FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 CAHIER 3 ET CORRIGÉ

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1 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 ET CORRIGÉ

2 TABLE DES MATIÈRES I 1.0 NOMBRES RATIONNELS Reconnaître les nombres rationnels Comparer des nombres rationnels Représenter les nombres rationnels sur la droite numérique... 6 Exercice Opérations Effectuer l'addition et la soustraction...11 Exercice Effectuer la multiplication...18 Exercice Élever un nombre rationnel à un exposant positif...21 Exercice Effectuer la division...27 Exercice Effectuer les quatre opérations dans les nombres rationnels, en respectant l'ordre des opérations...0 Exercice Exprimer un nombre rationnel en notation scientifique...6 Exercice Reconnaître un nombre irrationnel Simplifier des racines carrées...4 Exercice Reconnaître l'ensemble des nombres réels EXERCICE DE RENFORCEMENT...47 DIAM BAPG\980

3 1 1.0 NOMBRES RATIONNELS 1.1 RECONNAÎTRE LES NOMBRES RATIONNELS Les premiers nombres à être utilisés furent l'ensemble des nombres naturels. Ils étaient utilisés pour compter et effectuer certaines opérations. Cet ensemble est noté comme suit : N = { 0, 1, 2,,... } L'on a vu s'agrandir cet ensemble pour inclure des nombres qui pouvaient représenter des idées contraires, des éléments opposés et effectuer certaines soustractions. Cet nouvel ensemble est appelé l'ensemble des entiers et est noté comme suit : Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,,... } Encore une fois, on va agrandir un ensemble, soit celui des entiers afin de pouvoir diviser, comparer et évaluer les parties d'un tout. On appelle cet nouvel ensemble les NOMBRES RATIONNELS. Le terme rationnel (de ratio, qui signifie rapport) a été donné à cet ensemble parce que les nombres qui en font partie peuvent tous se représenter sous la forme a/b où a et b sont des entiers et b =/ 0 puisque la division par zéro est impossible. Les nombres rationnels peuvent être positifs ou négatifs. On a déjà travaillé avec les rationnels positifs quand on a étudié les fractions et les décimaux. Pour appartenir à l'ensemble des nombres positifs a et b doivent appartenir à l'ensemble N* (l'ensemble des nombres naturels excluant le zéro). Le symbole pour décrire cet nouvel ensemble est?q la première lettre de quotient. On appelle communément les nombres rationnels, les rationnels. Conclusion Tout nombre qui peut être représenté sous la forme a/b, a et b étant des entiers et b =/ 0, est un nombre rationnel.

4 2 Forme abrégée : Q = { a/b * a, b 0 Z, b =/ 0 } se lit : l'ensemble Q est égal à a sur b tel que a et b appartiennent à Z et b n'est pas égal à zéro. Remarques 1. Un rationnel ne se présente pas toujours sous la forme d'une fraction mais il peut se traduire sous cette forme. 2. Les nombres décimaux et les nombres décimaux périodiques appartienent à l'ensemble des rationnels car ils peuvent se traduire sous la forme a/b. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Remplacer a = 6 et b = 1 dans a/b. où 6 est un rationnel, 1 mais 6 = 6 où 6 est un nombre naturel. 1 Donc 6 est aussi un rationnel.

5 2) Remplacer a = 5 et b = 1 dans a/b. où 5 est un rationnel, 1 mais 5 = 5 où 5 est un entier. 1 Donc 5 est aussi un rationnel. Conclusion Les ensembles des nombres naturels et des entiers appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels. Représentation : N = nombres naturels Z = entiers Q = rationnels ) Remplacer a = et b = 4 dans a/b. où 4 est un rationnel. 4) Écrire le nombre décimal 0,5 sous forme fractionnaire. où 0,5 = 5 10 mais 5 10 est un rationnel.

6 4 Donc 0,5 est un rationnel. Remarques 1. /4 est une fraction et également un rationnel et 5 sont des entiers et également des rationnels car 6 = 12/2 = 18/ et 5 = 10/2 = 15/ c'estàdire qu'ils peuvent être écrits sous la forme a/b. Par contre 6 et 5 ne sont pas des fractions, car ils ne sont pas écrits sous la forme a/b.. 0,5 est un rationnel car 0,5 = 5/10. De plus, on peut inclure les nombres décimaux comme 2,15 car 2,15 = 215/100 = 4/20. Mais ce ne sont pas des fractions. 4. Dans 0,, le se répète et ce genre de nombre décimal se nomme nombre décimal périodique et il fait aussi partie des rationnels car il est possible de le traduire sous la forme a/b. Formes alternées d'un nombre rationnel Puisque signifie divisé par 4 4 et le quotient de deux entiers de signes contraires est négatif. On a = 4 4 Pour la même raison : = 4 4 Alors = = Puisque signifie divisé par 4 4 et le quotient de deux entiers de signes négatifs est positif. On a = 4 4 Alors = 4 4

