Corrigé du Devoir Surveillé n 2

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1 ECS 1 Dupuy de Lôme Vendredi 1 octobre 00 Corrigé du Devoir Surveillé n EXERCICE 1 Propriétés des coefficients du binôme Soient p,, n trois entiers naturels. ( 1. a. D après la petite formule, j en déduis immédiatement le résultat. ( n. En divisant les deux membres de cette égalité par +1 b. Soit n 1. D après la question précédente et la formule du binôme de Newton, j odtiens : n ( 1 n S 1 1 n ( 1 ( ( 1 ( S S 3 n ( n ( n 1 n ( ( ( ( ( n n + 1 n 1 ( n ( 1 ( ( n + 1 ( 1 1 ( ( 1 ( 1. a. ( ( n p n!!(n!! p!( p! n! p!(n p! n! p!(n p! b. Soit (p, n N N tel que p < n, alors S S p0 (n p! (n!(n p n +! ( ( n n p ( ( ( ( ( n n n p n p p p0 p0 n ( ( n n ( ( n n p ( 1 n ( 1 n p p n p n p ( n p p ( n p ( 1 ( n p (1 1 n p 0 car p < n. (n p! (n!( p! ( ( n n p p n ( n n ( n p ( 1 n p n p EXERCICE Grilles de mots croisés Une grille de mots croisés est un tableau rectangulaire de longueur (ou largeur n et de hauteur p, constitué de n p cases, certaines étant noircies, d autres non! Dans cette première partie, on s intéresse aux grilles 6 à cases noires. 1

2 1. Pour savoir combien de grilles avec cases noires on peut former, il suffit de remarquer qu une telle grille est entièrement déterminée par la positition des cases noires. choix de cases noires parmi (. ( Il y a donc grilles possibles.. Parmi ces grilles dénombrons celles qui ont a. au moins un coin noirci Il est plus aisé de dénombrer le complémentaire. En effet une grille sans coin noir correspond aux choix de cases parmi les 0 qui ne sont pas des angles. Par conséquent il y a ( 0 grilles sans aucun angle noir. J en déduis qu il y a ( ( 0 b. exactement deux coins noircis. grilles ayant au moins un angle noir. je choisis deux angles ( je choisis deux autres cases ( 0 ( 0 Au total, il y a donc grilles avec exactement deux coins noircis. c. exactement une case noire par colonne. Chaque colonne d une telle grille contient une case noire : il s agit donc du graphe d une application de [[1, ]] vers [[1, 6]]. Le nombre d applications de [[1, ]] vers [[1, 6]] est Au total, il y a donc 6 grilles avec exactement une case noire par colonne. d. Exactement une case noire par colonne et au plus une case noire par ligne. Comme chaque colonne d une telle grille contient une case noire, il s agit donc du graphe d une application de [[1, ]] vers [[1, 6]]. Comme de plus chaque ligne contient au plus une case noire cette application est injective. On peut donc représenter les grilles possédant exactement une case noire par colonne et au plus une case noire par ligne par les graphes d applications injectives de [[1, ]] dans [[1, 6]]. Au total, il y a donc A grilles avec exactement une case noire par colonne et au plus une case noire par ligne. On s intéresse à présent aux grilles de n p cases dont sont noires, où [[1, np]]. 3. Une grille est déterminée par le choix de cases noires parmi np cases. Il y a donc. Parmi ces grilles dénombrons celles qui ont ( np grilles différentes. a. au plus une case noire par colonne. Pour une telle grille, remarquons tout d abord, qu il y a exactement colonnes qui seront occupées, chacune contenant exactement une case noire. Pour dénombrer ces grilles, j utilise le Principe des Bergers : je choisis colonnes parmi les n colonnes de la grille je choisis une case dans chacune des colonnes selectionnées Il s agit du graphe d une application des colonnes selectionnées vers les p lignes disponibles. ( n Au total, il y a donc b. au plus une case noire par colonne et au plus une case noire par ligne. Pour dénombrer ces grilles, j utilise le Principe des Bergers : ( n p p grilles contenant au plus une case noire par colonne. je choisis colonnes parmi les n colonnes de la grille ( n je choisis une case dans chacune des colonnes selectionnées Comme chaque ligne doit contenir au plus une case noire, il s agit du graphe d une application injective des colonnes selectionnées vers les p lignes disponibles. A p ( n Au total, il y a donc A p grilles contenant au plus une case noire par colonne. EXERCICE 3 Compositions d entiers

