Les connaissances attendues à la fin de l école maternelle

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1 Inspection Académique de l Oise IEN Maternelle 1 Séminaire Connaissances Les connaissances attendues à la fin de l école maternelle Les quantités et les nombres à l'augmentation et à la réunion au partage et à la distribution mots nombre jusqu'à 31 collections témoins en relation : les doigts, les constellations de dés. Connaissance de la comptine (au moins jusqu'à 30) Connaissance du cardinal d'un ensemble Connaissance du zéro comme cardinal d'un ensemble vide. à l'ordre Connaissance de procédures basées sur des actions pour dénombrer Connaissance des premières décompositions additives Connaissance du surcomptage et du décomptage Connaissance de l'écriture chiffrée de 0 à 9. P Michot, CTICE formateur- AM Rinaldi, PIUMF Université J Verne- L Sagot, CPD

2 Les connaissances relatives aux quantités et aux nombres à l école maternelle Les connaissances recensées nous semblent premières, fondamentales, pour bâtir savoirs, capacités et attitudes qui permettront au jeune élève d'acquérir les compétences attendues en fin d'école maternelle. Celles-ci se construiront grâce à des mises en situation authentiques et adaptées. Première connaissance d'une petite quantité (nombre 2 ou nombre 3). à l'estimation (pareil / pas pareil, un peu / beaucoup). à l'augmentation et à la réunion (et, avec, en tout) au partage et à la distribution (partage, même quantité) PS MS GS - mots nombre 1, 2, 3, voire 4 - collections témoins en relation : les doigts, constellations de dés. Connaissance globale d'une petite quantité (nombres jusqu'à 5 voire 6). à l'estimation et à la comparaison (pareil / pas pareil, un peu / beaucoup, plus que / moins que). à l'augmentation et à la réunion (et, avec, en tout) au partage et à la distribution (partage, même quantité, même nombre, pas assez, manque, en trop) - mots nombre jusqu'à 10 - collections témoins en relation : les doigts : 5 doigts avec une main puis deux mains, constellations de dés jusqu'à 6 avec un dé, avec deux dés (jusqu'à trois par face de dé) - connaissance du zéro comme cardinal d'un ensemble vide. - écriture c hiffrée de 0 à 6 (en dernier lieu). Connaissance globale affirmée d'une petite quantité (nombres jusqu'à 5 voire 6). à l estimation et à la comparaison (pareil / pas pareil, un peu / beaucoup, plus que / moins que, juste assez, ni plus / ni moins, autant que). à l'augmentation et à la réunion (et, avec, ensemble, en tout, au total, ajouter, enlever, plus, moins, égal, le nom des opérations «addition» «soustraction») au partage et à la distribution (partage, même quantité, même nombre, pas asse z, manque, en trop, part, reste, équitable, inéquitable) - mots nombre jusqu'à 31 - collections témoins en relation : les doigts : 5 doigts avec une main puis deux mains, les deux mains, constellations de dés jusqu'à 12 (six par face de dé) - connaissance du zéro comme cardinal d'un ensemble vide. - écriture c hiffrée de 0 à 9. Connaissance de la comptine jusqu'à 5, 6 Connaissance de la comptine jusqu'à 15,16 Connaissance de la comptine jusqu'à 31 au moins, en ayant une maîtrise qui la rend opératoire (récitation à l'endroit, à l'envers, par bloc, connaissance automatisée du successeur d'un nombre) à l'ordre (premier, dernier / premier, deuxième, troisième) Connaissance de procédures basées sur des actions pour préparer au dénombrement (pointage, déplacement, oraliser, associer, aligner, empiler...). Connaissance de quelques décompositions de nombres(«un et un, deux», «deux et deux, quatre», «deux et un, trois») à l'ordre (premier, dernier / premier, deuxième (ou second), troisième, quatrième, cinquième) Connaissance de procédures basées sur des actions pour dénombrer (pointage, déplacement, oraliser, associer, aligner, empiler, organiser, entourer, barrer, marquer, compter...). Connaissance de structures additives (en relation avec les désignations usuelles), permettant une première approche du surcomptage. à l'ordre (premier, dernier / premier, deuxième (ou second), troisième, quatrième, cinquième...) Connaissance de procédures basées sur des actions concrètes ou mentales pour dénombrer efficacement. Connaissance du surcomptage et du décomptage comme alternative au calcul.