7 5 1.2 COMPARER DES NOMBRES RATIONNELS On utilise le même principe pour comparer des nombres rationnels que l'on utilisait pour comparer des nombres naturels, des fractions, des entiers, etc. Comparer des nombres rationnels, c'est choisir parmi les symboles mathématiques suivants : = qui signifie?est égal à ; > qui signifie?est supérieur à ; < qui signifie?est inférieur à ; $ qui signifie?est supérieur ou égal à ; # qui signifie?est inférieur ou égal à. Quand on a à comparer des nombres à notation fractionnaire et à notation décimale, on doit choisir soit l'une ou l'autre des notations dépendant du problème. Ceci facilite son exécution. +)))))))), *Exemple *.)))))))) Écrire les nombres suivants en ordre croissant. + { 1/5; 1,5; 4/10; 0; 1/10 } { 1/5; 15/10; 4/10; 0; 1/10 } [changer en notation fractionnaire] { 2/10; 15/10; 4/10; 0; 1/10 } [trouver un dénominateur commun] { 2/10; 1/10; 0; 4/10; 15/10 } [ordre croissant]

8 6 1. REPRÉSENTER LES NOMBRES RATIONNELS SUR LA DROITE NUMÉRIQUE Sur la droite numérique des nombres rationnels, on considère la partie située entre deux coordonnées que l'on peut indéfiniment diviser en deux parties égales. Par conséquence, on peut faire correspondre autant de nombres rationnels que l'on désire. Ceci dit, on peut conclure que les coordonnées des nombres rationnels sont très nombreuses. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Soit la droite numérique suivante. A B S)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2 Les coordonnées A = 1/4 et B = 1/2. Le milieu de ces coordonnées est /8. Le milieu de l'intervalle 1/4 et /8 est 5/16. Le milieu de l'intervalle 5/16 et /8 est 11/2. 2) Soit la droite numérique suivante. C D S)))2)))))2)))))2)))))2)))))2)))))2)))))2)))))2)))))2)))))2)))))2 Les coordonnées C = 0,5 et D = 0,4. Le milieu de ces deux coordonnées est 0,45. Le milieu de l'intervalle 0,5 et 0,45 est 0,475.

9 7

10 8 En regardant une droite numérique, il est possible de constater que chaque nombre rationnel a son opposé, c'estàdire qu'il est situé à la même distance de zéro d'un autre nombre. +)))))))), *Exemple *.)))))))) +))))))))))))))))))))))))))))))))))))))), * +))))))))))))))))))))))), * * * +))))))), * * R R R R R R S)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2)))2 1 0,6 1/5 0 1/5 0,6 1 1 est l'opposé de 1 et vice versa. 0,6 est l'opposé de 0,6 et vice versa. 1/5 est l'opposé de 1/5 et vice versa. Conclusion Chaque nombre rationnel positif a son nombre rationnel opposé (négatif). Chaque nombre rationnel négatif a son nombre rationnel opposé (positif). Le zéro est son propre opposé. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 2 et 2 sont des nombres opposés. + 2) L'opposé de 1,2 est 1,2.

11 EXERCICE 1 9 ) L'opposé de /4 est /4. 1. Écrire le nombre rationnel correspondant. Trouver son opposé. a. un gain de 2, millions $ b. une perte de 4,5 kg c. une hausse de 4 1/2 points d. 5E C audessus de la moyenne saisonnière 2. Exprimer en notation décimale. a. 2 c. 5 5 b. 1 d Exprimer en notation fractionnaire. a. 0,4 c. 0,6 b. 1,25 d. 2,7 4. Dire si les nombres rationnels suivants sont positifs ou négatifs. a. 7 c b. 17 d Exprimer sous la forme a/b. a. 0,7 c. 19 b. 2 1 d. 2, 6

12 EXERCICE Écrire un nombre rationnel irréductible dont le dénominateur est positif. a. 4 c b. 15 d Écrire les nombres en ordre croissant. + + a. { ; ; /4; 0,45 } c. { 4,6; 0; 1,; 1, } b. { 1,6; 9,6; 6 4/5;,2 } d. { 2/; /4; 2/5; 6/5 } 8. Écrire les nombres en ordre décroissant. a. { 4; 1 /4; 1 1/;,2 } c. { 1 7/8; /10; 0,025; 1,5 } b. { 0,0; 2,4; 0,06; 0 } d. { 4; 0,2; /8; 5,2 } 9. Placer sur la droite numérique les nombres rationnels suivants. 1, , S)))))))2)))))))2)))))))2)))))))2)))))))2)))))))2)))))))Q> 0 1

13 OPÉRATIONS Les rationnels comme les entiers suivent les mêmes lois des signes. Tout ce qui se rapporte aux rationnels positifs s'applique aussi aux rationnels négatifs. Remarque Lorsqu'on rencontre un nombre fractionnaire, on le transforme en expression fractionnaire avant d'effectuer les opérations mathématiques.

