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1 Toute l'actualité CASIO pour les maths Septembre N 10 Édito nos graphiques font leur rentrée! NOUVEAUTÉ 2010 Chers professeurs, Nous sommes heureux de vous rrouver pour cte nouvelle édition de CASIO Forum qui affiche une rentrée riche en actualité! Au fil des pages, vous remarquerez des sujs scientifiques inédits réalisés à l aide de nos graphiques que vous pourrez adapter à votre guise pour vos cours à venir. Aussi, vous vous familiariserez avec l homme le plus fort du monde, un thème conjuguant modélisation algorithme conçu avec les Graph 75 Graph 95 SD en page 2. En mai dernier, nous avions le plaisir de vous annoncer la sortie d une nouvelle calculatrice au sein de notre gamme graphique : la Graph 25+ Pro. Ce modèle, entièrement revu corrigé, répond parfaitement aux exigences des classes de Bac Pro en 3 ans. Nous vous invitons à le découvrir ou redécouvrir en page 4. Nous vous proposons ensuite quelques exercices sur les développements limités imaginés avec le ClassPad 330 en page 6. Afin de démarrer cte année comme elle se doit, nous vous rappelons que CASIO Éducation offre une multitude de solutions éducatives entièrement dédiées à l ensemble du corps professoral de l Éducation Nationale. Alors n hésitez pas à en profiter ou faire profiter vos collègues en vous rendant directement sur notre site intern Parce que nos calculatrices changent au gré de vos besoins des programmes scolaires, vous trouverez joint à c exemplaire unique, notre nouveau catalogue éducatif 2010/2011, vous présentant nos outils scolaires ainsi que nos offres spécifiques pour les enseignants. Pour clôturer ce numéro spécial, nous vous avons réservé la version d essai du logiciel Fx-Manager Plus afin de vous initier ou bien vous perfectionner aux Graph 35+ USB, Graph 75 Graph 95 SD. Nous vous souhaitons une bonne lecture une excellente rentrée 2010! Mathématiquement vôtre, CASIO Éducation

2 EXERCICE POUR GRAPH 75/95 SD L homme le plus fort du monde par l équipe CASIO Éducation Énoncé Il parait que l on ne peut pas plier(*) une feuille de papier A4 plus de 7 fois!?! Est-ce vraiment raisonnable de le croire? Comment vérifier c adage en étant le plus objectif possible? Est-ce que aplatir veut dire plier? Quelle règle allons-nous modéliser? (*) Plier en deux parties superposées, il va de soi! Proposition de corrigé avec la Graph 75 Un premier pas vers de la modélisation Un premier travail en classe perm de se rendre compte qu il y a trois paramètres essentiels à un pliage de papier : La longueur La largeur L épaisseur Après un travail autour d une vraie feuille de papier, il en ressort l assertion suivante : On divisera la longueur en deux avec la formule : =CellMax(A1:B1)/2 Et, on gardera la largeur : =CellMin(A1:B1) «On ne peut plier une feuille que si sa largeur est plus grande que l épaisseur suivante». Le cas de la feuille A4 le tableur Quid de la feuille A4? Un calcul direct est possible p4(s-sht) L épaisseur sera à chaque pli doublée On peut traduire l idée d arrêter de compter les plis en utilisant la formule suivante : =CellIf(CellMin(A2:B2)>C2,D1+1,D1) Mais, il est plus intéressant de se lancer dans l utilisation du tableur qui nous permtra d extrapoler vers d autres types de papier d autres épaisseurs On va créer 4 colonnes, où la colonne C représentera l épaisseur la D le nombre de plis réalisables. Il suffit de copier/coller la ligne autant de fois que nécessaire Complétons la première ligne avec les caractéristiques d une feuille A4. Pour l épaisseur, il suffit de mesurer la hauteur d une ramte de papier (environ 5 cm pour 500 feuilles). On rrouve que pour une feuille A4 classique, 7 plis semblent être le maximum logique 2

