Chapitre 1. Construction des extensions cubiques CYCLIQUES DE Q

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1 Chapitre. Construction des extensions cubiques CYCLIQUES DE Q Objekttyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 0 (74) Heft 3-4: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am:.0.07 Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 0, 80 Zürich, Schweiz,

2 cette méthode en donnant à Fies valeurs de à et à m une centaine de valeurs pour chacune des équations a) et b). Les résultats sont exposés aux chapitres 4 (4. et 4.). Dans un travail récent [], M.-N. Gras obtient, par d'autres méthodes, des résultats semblables aux théorèmes 3.3 et 3.4 et donne une liste très fournie de corps cubiques cycliques dont l'anneau est soit monogène, soit non monogène. MM. les professeurs F. Châtelet et J.-J. Payan m'ont dirigé et aidé dans travail; je leur exprime ici ma très vive reconnaissance. Je remercie aussi M. R. Smadja dont un manuscrit m'a été utile dans la recherche des conditions du théorème 3. et M me M. Archinard, qui a bien voulu se charger de la programmation. Enfin, je remercie le Centre d'économétrie de l'université de Genève qui m'a donné accès à l'ordinateur de l'etat de Genève. ce Chapitre.? Construction des extensions cubiques CYCLIQUES DE Q On rappelle dans ce chapitre la construction donnée par A. Châtelet. chap. à IV). ([l],. Notations Dans la suite, K désigne une extension cubique cyclique du corps Q rationnels, K l'anneau des entiers de K, K le discriminant de K/Q et Gai (K/Q) son groupe de Galois. E désigne le corps Q (j), où des OKO i~défini par t j = j à j = AKA, E l'anneau des entiers de E, tle g-automorphisme de E et $' l'élément t & pour fi e E. t désigne aussi le pro longementde t K (j) ayant K comme corps des invariants, a désigne à la fois un élément non trivial de Gai (K/Q) et son prolongement à K(j) qui laisse E invariant. E est donc le corps des invariants du groupe cyclique engendré par a. 6 étant un élément de X, on définit les expressions suivantes (résolvantes de Lagrange).

3 (.) Ce sont des éléments de K (j), qui vérifient les propriétés suivantes: (.) (.3). Théorèmes fondamentaux On donne ici les résultats essentiels de la construction de Châtelet et celles de leurs conséquences techniques qui seront utilisées aux chapitres et 3. Pour les démonstrations, on renvoie à [I], en notant que les principales d'entre elles font intervenir de manière systématique les propriétés de < 0, g> et la théorie de Galois dans K(j) / Q. par Lemme. Soit 0 un élément primitif de K. Alors, le nombre fi défini est un nombre primitif de Ene dépendant pas de /et vérifiant fi fi' $E 3. Si (p est un nombre algébrique engendrant un corps cubique cyclique sur g et p un générateur de Gai (Q (<p)/q) tels que ou et p = a; S et T étant les traces de et (p. Lemme. Soit Se Qetfiun nombre primitif de E vérifiant fi fi' $E3. Alors, il existe un nombre algébrique 0, de trace S, engendrant une extension cubique cyclique K /Q, et un générateurs a de Gai (K /Q) tels que Ces deux lemmes permettent d'énoncer le théorème fondamental de cette construction des corps cubiques cycliques.

4 Théorème. Les formules 5 = trace (0) et définissent une surjection de l'ensemble des couples (0, g), formés d'un nombre algébrique engendrant un corps cubique cyclique et d'un générateur du groupe de Galois de ce corps, sur l'ensemble des couples (/?, S), formés d'un nombre primitif /? de E tel que pp /?' 4E3 et d'un nombre rationnel. Deux couples (0, g) et (q>, p) ont même image si et seulement si cp = g 0, pour / = o, ou et p = g. Définition. Dans la suite, lorsqu'on se référera à cette construction, on dira que (/?, S) est l'image de (, g), que est construit avec (p, S) et que P engendre Q (). <, g> et de la pro Remarque. H découle de la définition de priété(.) que, si (/?, S) est l'image de (, g), (? j5,?s) est l'image de ( -, g) et (p\ S) celle de (0, g ). On est ainsi amené à la définition suivante: Définition. Soit a et j? deux éléments de E. a et j 8sont dits équivalents (.4) Les résultats techniques suivants seront utiles aux chapitres et 3. Corollaire. Si 0 est construit avec (P, S), est zéro du polynôme Corollaire. Soit un nombre construit avec (/?, ), et soit A () le discriminant de,0, et l (,0,<70) celui de, 0, <r 0. On a alors: (.5) (.6) (.7) Corollaire.3 Soit (p, S) l'image de (0, g). On a alors: (.8)