14 Effectuer l'addition et la soustraction LOI DES SIGNES POUR L'ADDITION 1. La somme de deux nombres positifs est toujours un nombre positif. (+) + (+) = (+) 2. La somme de deux nombres négatifs est toujours un nombre négatif. () + () = (). La somme d'un nombre positif et d'un nombre négatif est : parfois un nombre positif; (+) + () = (+) parfois un nombre négatif. (+) + () = () Remarque Soustraire un nombre revient à additionner son opposé. 1 er cas : même dénominateur Lorsque les fractions à additionner ou à soustraire ont le même dénominateur, il suffit d'additionner ou de soustraire les numérateurs, en observant la loi des signes.

15 1 +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) = 4 + ( ) = = ) ( 2) 7 7 = = 1 7 Remarque Puisque soustraire un rationnel équivaut à additionner son opposé, + on a ( 2) = + ( 2). 7 7 ) 8 1/ + ( 4 2/) = = 11 = 2

16 14 Remarque Il est facile d'exprimer le nombre fractionnaire en expression fractionnaire. 4) = = = = 12 = 4

17 15 e 2 cas : dénominateurs différents Puisque les fractions à additionner ou à soustraire ont des dénominateurs différents, il faut mettre chaque fraction sous un dénominateur commun et procéder comme dans le premier cas. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 1 + ( 1) = 1 + ( 1) + ( 1) 2 6 = = + ( 2) + ( 1) 6 6 = 1 6 2) ( 2) 4 = = =

18 16 ) De 2 1/5 soustraire 6 /4. = = = = = ) De 6,5 soustraire,6. = = 6,5 (,6) 6,5 +,6 10,16

19 EXERCICE Effectuer les opérations suivantes. (Il est plus facile de rendre le dénominateur positif en premier lieu). a ( 1) 8 n. 2 ( 1) 2 ( 1) 6 b o ( 1) c. 6 7 ( ) 7 p d. 4 + ( ) 5 q e. 2 + ( 7) 8 r f. 4 ( ) 5 s. 4 ( 1) g. 5 ( 1) 5 t. ( ) 11 ( 6) 2 h u ( 1) 2 i ( 2) v j w k x. 2 ( 1) l y m. 4 + ( 1) ( 1) z

20 EXERCICE Effectuer les opérations suivantes. a. 1,7 0,2 f. 20, 17,01 b. 11,4 ( 11,12) g. 77,121 (,4) c. 4 + (,11) h. 10,4 + ( 1,) d ( 4,75) i. 1,4 2,1 e. 215,42 ( 9,16) j. 16,9 4,15

21 Effectuer la multiplication LOI DES SIGNES POUR LA MULTIPLICATION 1. Si deux nombres sont de signes contraires, le produit est négatif. 2. Si deux nombres sont de même signe, le produit est positif. Pour multiplier des nombres rationnels, il faut procéder comme des fractions ordinaires, c'estàdire on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, tout en respectant la loi des signes dans la multiplication. +)))))))), *Exemple *.)))))))) 4 x = 1 4 x 9 On simplifie en divisant par = 9 20

22 19 Remarque Dans la simplification, il faut diviser un numérateur et un dénominateur par un même nombre en tenant compte de la loi des signes. On peut éviter des erreurs de calcul si l'on se souvient que le nombre de signes négatifs donne tout de suite le signe du produit. Un nombre pair de signes donne un signe positif et un nombre impair donne un signe négatif. +)))))))), *Exemple *.)))))))) 1) x 16 x 8 Deux signes négatifs, le résultat sera positif. = x 16 x = 8 = 1 Le résultat est positif ) 1 x 5 x 6 Un signe négatif, le résultat sera 4 5 négatif. = x 5 x = 26 = 6 1 Le résultat est négatif. 4 2 ) 0,027 9 x 2,9 x 2,4 Deux signes négatifs, le résultat = 0, x 2,4 sera positif.

23 20 = 0, Le résultat est positif.

24 EXERCICE Effectuer les multiplications suivantes. a. 6 C 1 1 k b. 5 C 4 l c. 5 C 0 C 7 m d. 1 1 x 4 n (5) e. 5 x ( 4) o f. 15 x 8 p. 1 C ( 12) g. 1 x 8 q h r i. 1 C 2 C ( 2) s j t Effectuer les multiplications suivantes. a. 0,012 5 x 0,2 x 0,7 d. 1,5 x,8 x 1, b. 75 x 0,18 x 9,11 e.,5 x 1,7 x 7,1 c. 2,1 x 1,12 x,4 f. 15,7 x,4 x 12

25 Élever un nombre rationnel à un exposant positif Élever un nombre à un exposant positif s'appelle la FORME EXPONENTIELLE. Pour écrire sous la forme exponentielle des expressions rationnelles, on utilise la même démarche qu'auparavant. 7 4 (quatre à la puissance sept) est le produit de 4 par luimême, 7 fois. 4 7 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x représente 4 élevé à la PUISSANCE 7. 4 est la BASE. 7 est l'exposant. +)))))))), *Exemples*.)))))))) Simplifier. 1) 4 ( 8) = ( 8)( 8)( 8)( 8) Nombre pair de signes négatifs, = (64)( 8)( 8) le résultat sera positif. = ( 512)( 8) = Le résultat est positif. 2) 4 = = = 64 27

