D On considère un écoulement unidirectionnel et unidimensionnel donné par = (,) en repérage cartésien. 1) Obtenir l équation de conservation de la masse à une dimension en effectuant une analyse locale sur un élément de volume. 2) Généraliser l expression précédente en se plaçant à 3 dimensions. = = (,) (+,) = (+), (,) Soit : = = Et donc : = Dans le cas d un problème à trois dimensions = + + = = Exercice 6 : Divergence et rotationnel d un champ de vecteur 1) En travaillant dans en repérage cartésien, exprimer, pour les vecteurs unitaires,,, d une part et,, d autre part? 2) On se place en repérage cylindrique, exprimer,,, En reprenant le travail qualificatif vu en cours, on peut prévoir, sans calcul, que la divergence des vecteurs unitaires, et est nulle. De même, la circulation de ces mêmes vecteurs est nulle. On peut, sans utiliser les définitions de l opérateur divergent et rotationnel dans la base cylindrique) trouver : - en calculant le flux à travers une surface fermée telle que : ( +(+))= = soit = - = - = - = soit = Exercice 7 : Ecoulement puits et source On appelle source, un tuyau filiforme (de section négligeable), rectiligne (confondu avec l axe des coordonnées cylindriques), supposé infini, poreux et alimenté en eau. Ce tuyau est alors responsable d un

3 Mécanique des fluides TD6 TSI écoulement radial de la forme (,,,) en repérage cylindrique. 1) On suppose l écoulement stationnaire, à symétrie cylindrique et incompressible (de masse volumique uniforme). Montrer alors ()= où est une constante. Détaillons les conséquences de chaque hypothèse : - Champ radial := (,,,) - Stationnaire : (,,) - La symétrie cylindrique entraîne alors que () - Incompressible et de masse volumique : d après l équation de conservation la vitesse est à flux conservatif et = donc = soit =. On peut retrouver ce résultat en faisant un bilan local de flux =(+)(+) ()= = 2) On note, le débit volumique linéique (c està-dire pour un mètre de tuyau) sortant du tuyau. Exprimer le champ des vitesses en fonction, entre autre, de, Pour mesurer facilement ce débit, dont l intensité est indépendante du choix de la surface ouverte, prenons un cylindre d axe Oz, de rayon et longueur unitaire: On donne les opérateurs suivants en coordonnées cylindriques pour un champ de vecteur et une fonction : 1 = 1 ()= 1 1 ()= Exercice 8 : Rotation d un solide Soit une hélice en rotation par le passage d un écoulement d air., = ()=2 On a donc bien un flux qui se conserve si l on considère un tube de champ. Donc =, 3) Vérifier que l écoulement est irrotationnel On peut analyser les lignes de champ : la circulation sur un contour élémentaire fermé est nulle, donc =. Ou utiliser le formulaire et aussi vérifier que = 4) A un écoulement irrotationnel (on parle aussi d écoulement potentiel) on peut associer une fonction scalaire, appelée potentiel des vitesses, donnée par =. Calculer à une constante près que l on prendra nulle. 5) Représenter des lignes de courant et des équipotentielles d une source 6) Le tuyau est maintenant une pompe d aspiration (on parle de puits). Reprendre la question précédente pour un puits. Le potentiel est donc donné par = donc =, On étudie le mouvement circulaire de rayon d un point de l hélice tournant à la vitesse angulaire () 1) A l aide du cours de cinématique de 1 e année, donner l expression de la vitesse () / du point dans le référentiel terrestre. 2) Montrer que le résultat précédent vérifie la relation () / =() où () est le vecteur instantanée de rotation donné par ()=(). 3) Montrer que () / =2() 4) Que dire d un écoulement orthoradial et à symétrie cylindrique tel que = En cylindrique, on obtient rapidement :

