Mathématiques, calcul numérique et lycée

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Antonin Girard
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1 Mathématiques, calcul numérique et lycée 2 décembre 2009 Claude Gomez Directeur du consortium Scilab

2 Plan Le calcul numérique Le logiciel Scilab Scilab au lycée

3 Le calcul numérique

4 Résolution d équations Trouver x solution de f( x ) = 0 Recherche de zéros de polynômes avec Maple

7 Mais dès le degré 5, pas de solution analytique générale

8 Résolution d équations différentielles Trouver yx ( ) solution de y'( x) = f( x, y( x)) Résolution avec Maple

9 Là encore pas de solution analytique, même pour de simples équations différentielles. La solution est donnée en fonction de fonctions spéciales elles-mêmes solutions d équations différentielles!

10 Mécanique : le problème des 2 corps Gravitation universelle 6 équations : Le problème des 3 corps :?

11 Résolution de systèmes linéaires Trouver x solution de Ax = b Calcul avec Maple

12 Solution exacte d un système linéaire

13 Mais pour une matrice 100 X 100, les nombres exacts deviennent trop grands et le temps de calcul trop long

14 Le calcul symbolique ne suffit pas Solution Utiliser des algorithmes «approchés» Utiliser des valeurs «approchées» Qu est-ce qu une valeur «approchée»?

15 Faire des calculs rapides Utiliser des «mots machine» Comment représenter les nombres dans ces «mots machine»?

20 La norme IEEE-754 Double précision = 2 X 32 bits s = signe e = exposant m = mantisse Nombre = s e 1023 ( 1) 2 1.m Nombre min = Nombre max = 2, , , Précision = soit 16 chiffres max

21 Définition d un arrondi correct pour +,,,,

22 Exemple du calcul de sin( π ) Valeur approchée de π : Valeur approchée de sin( π ) : soit : , Vérification avec Maple

<= valeur de π selon IEEE-754 16 <= égal à π à 10

23 <= valeur de π selon IEEE <= égal à π à 10 près Bonne valeur de sin( valeur approchée de π )

24 Avantages Toutes les machines ont le même comportement numérique pour l arithmétique Inconvénients Les fonctions élémentaires ne sont spécifiées que depuis 2008 Restent les problèmes de précision Exemples en Scilab

25 -->sin(%pi) ans = D-16 -->sin(%pi*10^10) ans = >sin(%pi*10^15) ans = <= équivaut ici à 0 en valeur relative <= ces puissances de πne sont pas assez précises

26 -->%eps %eps = D-16 -->format(20) -->1+%eps ans = >1+%eps/2 ans = 1. -->(1+%eps/2+%eps/2)- (1+%eps) ans = <= précision relative minimale <= on affiche 20 chiffres <= %eps/2 vaut 0 par rapport à 1 <= ((1+%eps/2)+%eps/2) vaut 1

27 Le numérique en précision arbitraire Exemple : calcul de e π Scilab -->exp(%pi*sqrt(163)) ans = Ce résultat est faux car le calcul de n est pas fait avec assez de précision e π

28 Maple If faut faire un calcul avec 40 chiffres pour arriver à un bon résultat

29 Le calcul numérique en précision arbitraire est donc incontournable dans certains domaines : Résolution de systèmes d équations polynomiales : robotique Arithmétique d intervalles, calcul certifié

30 Le logiciel Scilab

31 Comment faire du calcul numérique? Les logiciels de calcul formel La calculatrice Le tableur Mieux : les logiciels de calcul numérique!

32 Les logiciels de calcul numérique Matlab Scilab : commercial et cher : libre et gratuit Avantages Programmation facile Algorithmes performants Larges domaines d application Tracé de graphiques faciles Ce sont ces logiciels qui sont utilisés par les ingénieurs, les universitaires, les chercheurs

33 Caractéristiques importantes Pas de variables formelles Les objets de base sont les vecteurs et les matrices Tous les calculs sont numériques : ils suivent la norme IEEE-754

Le logiciel Scilab : qu est-ce que c est?

$Calcul matriciel, matrices creuses Polynômes et fractions$ Commande classique et robuste, optimisation LMI Optimisation

Traitement du signal Statistiques Graphes et réseaux Xcos :

34 Le logiciel Scilab : qu est-ce que c est? Librairies de calcul : plus de 1700 fonctions Fonctions mathématiques Calcul matriciel, matrices creuses Polynômes et fractions rationnelles Simulation : systèmes d équations différentielles Commande classique et robuste, optimisation LMI Optimisation différentiable et non différentiable Interpolation, approximation Traitement du signal Statistiques Graphes et réseaux Xcos : simulateur bloc diagramme pour les systèmes dynamiques Utilisateur Graphique 2D/3D Animation Langage Interpréteur Éditeur Aide en ligne