26 2

27 24 ) 2 6 = Nombre pair de signes négatifs, le résultat sera positif. = = = = = 64 Le résultat est 729 positif. 4) ( 0,5) = ( 0,5)( 0,5)( 0,5) Nombre impair de = (0,25 signes négatifs, = 0,125 le résultat sera négatif. Le résultat est négatif. Examiner. 2 6 = 64 En examinant cet régularité, l'on remarque que chaque 2 5 = 2 fois que l'exposant diminue, la valeur diminue de la 2 4 = 16 moitié. 2 = = 4 Alors 2 0 = 1 et 2 1 = = =? 2 1 =? Conclusion a 0 = 1, a =/ 0 et a x = 1, a =/ 0 a x

28 25 +)))))))), *Exemples*.)))))))) Simplifier. 1) 7 = 1 7 = = 1 (7)(7)(7) 1 (49)(7) = 2) 14 0 = ) 10 4 = = 1 (10)(10)(10)(10) 1 ou 0, ) = = = 1 x 9 4 = 9 ou

29 26

30 27 UTILISATION DE LA CALCULATRICE Avec les touches x 2 et y x, il est possible de calculer les puissances. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 2 1) Simplifier 4. 2 CE/C 4 x ) Simplifier. x CE/C y 6 = Remarque Quand l'on utilise la calculatrice, il est important d'appliquer la loi des exposants et la loi des signes. LOI DES SIGNES 1. Nombre pair de signes négatifs, le résultat est positif. 2. Nombre impair de signes négatifs, le résultat est négatif.

31 28

32 29 LOI DES EXPOSANTS 1. Pour élever à une puissance quelconque une base affectée d'un exposant, on fait le produit des exposants ( ) = = Tout nombre affecté d'un exposant négatif est égal à son inverse affecté du même exposant positif. 2 4 = 1 =

33 EXERCICE Simplifier. a. 4 5 k. ( 0,2) b. 2 2 l c. 10 m. ( 0,14) d. ( 7) 4 e. ( 5) f n. 5 o. 5 6 p g. (0,2) 4 q. 0 4 h. 2 r. (0,175) 0 i. 1 4 j. ( 6) s t. 0

34 Effectuer la division LOI DES SIGNES POUR LA DIVISION 1. Si deux nombres sont de signes contraires, le quotient est négatif. 2. Si deux nombres sont de même signe, le quotient est positif. Pour diviser un nombre rationnel par un autre nombre rationnel, on multiplie le premier par l'inverse du second, tout en respectant la loi des signes dans la division des rationnels. Il est à noter que cette loi est la même que celle de la multiplication. On peut éviter des erreurs de calcul si l'on se souvient que le nombre de signes négatifs donne tout de suite le signe du quotient. Un nombre pair de signes donne un signe positif et un nombre impair donne un signe négatif. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Un signe négatif, le résultat 5 sera négatif. = = 4 x 5 Inverse de 12 est = 5 Le résultat est négatif.

35 2 9 2) = Un signe négatif, le résultat sera négatif. = x 6 1 = 27 1 = Le résultat est négatif. ) 1 = x 2 1 Deux signes négatifs, le résultat sera positif. = 2 Le résultat est positif. 4) = 14,7 7 2,1 Deux signes négatifs, le résultat sera positif. Le résultat est positif.

36 EXERCICE Effectuer les divisions suivantes. a ( 4) k b l c m d n e o f. 0 2 ( 4) 5 p g q. 7 ( 54) h r i. 7 j s t Effectuer les divisions suivantes. a. b. c. 5,75 2, 14,72 1,6 29,151 4,1 d. e. f. 1, ,12 4,81 5,9 26,6 7

37 Effectuer les quatre opérations dans les nombres rationnels, en respectant l'ordre des opérations Pour résoudre des expressions mixtes avec ou sans parenthèses il faut, en tout temps, tenir compte de la loi des signes et suivre la procédure suivante. 1. Transformer les nombres fractionnaires en expressions fractionnaires. 2. Effectuer d'abord les opérations qui apparaissent à l'intérieur des parenthèses en commençant par celles à l'intérieur.. Respecter la priorité de l'exponentiation sur la multiplication. 4. Respecter la priorité des opérations, c'estàdire : exécuter les multiplications et/ou les divisions dans l'ordre où elles apparaissent, exécuter les additions et/ou les soustractions ensuite. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) ( 5) Expression fractionnaire et parenthèses. = = = Deux signes négatifs, le résultat 56 8 sera positif. 1 = 9 x 8 L'inverse de 7/8 est 8/7. On 56 7 effectue la multiplication. 7 = 9 Le résultat est positif. 49

38 1 2) Parenthèses = = = = = = x (...) veut dire 4 x On additionne les négatifs. 12 = 10 = ) x Expression fractionnaire et parenthèses. = + 5 x = + 5 x On effectue la multiplication =

39 2 2 = x 2 5 L'inverse de 5/2 est 2/5. On effectue la multiplication. = = = = ) C C 1 5 Expression fractionnaire. = C C 1 5 On effectue les multiplications. = C = = = = 7 12 = 1 12

40 5) 7,21 ( 15,2) x 2,7 + [,72 + (2,1 0,7)] = 7,21 ( 15,2) x 2,7 + [,72 + ] = 7,21 ( 15,2) x 2,7 + 6,72 = 7,21 ( 41,04) + 6,72 = 7, ,04 + 6,72 = 54,97 Parenthèses. On effectue la multiplication. On effectue les additions.