3 Un second essai pour la feuille A4 sous forme d algorithme pab (PRGM) Pour une feuille A3, on trouve 8 pliages possibles à condition de garder la même épaisseur que pour la feuille A4 précédente Il est possible de créer un algorithme permtant de gérer cte situation. Pour aller plus loin? Une autre modélisation Idée de programme : pliage Demande la longueur Demande la largeur Demande l épaisseur Nombre de plis = 0 Tant que largeur > Epaisseur*2 Nombre de plis +1 Longueur/2 Epaisseur*2 Si largeur>longueur : inverse-les Affiche Largeur Longueur Epaisseur Nombre de plis La programmation de ces algorithmes (sous forme de tableau ou de programme) est rendue possible par le choix de la condition justifiant l arrêt du pliage (ici, la largeur supérieure à l épaisseur suivante). Mais, est-ce une condition justifiable? Peut-on s en contenter? N est-il pas essentiel lorsque l épaisseur devient non négligeable de rajouter la courbure produite par le pliage? Largeur longueur en fonction des dimensions de départ On peut se poser la question de donner la longueur la largeur en fonction du nombre de plis. Pour ne pas surcharger l expression, on montre facilement qu'il suffit d'étudier le cas où la longueur est inférieure ou égale au double de la largeur. On rrouve 7 plis pour une feuille A4 Que se passe-t-il pour une feuille A3? Que se passe-t-il pour une feuille A3? Une couverture de survie? Une feuille de papier cartonnée? Une feuille d annuaire? Ainsi, on a : n : nombre de plis réalisés, n>0 L 0 : longueur initiale de la feuille l 0 : largeur initiale de la feuille E 0 : épaisseur initiale Un travail avec les élèves autour de l alternance du pli en deux est à envisager Ainsi, on aura : [1-(-1) Longueur[n] = ] L 0 [1+(-1) + ] L (n+1)/2 2 2 n/2, n>0 [1+(-1) Largeur[n] = ] l 0 [1-(-1) + ] l n/2 2 2 (n-1)/2, n>0 Epaisseur[n] = 2 n E 0 3

4 NOUVELLE GRAPH 25+ PRO La professionnelle Avec un look résolument contemporain, la nouvelle Graph 25+ Pro allie élégance facilité d'usage. Ses nouvelles fonctionnalités sont conformes aux programmes du Bac Pro en 3 ans. CARACTÉRISTIQUES q Écran 8 lignes x 21 caractères q Mémoire utilisateur de 20 Ko q Menu à icônes q Langage de programmation type Basic (compatible avec les anciens modèles) q Connexion possible à une autre graphique ou à un PC q Plus de 700 fonctions q Alimentation : 4 piles AAA q Dimensions : 21,3 x 87,5 x 180,5 mm q Poids : 205 g q Protection : couvercle coulissant SCIENTIFIQUES q PGCD PPCM q Intégration q Résolution de systèmes d'équations linéaires q Fonctions trigonométriques q Fonctions : racine carrée, cubique, puissance de 10, logarithmes népérien décimal, exponentielles q Calcul de nombres dérivés q Calcul de fractions q Calcul sexagésimal q Opérations sur listes (6 fichiers de 26 listes, taille maxi 999) q Tableaux de valeurs q Conversion deg/rad/grad q Nombres complexes q Conversions d'unités PROBABILITÉS/ STATISTIQUES q Statistiques à 1 2 variables q Écart-type, somme, moyenne q Courbes de régression q Combinaisons, permutations q Générations de nombres aléatoires GRAPHIQUES q Mémoires 20 graphes q Graphes cartésiens, paramétrés polaires q Tracé simultané de courbes q Solveur graphique q Histogrammes diagrammes statistiques q Résolutions d'inéquations q Fonctions zoom tracé 4