3 Définition : Soit n N un entier naturel non nul. On appelle composition de n toute liste d entiers supérieurs ou égaux à 1, dont la somme vaut n. Une composition (n 1, n,..., n p de n vérifie donc n 1 + n + + n p n 1. Compositions de 1 il y a une seule composition de 1 : (1 Compositions de il y a deux compositions de : ( et (1,1. Compositions de 3 il y a compositions de 3 : (3, (1,, (,1, (1,1,1 D où C(1 1, C( et C(3.. Soit n un entier naturel non nul. Il y a une seule composition de n de longueur 1 : (n. N(1, n 1 Dénombrons les compositions de n de longueur. Il s agit des couples (, l d entiers non nuls tels que + l n Pour dénombrer ces couples j utilise le principe des Bergers je choisis [[1, n 1]] je choisis l [[1, n 1]], tel que + l n, ie. l n. Il n y a donc qu une seule possibilité pour le choix de l. (n 1 1 possibilité Au total, il y a n 1 compositions de n de longueur : N(, n n 1 3. Soit p N un entier naturel non nul et n un entier naturel supérieur ou égal à tel que 1 p n 1. On note pour tout [[1, n]] E l ensemble des compositions de n de longueur p + 1, pour lesquelles n p+1. Remarquons tout d abord que les (E [1,n]] forment une partition de l ensemble des compositions de n de longueur p + 1, de sorte que par additivité du cardinal : N(p + 1, n n Card E. Soit [[1, n]]. Pour dénombrer E, j utilise le Principe des Bergers : je choisis n p+1 je choisis (n 1,..., n p de sorte que 1 n n p n 1 possibilité (n 1,..., n p est donc une composition de longueur p de n. N(p, n Au total, il y a N(p, n façons de construire une composition de longueur p + 1 de n pour laquelle n p+1. Autrement dit Card E N(p, n En particulier, Card E 0 lorsque n < p, i.e. > n p. Finalement, N(p + 1, n Card ( n E 1 n 1 n p n p Card E Card E N(p, n N(p, 1 1 p D où N(p + 1, n N(p, n 1 + N(p, n + + N(p, p N(p, p 3

4 . Notons pour tout entier naturel non nul p N, P(p la propriété ( n 1 n p, N(p, n Montrons par récurrence sur p que p N, Initialisation : lorsque p 1, nous avons déjà vu à la question que pour tout entier naturel non nul n, N(1, n 1. Comme ( 0 1, la propriété P(o est vraie. Hérédité : soit p N tel P(p est vraie. Soit n p + 1. D après la question précédente et l hypothèse de récurrence, il vient : N(p + 1, n ( 1 N(p, p p P(p hypothèse de récurrence [( ( ] 1 relation de Pascal p p p ( ( ( n 1 n 1. télescopage p p p Conclusion : par récurrence sur p N, j ai prouvé que n p, N(p, n ( n 1. Soit n N fixé. Pour dénombrer l ensemble de toutes les compositions de n, je peux discuter suivant la longueur de celles-ci. Sachant qu il y a N(p, n compositions de n de longueur p, j obtiens en sommant sur p [[1, n]] par le formule du binôme de Newton. C(n nn(p, n ( n 1 ( n 1 n (1 + 1, p1 p1 Par conséquent n N, C(n EXERCICE Jeu de cartes Dans un jeu de 3 cartes, on tire une main de cinq cartes au hasard. 1. L univers Ω des possibles est l ensemble des choix simultanés de cinq cartes parmi 3. Ω C(, 3 Comme les tirages se font au hasard, Ω est muni de la probabilité uniforme Card Ω ( 3. Soit A l événement obtenir un carré. Comme Ω est muni de la probabilité uniforme,p (A Card A Card Ω. Dénombrons A : je choisis une hauteur pour le carré ( 8 1 je choisis cartes à cette hauteur ( je choisis une carte d une autre hauteur ( 8 1 Au total, Card A 8 8. D où la probabilité d obtenir un carré est P (A ( 3