41 EXERCICE Effectuer les opérations indiquées. a. ( 9) b ( 2) 2 c. 4 ( ) 1 (1) d e. 1 ( 2) 1 ( ) f g h i C 2 5 C j. 7 C k l ( 5)

42 EXERCICE 6 5 m. 0,45 +( 0,27) x ( 0,) n. 0,225 0,5 x 0,71 0, ,9 + 9,9 9,99 x 0,01 2 p. 0,016 0,4 x (0,4) q. 1,1 + 2, (,7) + (,8) r. 8,15 x 2( ) s. (14,4 0,4)(, + 6) t. (2,5)(2,5)( 2,5)(2,5)

43 6 1.5 EXPRIMER UN NOMBRE RATIONNEL EN NOTATION SCIENTIFIQUE En science, on travaille souvent avec des nombres très grands ou très petits. La lecture de ces nombres devient difficile si l'on emploie la notation courante. Il est possible d'exprimer ces nombres de façon comprimée en utilisant des exposants. Cette façon d'écrire ces nombres s'appelle la NOTATION SCIENTIFIQUE. Écrire un nombre en notation scientifique c'est l'exprimer sous la forme du produit d'un nombre compris entre 1 et 10 et d'une puissance de 10. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) La distance entre Vénus et le soleil. Notation courante : Notation scientifique : 2,58 x ) Le rayon d'un atome. Notation courante : 0, mm Notation scientifique : 5 x 10 9 mm 1 er cas : les très grands nombres Soit le nombre on peut écrire 4,5 x ou 4,5 x 10 5 Le premier facteur (4,5) est un nombre compris entre 1 et Le deuxième facteur (10 ) est une puissance de 10. Remarque

44 7 L'exposant 5 est égal au nombre de zéro dans MÉTHODE 1. Écrire le nombre avec un chiffre avant la virgule. 2. L'exposant (positif) de la puissance de 10 sera le nombre de chiffres compris entre l'ancienne et la nouvelle position de la virgule = 4,5 x 10 5 ÆÉÈÉÇ 5 chiffres +)))))))), *Exemples*.)))))))) 6 1) peut s'écrire 4 x ) peut s'écrire 5,47 x 10. Remarque Pour passer de la notation scientifique à la notation courante, il suffit de déplacer la virgule vers la droite. 6 Soit à changer 5,84 x 10. Puisque l'exposant est 6, on déplace la virgule de 6 positions vers la droite. On écrit

45 8 e 2 cas : les très petits nombres Soit le nombre 0, On peut écrire ou donc 5 x 10 9 loi des exposants x y = 1. x y Le premier facteur (5) est un nombre compris entre 1 et Le deuxième facteur (10 ) est une puissance de 10. MÉTHODE 1. Écrire le nombre avec un chiffre avant la virgule. 2. L'exposant (négatif) de la puissance de 10 sera le nombre de chiffres entre l'ancienne et la nouvelle position de la virgule. 0, = 5 x 10 9 ÆÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÇ 9 chiffres +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 0, peut s'écrire 6,4 x ) 0, 017 peut s'écrire 1,7 x 10 2.

46 9 Remarque Pour passer de la notation scientifique à la notation courante, il suffit de déplacer la virgule vers la gauche. Soit à changer 9,51 x Puisque l'exposant est 5, on déplace la virgule de 5 positions vers la gauche. On écrit 0,

47 EXERCICE Écrire chacune des longueurs suivantes en notation scientifique. a. La distance de mars au soleil est km. b. La longueur du canal de Suez est de cm. c. Pluton est à environ km du soleil. d. Le diamètre d'un globule rouge mesure 0, mm. e. L'aile du plus petit insecte connu mesure 0,000 mm de longueur. f. La longueur d'onde de la lumière rouge est de 0, cm. g. Le rayon du noyau de l'atome est 0, cm. h. La plus grande distance de la terre au soleil est de km. i. Le diamètre d'un fil d'acier est de 0, m. j. Un virus a environ 0, cm de longueur. k. Le diamètre d'un flocon de neige est de 0,25 cm. l. L'étoile la plus brillante est à km de la terre. 2. Exprimer en notation scientifique. a. 50 x 10 b. 100 x 10 4 c. 56 x 10 4 d. 0,6 x 10 5 e. 25 x 10 1 f. g. h. i. j. 6, x ,005 6 x 10 0,004 x ,005 x Écrire en notation décimale. a. 5,82 x 10 8 b. 1,24 x 10 9 c. 1,2 x d. 7,01 x 10 5 e. 4,5 x 10 2 f. 0,546 x 10 g. 0,22 x 10 h. 0, x 10 4 i. 2,55 x j. k. l. m. n. o. p. q. r.,64 x ,5 x ,08 x 10 5,05 x x x x 10 6 x x 10 5