5 Théorème. Soit (/?, S) et (y, T) les images respectives de (, a) et (<p, p). Alors la condition est nécessaire et suffisante pour que Q (6) = Q (cp) et a = p Ce théorème et la remarque. permettent de reconnaître les nombres engendrant le même corps cubique cyclique. L'anneau O e 3. On rappelle d'abord quelques résultats classiques. principal et donc factoriel. E est intègre +j,+j et représentent les 6 classes de E sont +, 3. premières /(3) avec E Les nombres (entiers rationnels) premiers congrus à (mod 3) sont irréductibles dans O E, les nombres premiers p congrus à (mod 3) sont de la forme p =? p? p,? p étant irréductible et? p et? p n'étant pas associés. ). Enfin, on a 3 =? (j Ainsi, les éléments irréductibles de E sont /?j, les nombres premiers congrus à? (mod 3), les éléments? p et? p et leurs associés. Les unités de OE/(3)O - -j Lemme.3 Soit fi un élément de E sans facteurs rationnels et soitp un nombre premier tel que p n divise exactement P /?'. Alors, p = 3 et n =, (mod 3) et co^ divise exactement /?, a> p étant un diviseur irré ou p= ductiblede p. Démonstration Si 3" divise divise aussi exactement j-j que n =. Si /> t^ 3, raitp. Donc co p co p /? p= ne divise pas p, il divise exactement donc j?j divise exactement Il s'ensuit /?, 3 /? /?'. (mod 3), sinon p serait irréductible et divise et co p " divisent exactement /? /T. Comme faut que? p (ou co pn ) divise exactement p. C.q.f.d. est congru à cûpco'p /T, /?' et /? et co^ Définition.3 Un élément de E est dit entier canonique s'il n'est divisible ni par?, ni par un entier rationnel, ni par un facteur carré. Un entier canonique a est de la forme?pl co p...? pr, sa norme étant égale à p x p??? Pn l es Pi étant des nombres premiers naturels distincts et 3 f a E. congrus à (mod 3), et satisfait la condition j j aa 3.E

6 Réciproquement, un nombre de E dont la norme a cette forme est un entier canonique. Un entier canonique, étant premier avec 3, appartient à l'une des à une unité. 6 classes de E /(3) premières avec 3. Il est donc congru (mod 3) OE/(3O Définition.4 Un entier canonique est dit unitaire positif (respective mentnégatif) s'il est congru (mod 3) à (respectivement à ). Si le signe n'intervient pas, on dit simplement que l'entier canonique est unitaire. Tour entier canonique est le produit d'une unité et d'un entier canoni queunitaire positif unique. - K est engendré par un entier de à manière défini canonique, unique l'équivalence près. Voir [I], chapitre, pour une démonstration. Des entiers canoniques équivalents étant ensemble unitaires ou non, on peut donner la définition suivante : Théorème.3 Tout corps cubique cyclique Définition.5 Kest dit unitaire s'il est engendré par des entiers canoniques unitaires. (De ces entiers canoniques unitaires, deux sont positifs et deux sont négatifs). Le théorème suivant donne la construction de bases d'entiers d'un corps K. Théorème.4 Soit canonique a. Alors : a) si a est K le corps cubique cyclique engendré par l'entier unitaire positif (respectivement négatif) et si (a, ) (respectivement avec des entiers de K; (a,-l)),, a, et aa construit avec forment une base est b) si a est non Unitaire et si est construit avec (3a, o),, 0, a forment une base des entiers de K. Définition.6 Ces bases sont dites canoniques et construites avec Corollaire.4 On conserve les notations du théorème.4. Alors, a) si K est unitaire, il est modérément ramifié et b) si K est non unitaire, il est sauvagement ramifié et a.

7 les Démonstration Ces formules s'obtiennent immédiatement en prenant discriminants des bases canoniques par la formule (.6). Corollaire.5 Soitp,p,...,/V? r nombres premiers différents de, distincts et congrus à (mod 3). Alors il existe *"" corps modérément ramifiés de discriminant (PxP >~P r ) et r corps sauvagement ramifiés de discriminant 8 (p^pz ~-Pr) Tous les corps cubiques cycliques ont leurs discriminants de cette forme, sauf un corps unique de discriminant 8. Pour une démonstration du théorème.4 et du corollaire.5, on se reportera à [I], chapitre IV. r Chapitre. L'indice d'un nombre? Indice d'un nombre de d'une extension finie K/Q $O _k$ est le nombre () = où A () est le discriminant de 6 dans KetAK le discriminant de K (cf. [3], chap., 5 et [s]). Comme au chapitre, K/Q désigne dorénavant une extension cubique cyclique et on va utiliser une base canonique (déf..6) pour calculer l'indice d'un élément quelconque de O K. *JAJ A ()/A K, si cp Lemme. Soit 6 un élément primitif d'une base canonique de K. Alors, e O K, il existe un nombre xj/ YgeOK tel que \]/ -cpez et/ 0/0 =X+ = I(cp). Démonstration On considère le cas où est construit avec (a, ), c'est à-direoù a est unitaire positif., aetg forment une base d'entiers de, avec X t ez, i =,, 3. Soit X, donc cp = X o + X g + XX xj/ = (X o alors xjj et = (\j/) I(cp) ) + (X )<r0 =cp- X ; # forme cr# cr + + requise. d'après Les cas où a est unitaire négatif et où K est non unitaire se démontrent de manière semblable. C.q.f.d. Donc, pour obtenir les indices de tous les nombres de O K, il suffit de considérer les nombres de la forme X + Yg où Xet Y sont des entiers. aa I #=l.i/fala K le -X -X corps (modérément ramifié) engendré par l'entier = + et soit, g,g la base canonique canonique unitaire construite avec a. Alors, si \J/ = X + Yg, ± I(\J/) est égal à: Lemme. Soit oc (.) alja j aa j