Représentation Binaire des Nombres Entiers et Réels

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Léonie Rancourt
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1 Représentation Binaire des Nombres Entiers et Réels Carlo Pinciroli 21 septembre 2015 Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

2 Objectifs de la leçon Comprendre le concept de base numérique Comprendre la représentation binaire des nombres entiers positifs, negatifs, et réels Savoir convertir entre la représentation decimale et binaire d un nombre entier Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

3 Le concept de base numérique Définition Base numérique : le nombre de chiffres uniques, zéro inclus, utilisées pour représenter les nombres dans un système numeral positionale. Exemple = En général c 1 c 2... c n = c 1 b n 1 + c 2 b n c n b 0 = n i=1 c ib n i Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

4 Le système binaire Dans le système binaire, les chiffres permises sont seulement 0 et 1. Exemple = = = 5 10 Une fois qu on a fixé le nombre de bits à utiliser pour la représentation d un nombre, ex. 3 bits, ça definie une arithmétique modulaire. Ça comporte que, avec 3 bits, = Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

5 Conversion base 10 base 2 Procédure Divisez le nombre base 10 par 2 Le reste de la division est la chiffre la moins significative Continuez à diviser et à assigner la prochaine chiffre moins significative jusqu à ce que le quotient est zéro. Exemple Conversion de 6 10 : 6 / 2 = 3 (reste 0) 3 / 2 = 1 (reste 1) 1 / 2 = 0 (reste 1) Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

6 Conversion base 2 base 10 Procédure Prenons le nombre c 1 c 2... c n en base 2. En commençant par la chiffre la plus significative, calculez x i = 2x i + c i (où x 0 = 0). Le nombre en base 10 cherché est x n. Exemple Conversion en base 10 de : i c i x i explication 0-0 début résultat Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

7 Représentation des nombres entiers négatifs Une approche naïve En principe, on pourrait représenter les nombres negatifs en encodant le signe avec un bit. Par exemple, avec 8 bits, on pourrait dire que : Ça nous force à traiter l addition et la soustraction différemment, parce que Une approche sans ce probléme existe. Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

8 Représentation des nombres entiers négatifs Une approche plus efficace Un nombre négatif peut être vu comme le résultat d une soustraction : 1 10 = En base 2, avec nombres à 8 bits, ça devient : Et grâce à l arithmétique modulaire : = Cette représentation des nombres négatifs s appelle complément à deux. Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

9 Représentation de nombres entiers négatifs Exemple Imaginons de travailler avec 8 bits : = ( ) = = Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

10 Conversion base 10 base 2 Procédure 1 Prenez la valeur absolue et faisez la conversion en base 2 2 Invertez les bits 3 Sommez 1 Exemple Conversion de : = Inversion : Somme 1 : Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

11 Conversion base 2 base 10 Procédure 1 Soustrayez 1 2 Inversez le résultat 3 Convertissez la valeur absolue en base 10 4 Rajoutez le signe Exemple Conversion de : = Inversion : Conversion : Signe : négatif parce que la chiffre la plus significative en base 2 est Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

12 Représentation des nombres réels Une approche naïve Une façon simple de représenter valeurs réelles est de définir un interval MIN MAX pour les nombres négatifs, et puis le diviser en sub-intervaux identiques : Ça produit des problèmes : La précision de notre représentation depend de MIN MAX Trouver un interval MIN MAX qui marche de façon générale est impossible Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

13 Représentation des nombres réels Une approche plus efficace Une répresentation des valeurs réelles très utilisée en ingénierie est la notation scientifique : x = m b e x est la valeur réelle m est la mantissa ( R) b est la base ( N) e est l exponent ( Z) En base 10, la notation scientifique normalisée est quand la mantissa est écrite avec une seule chiffre (non-zero) avant le point décimale, ex Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

14 Représentation des nombres réels La notation scientifique en base 2 L idée fondamentale est d utiliser la notation scientifique normalisée en base 2 : m 2 e Par exemple : Quand la valeur réelle n est pas zéro, la mantissa a toujours un 1 comme chiffre plus significative. Pourtant, il n est pas necessaire de la retenir dans la représentation ; et ça nous permets d epargner un bit dans la représentation. On définie la fraction comme la partie de la mantissa après le point décimale. Par exemple : Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

15 Représentation des nombres réels Le standard IEEE754 Le standard IEEE754 est la représentation la plus utilisée des nombres réelles. Ce standard ne definie pas juste les nombres réelles normalisés, mais il est aussi capable de gérer valeurs infinies et operations indéfinies (comme le log d un nombre negatif). Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

16 Représentation des nombres réels Le standard IEEE754 : structure La structure d un nombre réel dans IEEE754 est : Type Sign Fraction Exponent Bias float 1 bit 23 bits 8 bits 127 double 1 bit 52 bits 11 bits 1024 Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

17 Représentation des nombres réels Sign Fraction Exponent Valeur f f 2 e bias 1 f f 2 e bias f 2 bias f 2 bias infini infini 1 > NaN Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

18 Resumé de la leçon Le concept de base numérique La représentation binaire des nombres entiers positifs, negatifs, et réels Conversion entre la représentation decimale et binaire d un nombre entier Carlo Pinciroli Représentation Binaire 21 septembre / 18

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