48 EXERCICE Transformer chacun des nombres suivants en notation scientifique. a. 4 f b. 76 g c. 191 h d. 0 i e. 49 j

49 RECONNAÎTRE UN NOMBRE IRRATIONNEL Quand on extrait la racine carrée de certains nombres premiers tels que 1,, 5, 7, etc., on ne peut obtenir ni une, / racine, /5, exacte, /7, etc.) ni un ne nombre sont pas décimal compris périodique. dans l'ensemble Ces nombres des ( nombres /1 rationnels car ils ne peuvent par prendre la forme a/b. Ces nombres appartiennent à un nouvel ensemble : l'ensemble des NOMBRES IRRATIONNELS. Donc, un nombre irrationnel est un nombre que l'on ne peut pas mettre sous la forme a/b. Tous les éléments de ce nouvel ensemble ne sont pas présentés sous la forme d'une racine, le nombre B que l'on utilise en géométrie qui est égal à,14... en est un exemple.

50 4 2.2 SIMPLIFIER DES RACINES CARRÉES Parfois l'on peut simplifier des racines carrées dont le radicande est numérique. /12 = radical / = symbole du radical 12 = radicande Soit /6 = /4 x 9. /6 = /4 x /9 6 = 2 x 6 = 6 +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Simplifier /00. Donc /00 = /100 x Trouver un carré parfait. = /100 x / = 10 x / Extraire la racine carrée du carré parfait. = 10 / Laisser l'autre terme sous forme d'un radical. 2) Simplifier /45. /45 = /9 x 5 = /9 x /5 = x /5 = /5

51 EXERCICE Simplifier chacune des racines carrées. a. /6 h. /18 b. /20 i. /200 c. /48 j. /72 d. /500 k. /75 e. /24 l. /2 f. /147 m. /8 g. /50 n. /45

52 45 2. RECONNAÎTRE L'ENSEMBLE DES L'ensemble des se définit comme l'union de l'ensemble des nombres rationnels et l'ensemble des nombres irrationnels. Le symbole de cet nouvel ensemble est R. RELATION ENTRE LES DIVERS ENSEMBLES DE NOMBRES nombres nombres nombres entiers naturels rationnels (Z) (N) (R) nombres irrationnels ensemble des nombres réels

53 46 +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 6 est un élément de divers ensembles soient il est un nombre naturel, un entier, un rationnel et un nombre réel. 2) /6 est un élément de deux ensembles soient il est un nombre irrationnel et un nombre réel.

54 EXERCICE DE RENFORCEMENT 47.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT 1. Écrire un nombre rationnel correspondant. Trouver son opposé. a. une baisse de 4E C b. une augmentation de 2,40 $ c. un profit de 10 mille dollars d. une diminution de 5 1/4 l'heures 2. Exprimer sous la forme fractionnaire a/b. a. 0,57 d. 81 b. 18,9 e. 101 c. 2 5 f Exprimer en notation décimale. a. 1 c b. 1 7 d Écrire un nombre rationnel irréductible dont le dénominateur est positif. a. 8 c b. 4 d

55 EXERCICE DE RENFORCEMENT Écrire en ordre croissant. a. { 1 1/5; 2,82; 2,05; 175; 1 9/6 } b. { 4/5; 8/7; 7,; 6,1; 6; 9 } 6. Écrire en ordre décroissant. a. { 2,2; 4,6;,8; 5/2; 4/7 } b. { 12,5; 1 2/; 1,56; 1 4/7; 1 7/2 } 7. Identifier les coordonnées A, B, C, D, E et F. A C B S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 1/16 /8 1/2 F D E S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> /2 8. Effectuer les opérations indiquées. 2 2 a e. ( 1)( 4) + 6 (4 8) b. 1 f. ( 20 10) ( 4 ) ( 20 4) 5 c. 12 g. 2 2 ( 5) 5 6 (2) () 21 7 d h x ( 1) + ( 5 x 2 ) 2 4

56 EXERCICE DE RENFORCEMENT 49 i. 2 ( 1) n j. ( 1) + 2 o. 1 ( ) k. ( 1) + 2 p l. ( 2)( 1) 2 q. ( ) 9 ( 1) + ( ) m r Écrire chacun des nombres en notation scientifique. a. 0, d. 18,7 b. 0, e c f. 0, Écrire chacun des nombres en notation décimale. a. 9, x 10 5 d. 8,7 x 10 6 b. 7,14 x 10 4 e., x 10 8 c. 5,12 x 10 2 f. 4, 00 1 x Calculer la valeur. a. (1/2) 5 e. (0,1) 9 b. 4 ( ) f. 4 ( 2) c. ( 0,2) g. ( 1/) d. 6 ( 8) h. ( 4) 2