3 Définitions Ordre : Les jeux, type jeu de l oie, de déplacement sur une piste dont les cases sont numérotées peuvent donner du sens au nombre comme mémoire d une position dans une liste ordonnée. On peut par exemple chercher un moyen pour mémoriser la case occupée par son pion pour pouvoir reprendre la partie un peu plus tard. Ce repérage peut être spatial ou aidé de l illustration de la case mais si la piste est dépouillée et ne contient que les numéros des cases, alors le nombre devient la seule référence possible. On peut éventuellement proposer une piste rectiligne dont les cases sont vierges et amener la nécessité de numéroter les cases. Après voir mis en évidence le problème de repérage sur une piste vierge, l enseignant propose la numérotation si les élèves n y pensent pas eux-mêmes, ce qui est fort probable. Des activités spécifiques, la photo cachée par exemple, peuvent aussi être mises en œuvre. Exemple (situation de référence proposée par R. Charnay) : On dispose d un nombre donné de bouteilles et de bouchons (en nombre plus important que le nombre de de bouteilles) ; l élève doit préparer juste ce qu il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille Première variante : le nombre de bouteilles est assez important mais les bouchons sont à proximité des bouteilles (il s agit de s approprier la situation et de faire en sorte que la contrainte «un bouchon pour chaque bouteille» soit respectée). Deuxième variante : il y a 5 à 6 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont proches mais il faut préparer les bouchons sur un plateau avant de les mettre sur les bouteilles. Troisième variante : il y a 4 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés ; l élève doit aller chercher les bouchons avec un plateau en une seule fois (ou en plusieurs fois puis en une seule fois). Quatrième variante : il y a jusqu à dix bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés mais dans des paniers de un, deux ou trois bouchons ; aller chercher les bouchons en plusieurs fois puis en une seule fois. Dominique Pernoux Dominique Pernoux est formateur en mathématiques (1er degré) à l'iufm d'alsace (Université de Strasbourg)

4 Petite quantité L enfant a conscience qu il est en présence d une collection d objets c'est-à-dire qu il peut désigner la collection quand on l évoque devant lui. L adulte demande : «montre-moi les feutres» L enfant montre les feutres. Il peut distinguer et identifier une unité. L adulte demande : «montre-moi un feutre». L enfant montre un feutre. Il voit (perception visuelle) qu il y a plusieurs objets donc plusieurs unités et sait par la procédure de son choix (équipotence avec une collection témoin de doigts, reconnaissance globale, comptage, ) énoncer les nombres 2 ou 3 sous le contrôle de l adulte. L adulte demande : «donne moi cette quantité de feutres en montrant la collection de doigts qui correspond à deux sur ses doigts». L enfant prend un feutre puis un feutre et s arrête ou bien l enfant prend directement deux feutres ou encore l enfant prend un feutre en disant «un» et un second feutre en disant «deux». Il est important en petite section de manipuler des objets et d insister sur les dialogues qui vont tous permettre la construction du nombre («un et un», «deux», «un et deux») en confrontant différentes procédures. Remi Brissiaud développe cette idée dans «premiers pas vers les maths» Retz 2007 Connaissance globale L enfant a de moins en moins besoin de compter quand les objets sont peu nombreux( 3) ou disposés comme sur le dé. L usage des jeux de société lui permet d associer directement «un cardinal» c'est-à-dire «un nombre quantité» à une collection. Il est fondamental que «deux» désigne une quantité et non pas simplement un numéro qui vient après «un» et avant «trois». Augmentation et réunion Les problèmes additifs correspondent d après la classification de Gérard Vergnaud à des problèmes de transformation d états, de combinaison et de comparaison. Pour les résoudre grâce aux opérations dès l école élémentaire cela suppose que dès la petite enfance les situations de référence soient connues et inscrites dans le vécu de l enfant. Cela suppose qu on manipule, combine, transforme une partie d un ensemble, deux parties, un tout Là encore c est le langage en action qui fera sens. On compte les foulards bleus. On compte combien il y en a en tout. On cherche combien il y a de filles et de garçons. On cherche à mettre les casquettes avec les bonnets. puis peu à peu on complique la situation en introduisant des transformations, des combinaisons. On cherche combien il y a de jetons si on en ajoute deux, si en enlève un, combien il y en a en plus,.. Les décompositions additives d un nombre Il s agit de décomposer un nombre sous forme d additions ( 2 ou davantage), Par exemple, quatre c est :2+2 ; 1+3 ; 3+1 ; 0+4 ; 4+ 0 ; ; ;. Connaitre le concept d'un nombre, c est avoir connaissance de toutes les décompositions additives de celui-ci. Mettre en œuvre un accès précoce aux décompositions additives permet d accéder plus rapidement au calcul. L'utilisation d'albums à calculer (Brissiaud Retz) permet d'acquérir la maîtrise de ces décompositions, par le jeu.