4 Mécanique des fluides TD6 TSI = =() = () On peut utiliser le formulaire : ()= 1 =2() Ou, utiliser un contour élémentaire fermé : =(+) (+) = Soit : ()=2() =2=2=. Si un écoulement possède ce type de rotationnel, il est donc tourbillonnaire et les particules de fluides ont tendances à tourner sur elle-même sous l action des forces de viscosité (en plus de leur mouvement de rotation). Son vecteur tourbillon est donc Ω= Exercice 9 : Description d une tornade L écoulement d une tornade peut être décrit par deux modèles simplifiés d un champ des vitesses stationnaire, orthoradial et à symétrie cylindrique : A) 1 e modèle : l écoulement est irrotationnel en tout point (sauf en O) 1) Trouver le champ des vitesses à un facteur près. 2) Pour le premier modèle, on peut, en dehors de O, considérer l écoulement comme irrotationnel et donc lui associer une fonction potentiel scalaire telle que =. Calculer à une constante près (prise nulle). Représenter les lignes de courant et quelques équipotentielles pour ce 1 e modèle. Avec les hypothèses : = () ()= soit et B) 2 e modèle : = si > et = si <. Avec et constantes Déterminer le vecteur tourbillon en fonction de. Pour lever ce problème définition, on utilise le 2 e modèle, plus réaliste : - Si < : ()=2 donc le vecteur tourbillon est - Si > : ()= et le vecteur tourbillon est nul Exercice 1 : Problème de physique Etablir que, si les lignes de champ des vitesses d un écoulement stationnaire et homogène (incompressible) et irrotationnel sont des droites parallèles dans une région vide de courant, alors est uniforme. Si =(,,) alors avec = =(,) et = = = ce qui impose = Exercice 11 : Modélisation d un écoulement autour d un obstacle* Un cylindre immobile de rayon de base et d axe est placé dans un fluide dont l écoulement loin de cet obstacle se fait à vitesse uniforme. Pour étudier l effet du cylindre sur l écoulement supposé incompressible (de masse volumique ρ) et stationnaire, on utilise une méthode de superposition. On peut retrouver ce résultat avec un bilan de circulation sur un contour élémentaire : =(+) = = Le potentiel des vitesses du 1 e écoulement est donné par :=

5 Mécanique des fluides TD6 TSI L écoulement est considéré comme l association d une source en (,,) (permettant de «repousser» l écoulement) et d un puits en (+,,) (permettant de contourner l obstacle), de même débit volumique par unité de longueur. On note = et =. 1) Donner l expression du potentiel (, ) associé à ce dipôle source-puits. 2) On envisage la limite du doublet précédente lorsque et de telle sorte que le produit 2 demeure égal à une valeur finie notée. Exprimer alors (,) en un point en repérage cylindrique dans ce cadre. 3) Donner le potentiel (,) associé à l écoulement de vitesse 4) En déduire le potentiel total ( = + ) et le champ des vitesses associé. 5) Monter qu un débit volumique nécessairement nul en = conditionne l expression de 6) Décrire et esquisser les lignes de champ de cet écoulement. 7) Le cylindre tourne autour maintenant de son axe. On observe les lignes de champ cidessous. Localiser les zones «à plus grande vitesse» et «moins grande vitesse» d écoulement. Justifier En utilisant les résultats du TD : = 2 = = =1 = = L écoulement à l infini est : = et donc : Donc le potentiel total est : = = 2 + On en déduit le champ des vitesses : = Et si l on souhait avoir un débit nul sur l obstacle imperméable alors la vitesse radiale est nulle = 2. Et donc : 1 = 1+ 8) Comment faudrait-il modifier le potentiel précédent pour tenir compte de la rotation du cylindre à la vitesse angulaire autour de son axe? Loin de l obstacle, on retrouve. Sur l obstacle, seule la vitesse est orthoradiale existe et l on note deux points d arrêt (en = et =π). Sur l obstacle la situation est symétrique ainsi :

6 Mécanique des fluides TD6 TSI L effet de la rotation conduit, avec la viscosité, à faire tourner le fluide autour de l obstacle. Le champ des vitesses augmente sous le cylindre car les lignes de champ se resserrent Si on modélise cet effet par un vortex alors : = + + On en déduit le champ des vitesses : 1 = 1+ + Avec = car la vitesse du fluide aux anciens points d arrêt doit s identifier à la vitesse du cylindre. Au prochain chapitre, nous verrons que cette dissymétrie du champ des vitesses s accompagne d une dissymétrie du champ des pressions. () Une force pressante s exerce sur le cylindre : c est l effet Magnus. C est cet effet qui explique la déviation des ballons lors des coups francs.