5 LA FÊTE DE LA SCIENCE Pour la deuxième année consécutive, CASIO Éducation est le partenaire officiel de la Chasse au Trésor Mathématique dont la troisième édition se déroulera lors de la Fête de la Science du 18 au 24 octobre Organisée par le CIJM, cte chasse portera cte année sur le thème de l'évolution du vivant. La première énigme, «Le Voyage de Darwin», est d'ores déjà disponible sur le site intern du CIJM. La participation est gratuite ouverte à tous. Renseignements sur le site du Comité International des Jeux Mathématiques rubrique «Chasse au trésor mathématique». SUPPORTS DIDACTIQUES Nos professeurs de mathématiques réalisent régulièrement des manuels didactiques ainsi que des vidéos afin de vous initier ou bien vous perfectionner dans la prise en main de votre outil CASIO. Grâce à ces nombreux supports, vous bénéficiez d'un apprentissage permanent, simple ludique sur l'ensemble de nos modèles scientifiques graphiques. Alors n'attendez plus! Disposez dès à présent GRATUITEMENT du support qu'il vous faut! Pour obtenir ces ouvrages, deux solutions s'offrent à vous : en téléchargement via notre site intern rubrique «Supports de cours» ou «Vidéothèque», en nous écrivant à : pour les recevoir* directement chez vous. Découverte apprentissage du + de 7 heures de vidéos éducatives! ClassPad 330 Vidéos réalisées à partir de la version 3.03 par Jean-Michel Ferrard 2 e édition Découverte apprentissage e des Graph 75 Graph 95 SD 8 heures de vidéos éducatives! s réa Mich Découverte apprentissage de la Graph 35+USB + de 3 heures de vidéos éducatives! * Dans la limite des stocks disponibles liés à cte offre. Vidéos réalisées p ar Jean-Mi ichel Ferrard CASIO Éducation propose un éventail de services sur mesure pour répondre à vos besoins en toutes circonstances. Courrier : CASIO Éducation - Immeuble Phénix 1 24 rue Émile Baudot PALAISEAU CEDEX 5

6 EXERCICES POUR CLASSPAD 330 Les développements limités par l équipe CASIO Éducation On trouvera ici quelques exercices sur les développements limités, destinés aux études scientifiques après le bac. Chaque exercice est corrigé complètement, sans la calculatrice. On montre également ce qu il est possible de faire, pour le même énoncé, avec l aide du Classpad 330. Exercice n 1 Développement limité en 0, à l'ordre 6, de f(x) = cosx sin 3x Il vaut mieux linéariser : f 1x sin4x 1 sin2x2 2 On sait que sin x 5 x 2 x3 6 1 x o1x6 2 Finalement : f 1x2 5 3x 2 6x x5 1 o1x On voit ici comment procéder avec le Classpad 330. L instruction tcollect perm de linéariser f. On se sert ensuite du DL de x 7!sin x (obtenu par l'instruction taylor) d'une simple substitution pour obtenir ceux de x 7 7!sin 2x de x 7!sin 4x. Il suffit alors de combiner les deux résultats pour obtenir le développement demandé ( on termine par une vérification). Exercice n 2 ln11 1 x2 Développement limité en 0, à l'ordre 4, de f 1x x2 2 On sait que : 1 D autre part, 1 1 x x 1 x2 2 x 3 1 o1x Ainsi 11 1 x x 1 2 3x2 2 4x 3 1 o1x 3 2 f sin 2x 5 2x 2 4x x o1x6 2 sin 4x 5 4x 2 32x x o1x 6 2 ln11 1 x2 5 x 2 x2 4 1 o1x4 2 1x x 1 3x 2 2 4x 3 1 o1x a x 2 x2 4 1 o1x4 2 b 5 x 2 5x x3 2 77x o1x4 2 Exercice n 3 Développement limité en 0, à l'ordre 3, de f(x) = (1 + x) 1/x On écrit : ln11 1 x2 ln f 1x2 5 x x 2 1 x2 3 2 x3 4 1 o1x3 2 Ensuite f(x) = exp(ln f(x)) = exp(1 + X) = e (exp X), avec X 5 2 x 2 1 x2 3 2 x3 4 1 o1x3 2 On peut alors composer avec : On trouve X 2 5 x2 3 1 o1x3 2 X x3 8 1 o1x3 2 f 5 1 x a x 2 x2 4 1 o1x4 2 b exp 1X X 1 X2 2! 2 X3 3! 1 o1x3 2 1x2 5 e a 1 1 a 2 x 2 1 x2 3 2 x3 4 b a x2 3 b a 2 x3 8 b 1 o1x3 2 b Finalement : f 1x2 5 e a 1 2 x x x3 16 b 1 o1x3 2 Voici comment effectuer les calculs précédents à l'aide du Classpad 330. On définit tout d abord l application f puis on calcule son DL en 0 à l'ordre 3. On voit comment l instruction factorout perm de factoriser le réel e. On place ensuite dans la variable D le développement de ln(1 + x) en x = 0, à l ordre 4. On rappelle le développement de x 7!e X en x = 0 à l ordre 3. Dans ce résultat, il faut remplacer X par D-1. On substitue à X 2 à X 3 leurs troncatures à l ordre 3 (réalisées au moyen de l'instruction taylor placées dans les variables Y Z). Il reste alors à former l expression e a 1 1 X 1 Y 2 1 Z 6 b pour rrouver le développement demandé, pour vérifier le résultat obtenu au début à partir de f avec taylor. 6