5 3. Soit B l événement obtenir cinq cartes de la même couleur (trèfle, pique, carreau ou cœur Dénombrons B : je choisis une couleur ( 1 je choisis cinq cartes dans la couleur choisie ( 8 Au total, Card B ( 8 ( 8. D où la probabilité d obtenir cinq cartes de même couleur est P (B. Soit C l événement obtenir au moins un pique. Pour calculer la probabilité de C, il est préférable de dénombrer d abord son complémentaire. En effet comme C est l ensemble des mains sans aucune carte de couleur pique, il y a ( ( mains différentes dans C. Par conséquent : P (C 1 ( 3. Soit D l événement obtenir exactement un as et deux piques Pour dénombrer D, il convient de distinguer deux cas suivant que la main contient ou non l as de pique : Notons D 1 l ensemble des mains de D qui contiennent l as de et D l ensemble des mains de D qui ne contiennent pas l as de. Dénombrons D 1 je choisis l as de pique ( 1 1 possibilité je choisis un autre pique ( 7 1 je choisis 3 cartes ni as, ni pique ( 3 1 Au total, Card D 1 7 ( 1 3. Dénombrons D je choisis un as parmi 3 ( 3 1 je choisis deux piques, mais pas l as ( 7 je choisis cartes ni as ni piques ( 1 Au total, Card D 3 ( 7 ( 1 Finalement, les événements D 1 et D étant incompatibles,. P (D P (D 1 + P (D 7 ( ( ( 1 6. Soit E l événement la main contient deux paires, mais ni carré, ni full. Pour dénombrer E, j utilise le Principe de Bergers je choisis trois hauteurs différentes ( 8 3 Notons {h 1, h, h 3 } les hauteurs obtenues. Parmi ces trois hauteurs deux devront être répétées pour former des paires say h 1, h for instance l autre n apparaîtra qu une seule fois dans la main h 3. je choisis la hauteur qui n apparaîtra qu une fois ( 3 1 A ce stade, la main aura l allure suivante double h 1 h : Il ne reste qu à choisir les couleurs {h 1, h 1 ; h ; h ; h 3 } je choisis deux cartes à la hauteur h 1 ( je choisis deux cartes à la hauteur h ( je choisis une carte à la hauteur h 3 ( 1 Au total, il y a ( 3 8 ( 1( 1( 3( ( façons différentes de construire une main contenant deux paires sans full ni carré. D où P (E 7 ( 8 3 ( 3 ( 3 ( 3

6 EXERCICE La pêche aux canards Le bassin A contient canards jaunes et 3 canards oranges, le bassin B contient canards jaunes et un canard orange. On définit pour tout entier {1,, 3}, les événements J le ième canard péché est de couleur jaune A le ième tirage a lieu dans le bassin A O le ième canard péché est de couleur orange B le ième tirage a lieu dans le bassin B 1. Grâce à la formule des probabilités composées, nous pouvons calculer 1 P (A 1 A A 3. P (A 1 A A 3 P (A 1 P (A A 1 P (A 3 A 1 A P (A 1 P (J 1 A 1 P (J A 1. Pour calculer la probabilité de A, utilisons la formule des probabilités totales pour le système complet d événements non négligeables (A 1, B 1. Il vient P (A P (A 1 P A1 (A + P (B 1 P B1 (A P (A 1 P A1 (J 1 + P (B 1 P B1 (O Pour calculer la probabilité de J, tout dépend dans quel bassin a lieu la deuxième pêche. D après la question précédente P (A Comme (A, B est un système complet d événements, j en déduis que P (B 1 P (A La formule des probabilités totales pour le système complet d événements non négligeables (A, B donne finalement P (O P (A P A (O + P (B P B (O On cherche P J (A 1. D après la formule de Bayes P J (A 1 P (A 1 J P (J Comme (J, O est un système complet d événements, en particulier P (O + P (J 1. Utilisant le résultat de la question précédente j en déduis tout d abord que P (J 17. Pour calculer la probabilité de A 1 J, j utilise la formule des probabilités totales pour le système complet d événements non négligeables (A, B ainsi que la formule des probabilités composées, il vient D où je tire P (A 1 J P (A 1 A J + P (A 1 B J P (A 1 P (A A 1 P (J A A 1 + P (A 1 P (B A 1 P (J B A 1 P (A 1 P (J 1 A 1 P (J A + P (A 1 P (O 1 A 1 P (J B P J (A les conditionnements étant non négligeables 6

7 EXERCICE 6 Compagnie d assurance Une compagnie d assurance automobile a classé ses assurés en trois classes d âges C 1, C, C 3. On sait que P (C 1 0,, P (C 0, 0, P (C 3 0,. Notons D l événement l assuré a declaré au moins un accident au cours de l année. L énoncé précise les probabilités conditionnelles P (D C 1 0, 1, P (D C 0, 0 et P (D C 3 0, D après la formule des probabilités totales pour le système complet d événements non négligeables (C 1, C, C 3 donne : P (D P (C 1 P (D C 1 + P (C P (D C + P (C 3 P (D C On cherche P (C 1 D. La formule de Bayes donne P (C 1 D P (C 1 P (D C 1 P (D 0, 0, 1 0, On cherche la probabilité que l individu ait un accident sachant qu il appartient à la classe C ou à la classe C 3. P (D C C 3 P (D (C C 3 P (C C P (D C + P (D C 3 P (C + P (C 3 0, 0, 0 + 0, 0, 08 0, 7 7. Dans cette question, on cherche la probabilité qu un individu appartienne à la classe C sachant qu il n a déclaré aucun accident. D après la formule de Bayes P (C D P (C P ( D C P ( D 0, 0 0, 96 0,