57 EXERCICE DE RENFORCEMENT Simplifier chacune des racines carrées. a. b. c. d. /24 /00 /12 /18 e. f. g. h. /125 /27 /72 /128

58 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 CORRIGÉ (Cahier ) DIAM911206

59 BAPG\980

60 CORRIGÉ 1 EXERCICE 1, PAGE 8 1. a $ c. 4 1/ $ 4 1/2 b. 4,5 kg d. 5E C 4,5 kg 5E C 2. a. 0,4 c. 0,6 b. 0,5 d. 0,125. a. 4/100 c. /5 b. 5/4 ou 1 1/4 d. 27/10 ou 2 7/10 4. a. positif c. positif b. négatif d. négatif 5. a. 7/10 c. 19/1 b. 1/6 d. 2/10 6. a. 4/11 ou 4/11 c. 1/12 b. /5 d. 1/2 ou 1/2 7. a. + { ; /4; 0,45; } b. { 9,6;,2; 1,6; 6 4/5 } + c. { 4,6; 1,; 0; 1, } d. { /4; 2/; 2/5; 6/5 }

61 CORRIGÉ 2 8. a. { 4; 1 1/; 1 /4;,2 } b. { 2,4; 0; 0,0; 0,06 } c. { /10; 0,025; 1,5; 1 7/8 } d. { 5,2; 0,2; /8; 4 } 9. S)))))))2)))))))2)))))))2)))))))2)))))))2)))))))2)))))))Q> 2 1/4 2 1,5 1 5/8 0 7/8 1 1, /2 EXERCICE 2, PAGE a. 1/2 n. 1 b. 1/7 o. 5 4/5 c. 1 2/7 p. 6 5/6 d. /20 q. 2 55/84 e. 1 1/24 r. 1/24 f. 1 7/20 s. 2/ g. 4/5 t. 2 8/11 h. 8/15 u. /5 i. 1/6 v. 2 1/2 j. 1 7/8 w. 2/9 k. 1 8/9 x. 1 l. 11 1/4 y. 8 11/12 m. 1/4 z. 5 1/4 2. a. 1,17 f.,29 b. 22,46 g. 80,521 c. 7,11 h. 9,1 d. 11,25 i. 29,27 e. 224,58 j. 21,05

62 CORRIGÉ EXERCICE, PAGE a. 1 1/7 k. 1/ b. 4 l. 28/45 c. 0 m. 2 7/40 d. 5 1/25 n. 1 e. 2 1/2 o. 2/9 f. /7 p. 16 1/2 g. 1 q. 1 1/2 h. /4 r. 8/27 i. 4/9 s. 2/9 j. 1/64 t. 2 1/ 2. a. 0, b. 122,985 c. 8, f. d. 66,69 e. 42, ,56 EXERCICE 4, PAGE a. 64 k. 0,000 2 b. 4/9 l. 1/625 c. 1/1000 ou 0,001 m. 0, d. 4 n. 125/27 = 4 17/27 e. 625 o. 125/216 f. 1/128 p. 1/ ou 0, g. 0, q. 1 h. 1/9 r. 1 i. 81 s. 4 j. 1/ t. 1

63 CORRIGÉ 4 EXERCICE 5, PAGE a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 4/25 /4 14/15 5/9 5/ /5 98 2/ 4 /8 m. k. l. 2/1 n. o. p. q. r. s. t. 11/20 26/41 5/6 1 1/6 5/81 1/ /2 1 /7 2. a. b. c. 2,5 9,2 7,11 d. e. f.,4 5,9,8 EXERCICE 6, PAGE 4 1. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j /25 1 1/2 47/75 1/ /60 1/12 /8 m. s. k. l. 0,51 n. o. p. q. r. 10,2 t. 1 2/ 9/49 0, , , , 48,9 9,062 5

64 CORRIGÉ 5 EXERCICE 7, PAGE a. 2,49 x 10 8 g. x 10 1 b. 1,95 x 10 7 h. 1,52 x 10 8 c. 7,4 x 10 9 i. 5,6 x 10 5 d. 7,9 x 10 5 j. 7,6 x 10 9 e. x 10 4 k. 2,5 x 10 1 f. 6,7 x 10 5 l. 8,2 x a. 5 x 10 4 f. 6,28 x 10 0 b. 1 x 10 6 g. 5 x 10 8 c. 5,6 x 10 h. 5,6 x 10 0 d. 6 x 10 6 i. 4 x 10 e. 2,5 x 10 2 j. 5 x a j.,64 b. 0, k c l. 0, d. 0, m. 0, e. 45 n. 0,021 f. 546 o. 0, g. 0, p h. 0, q. 6 i r. 0, a.,4 x 10 f. 6,51 x 10 1 b. 7,6 x g. 4,5 x 10 c. 1,91 x 10 5 h. 7,2 x 10 0 d. x 10 5 i. 2,7 x 10 5 e. 4,9 x 10 2 j. 8,7 x 10 2