7 Exercice n 4 DL en 0, à l ordre 8, de f(x) = (cos x - 1)( sh x - x) - ( ch x - 1)(sin x - x). Même si le développement final est demandé à l ordre 8, il ne faut pas écrire les DL initiaux à c ordre (dans un produit de DL, il faut considérer la valuation, c est-à-dire le degré minimum présent dans les développements que l on va multiplier). On a : cos x x2 2 1 x o1x5 2 De même : sh x 2 x 5 2 x3 6 1 x o1x6 2 1cos x sh x 2 x2 5 2 x x o1x8 2 ch x x2 2 1 x o1x5 2 sin x 2 x 5 2 x3 6 1 x o1x6 2 1ch x sin x 2 x2 5 2 x x o1x8 2 Finalement : x 7 f(x) = (cos x - 1)( sh x - x) - ( ch x - 1)(sin x - x) = o1x8 2 Voici comment arriver à ce résultat avec le Classpad 330 (Fig. 1 2). On calcule (en deux phases parallèles) les développements limités D a de (cos x-1)( sh x-x), D b de (ch x -1)(sin x - x), avant de conclure sur la différence D a -D b. L application f : x! (cos x - 1)( sh x - x) - ( ch x - 1)(sin x - x) est de classe C 1 sur R. Son DL en 0 à l ordre n s exprime par la formule de Taylor-Young : n f 1k2 102 f(x) = S x k 1 o1x n 2 k=0 k! x 7 L égalité f(x) = + o(x 7 ) signifie f (k) (0) = ! pour 0 k 6 f (7) (0) = = On voit ci-dessous (Fig. 3) comment ce résultat peut être confirmé par le Classpad 330. Exercice n 5 x Développement limité en 0, à l'ordre 5, de f(x) =. ln11 1 x2 On a f 1x2 5 1, 1 2 X avec On trouve De même, ln11 1 x2 5 x 2 x2 4 1 x5 5 2 x6 6 1 o1x6 2 X 5 x 2 2 x2 3 1 x3 4 2 x4 5 1 x5 6 1 o1x5 2 X 2 5 x x x o1x5 2 X 3 5 x3 8 2 x x o1x5 2 Enfin, X 4 5 x x5 6 1 o1x5 2 X 5 5 x o1x5 2 Finalement : f(x) = 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + o(x 5 ) a x 2 2 x2 3 1 x3 4 2 x4 5 1 x5 6 b 1 a x x x5 30 b 1 a x3 8 2 x x5 48 b 1 a x x5 6 b 1 a x5 32 b 1 o1x x 2 2 x x x o1x5 2 Voici comment effectuer ces calculs avec le Classpad 330. On remarquera notamment comment on forme les développements limités de X 2, X 3, X 4 X 5, par troncature à l ordre 5 (dans les variables D 2, D 3, D 4 D 5 ) à partir de l expression représentant le X des calculs ci-dessus (expression placée dans la variable D). Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 7

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