5 La comptine numérique Pour l'élève, apprendre à dire la comptine, c'est un peu comme apprendre une chanson : il faut se souvenir non seulement des mots mais aussi de leur ordre. L'enfant va donc apprendre par cœur ces mots «un, deux, trois, quatre...». Comme il y a beaucoup de mots à retenir, Cette suite sera fractionnée et l'apprentissage programmé sur les trois années de l'école maternelle. Afin d'amener l'élève à construire la comptine, l'enseignante offrira des occasions variées de dire la comptine. Attention! Il ne s'agit pas ici d'un enseignement explicite de ces règles de production de la chaîne numérique. En cours d'année, l'enseignant pourra observer que la partie stable et conventionnelle de cette suite des nombres s'allonge graduellement. Estimer et comparer : Il est important d aider les élèves à estimer (évaluer approximativement une quantité, par perception visuelle) et à comparer des collections (établir des ressemblances ou des différences) pour développer le sens des nombres et des quantités, d abord par des oppositions. L enseignant met l élève en situation d estimer des collections en l aidant à verbaliser son appréciation de la grandeur ou de la quantité. La comparaison de deux collections ayant pour objet de développer dans un premier temps des compétences pré numériques, il importe que les collections ne puissent être «comptées» (veiller à varier leur nature et leur taille). Procédures basées sur des actions «Apprendre ne se fait pas en une seule fois (ou très rarement). Apprendre, c est aussi recommencer, revenir en arrière, donc répéter, mais en comprenant ce que l on a fait et pourquoi on le fait.» ERMEL GS Hatier Il est important de multiplier les occasions, de différencier les contextes, d associer en fonction de la situation une action efficace pour dénombrer. C est à l élève de trouver des outils et d analyser avec le maître ses performances. Il est encore novice pour s auto-évaluer. Collection témoin : les doigts L avantage d une collection témoin de doigts est lié à la disponibilité de cette collection. Inutile ici de verbaliser ou de noter par écrit, il suffit de montrer des doigts. Par contre pour le jeune enfant «pouce et index» ne correspondent à «index et majeur». On ne voit pas la même chose d où l importance de présenter d authentiques collections-témoins. D après Brissiaud une authentique collection de main «témoigne du nombre par sa taille, via la correspondance terme à terme, et non par sa configuration». Il est donc important de faire varier les combinaisons possibles de doigts pour ne pas fixer une seule représentation. Désignation avec des constellations de dés Il est d usage d introduire assez tôt le dé et la lecture de ses faces. On espère ainsi que l enfant va mémoriser, apprendre directement l image qui correspond à un, à deux, à trois, à quatre,. On pense qu il accédera ainsi à l idée de totalisation. Le mot nombre qu il prononce est un cardinal. De plus, dans les jeux à règles que l enseignant propose, il s agit bien souvent au début de prendre autant d éléments que le nombre indiqué par le dé (donc de compter ou d établir une correspondance). On vérifie ainsi que «derrière» le mot nombre énoncé se cache un sens à ce nombre. Pour autant, il s 'agira de faire varier la représentation spatiale des constellations pour ne pas fixer une quantité à une organisation particulière.

6 Surcomptage et décomptage À l école maternelle, les élèves apprennent d abord à dénombrer par comptage, c est à dire en récitant la comptine numérique. Un des enjeux du cycle 2 est de les amener à passer de stratégies de comptage à des stratégies de calcul. Il s agit là d un véritable apprentissage que l enseignant doit accompagner en proposant aux élèves des situations variées les incitant progressivement : à dépasser l utilisation première de la comptine numérique: surcomptage, décomptage ; à mémoriser certains résultats : résultats des tables d addition, doubles ; à s appuyer sur la numération : recherche de compléments à 10, arbres à calculs ; à utiliser des outils : calculs par bonds sur la bande numérique, utilisation du tableau des nombres, de la spirale des nombres, des compteurs. L apprentissage du calcul et celui de la numération décimale ne peuvent se faire que conjointement : les procédures de calcul se nourrissent de la connaissance de la numération mais en même temps lui donnent du sens. Pour résoudre des problèmes additifs, certains élèves utilisent le comptage quels que soient les nombres en jeu. Il peut s agir de : recompter le tout (pour faire 4 + 3, l élève fait une correspondance terme à terme entre la collection totale et les sept premiers mots nombres de la comptine numérique) ; surcompter à partir du dernier mot nombre désignant le cardinal de la première collection (pour faire 4 + 3, l élève stocke 4 en mémoire et énonce «cinq, six, sept»). Le maître doit donc proposer des situations adaptées pour permettre aux élèves de dépasser ces procédures, car il est important et nécessaire de développer très tôt sur des petits nombres les premiers calculs. Ainsi, dès la PS, on peut demander aux élèves de montrer avec les doigts, de différentes manières, les quantités connues (jusqu à 3 ou 4). Il s agira non seulement de reconnaître instantanément (collection organisée) une représentation des nombres, mais aussi de considérer les propositions faites à l aide des deux mains (trois, c est deux et un, quatre, c est trois et un, deux et deux, ). De même, de nombreuses collections d objets de la classe, organisées soit naturellement, soit par le maître, peuvent être décomposées en sous collections (deux bougies roses et une bleue font un total de trois bougies, trois abricots et une fraise font quatre fruits). Pour favoriser l évolution des procédures des élèves, l enseignant peut jouer principalement sur deux variables les nombres en jeu et les représentations utilisées (collections, constellations, écritures chiffrées, utilisation de matériel). «Du comptage au calcul» Christophe Bolsius et Patrice Gros (Le nombre au cycle 2 SCEREN - CNDP-CRDP)