65 CORRIGÉ 6 EXERCICE 8, PAGE a. /7 h. /2 b. 2/5 i. 10/2 c. 4/ j. 6/2 d. 10/5 k. 5/ e. 2/6 l. 4/2 f. 7/ m. 2/2 g. 5/2 n. /5 EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE a. 4E C ; 4E C c $ ; $ b. 2,40 $ ; 2,40 $ d. 5 1/4 heures ; 5 1/4 heures 2. a. 57/100 d. 81/1 b. 189/10 e. 101/1 c. 19/7 f. 1/4. a. 0,5 c. 0, b. 1,875 d. 0,52 4. a. 1/2 c. b. 1 /40 d. 2 1/4 4/5 5. a. { 2,82; 2,05; 1 1/5; 1 9/6; 175 } b. { 9; 6,1; 8/7; 4/5; 6; 7, }

66 CORRIGÉ 7 6. a. { 2,2; 4/7; 5/2;,8; 4,6 } b. { 12,5; 1 2/; 1,56; 1 4/7; 1 7/2 } 7. A = { 1/8 } D = { 0 } B = { /4 } E = { 2 } C = { 1/4 } F = { 5/2 } ou { 2 1/2 } 8. a. 2/24 j. 1/ b. 5/9 k. 1 c. 1/7 l. 1 d. 1/12 m. 1/4 e. 10 n. 4/11 f. 7 o. 1 /40 g. 7 p. 4/5 h. 14 q. 1 1/20 i. 1 r. 1 1/5 9. a. 7,64 x 10 d. 1,87 x 10 b. 9 x 10 4 e. 9,1 x c. 2 x 10 6 f. x a. 0, d. 0, b e c. 0,051 2 f. 4 00,1 11. a. 1/2 e. 0, b. 81 f. 1/16 c. 0,04 g. 1/27 d h. 1/64

67 CORRIGÉ a. 2/6 e. 5/5 b. 10/ f. / c. 2/ g. 6/2 d. /2 h. 8/2

68 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 DEVOIR ET CORRIGÉ

69 DEVOIR 1 1. Écrire un nombre rationnel correspondant. Trouver son opposé. (8 pts) a. un gain de 10,25 $ b. une chute de 10 m 2. Exprimer sous la forme fractionnaire a/b. (12 pts) a. 8,27 d. 19 b. 1 1/20 e. 5/8 c. 0,02 f Exprimer en notation décimale. (8 pts) a. /2 c. 2/5 b. 5 1/5 d. 7/10 4. Écrire un nombre rationnel irréductible dont le dénominateur est positif. (8 pts) a. 8 c b. 9 d Écrire en ordre croissant. (2pts) { 1/2; 5/12; 7/8; ;,5 } DIAM BAPG\9804

70 DEVOIR 2 6. Écrire en ordre décroissant. (2 pts) { 2 2/; /4; 10/ ; 4; 6/ } 7. Identifier les coordonnées A, B, C, D et E. (5pts) E D B C A S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))Q> Effectuer les opérations suivantes. (0 pts) a b. 2,51 x 1,5 x 5 c d e. + 5 x f g. ( 18,5)(,5)( 26,6) h i. 4 + ( 5) j

71 DEVOIR 9. Calculer la valeur. 6 (8 pts) a. (1/2) c. ( ) 4 b. (0,7) d. ( 4) 10. Simplifier. (5 pts) a. %108 d. %48 b. %20 e. %98 c. % Écrire chacun des nombres en notation scientifique. (6 pts) a c b. 0, Écrire chacun des nombres en notation décimale. (6pts) a. 2,7 x 10 7 c. 6 x 10 9 b. 1,28 x 10 6

72 CORRIGÉ DEVOIR 1 1. a. 10,25 $ 10,25 $ b. 10 m 10 m 2. a. 827/100 d. 19/1 b. 21/20 e. 29/8 c. 2/100 f. 679/1. a. 1,5 c. 0,4 b. 5,2 d.,7 4. a. 1 /5 c. 1/22 b. 2 1/4 d. 1/4 5. { ; 5/12; 1/2; 7/8;,5 } 6. { 4; 10/ ; 2 2/; 6/; /4 } 7. A = { 2/ } B = { 1/ } C = { 1/ } D = { 5/ } ou { 1 2/ } E = { 7/ } ou { 2 1/ }

73 CORRIGÉ DEVOIR 2 8. a. 5 5/12 f. 14/25 b. 18,825 g ,55 c. 2 5/8 h. 60 d. 7/22 i. 17/45 e. 4 1/18 j. 14/2 9. a. 1/64 c. 1/27 b. 0,4 d a. 6/ d. 4/ b. 2/5 e. 7/2 d. /5 11. a. 1,1 x c. 2 x b.,4 x a. 0, c b