35 Dernière version : Scilab 5.2 (mi décembre 2009) Nouveautés : Éditeur intégré Gestion des modules : ATOMS Version MacOSX finale Module Xcos

36 Le consortium Scilab Hébergé dans la fondation Un soutien fort de l Un consortium de partenaires Des projets collaboratifs et industriels Une structure adaptée Une équipe de R&D pérenne en fort développement + Une offre de services en Nombre de personnes de l équipe R&D

37 Le consortium Scilab aujourd hui Académiques Organismes publics Industriels

38 Le soutien de la communauté Contributeurs Développeurs Testeurs

39 Scilab au lycée

40 Scilab utilisé en classes de BCPST Scilab utilisé dans les classes de STS CIRA Utilisation de Scilab dans le secondaire en mathématiques Algorithmique en seconde Enseignement de détermination «Informatique et objets numériques» en seconde dans l académie de Versailles Utilisation individuelle Formations Scilab depuis 2008 dans l acadl académie de Versailles

41 Pourquoi utiliser Scilab au lycée? Logiciel gratuit : peut être installé partout Par les enseignants et les élèves au lycée Par les enseignants et les élèves à la maison Logiciel puissant : Super calculateur graphique simple et rapide Programmation facile Logiciel utilisé dans la vie professionnelle À l université et les écoles d ingénieur, dans la recherche, dans les entreprises

42 Mais aussi pour l algorithmique Les trois structures de base : Boucle Test Fonction Avec un langage simple à utiliser

43 Boucle u(1) = 1 un ( + 1) = 2 un ( ) + 2n u(1)=1; for i=1:10 u(n+1)=2*u(n)+2*n; end

44 Test u n+ 1 La suite de Syracuse : un si un est pair = 2 3un + 1 sinon u(1)=n; n=1; while u(n)<>1 if pair(u(n)) then u(n+1)=u(n)/2 else u(n+1)=3*u(n)+1 end n=n+1; end

45 Fonction f : f( x) = cos( x) + x 2 function y=f(x); y=cos(x)+x^2; endfunction f : f( x, y) = cos( x)cos( y) function z=f(x,y); z=cos(x)*cos(y); endfunction Introduction de la notion de variables

46 Pour cela : le module Scilab pour les lycées Des activités à montrer aux élèves Ajustement affine interactif : Trouver la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés pour une série statistique et calcul de la somme des carrés des distances Encadrement d une intégrale : Valeur approchée par la somme des aires des rectangles

47 La courbe de régression correspondante : Le curseur qui donne la pente et l erreur correspondante

48 56 fonctions adaptées Analyse Arithmétique Graphique Probabilités et statistiques Ensembles Utilitaires

49 Analyse : ln Arithmétique : pair, impair quotient, reste pgcd, ppcm premier, liste_premiers, numero_premiers, factorise, diviseurs change_base Graphique : orthornorme, quadrillage, graduations cliquer

50 -->l=liste_premiers( ); -->pgcd( , ) ans = 541. Exemples d arithmétique -->factorise( ) ans = >diviseurs(12456) ans = column 1 to column 15 to

51 Probabilités et statistiques : factorielle, arrangement, combinaison tirage_entier, tirage_reel, frequence, frequence_tirage_entier, moyenne, moyenne_ponderee, ecart_type, ecart_type_pondere, mediane, mediane_ponderee, quartiles, quartiles_ponderes, deciles, deciles_ponderes loi_exp, loi_normale regression_y_en_x histogramme

52 -->f=frequence_tirage_entier( ,1,6) f = Exemple de statistiques -->a=[0,10,15,20,40] a = >n=[8,6,13,10] n = >histogramme(a,n,"r")

53 Ensembles : ensemble, ajouter, enlever inclus, appartient difference, intersection, union tirage_ensemble valeur Utilitaires : lycee taille, trier, afficher

54 -->s=ensemble("b","a","c","a","d","e","g") s = <= Un ensemble : pas d élément répété, ordre {a,b,c,d,e,g} alphabétique Un ensemble de billets, 2 de 20, 1 de 50, 2 de 100, 1 de 200 : -->p=ensemble("a(20)","b(20)","a(50)","a(100)","b(100)","a(200)") p = {a(100),a(20),a(200),a(50),b(100),b(20)} -->t=tirage_ensemble(2,p) t = <= on tire au hasard 2 billets {a(200),a(50)} -->v=valeur(t) v = >sum(v) ans = 250. <= valeur des billets <= calcul de leur somme

55 Le livret Scilab pour les lycées Une prise en main de Scilab Des exemples d utilisation en mathématiques dans le secondaire Une page Web dédiée : Une mailing list : lycee@lists.scilab.org

56 Conclusion

57 Même si les calculs sont approchés

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