PLAN PLAN 24/09/2016. Khaled Hassine 1. Introduction. Introduction. Variables et fonctions binaires. Variables et fonctions binaires

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1 CHAPITRE I ALGÈBRE DE BOOLE Par : Khaled Hassine Khaled.hassine@fsg.rnu.tn 24/09/2016 Khaled Hassine 1 Khaled Hassine 24/09/ PLAN PLAN Introduction Introduction Variables et fonctions binaires Variables et fonctions binaires Du transistor aux portes logiques Du transistor aux portes logiques Théorèmes fondamentaux Théorèmes fondamentaux Récapitulatif 24/09/2016 Khaled Hassine 3 Récapitulatif 24/09/2016 Khaled Hassine 4 Khaled Hassine 1

2 De Boole à Shannon Objectifs George Boole ( ) défini vers 1850 une algèbre applicable aux raisonnements sur des propositions logiques : une proposition peut être vraie, à la quelle on attribue la valeur 1, ou fausse, dont la valeur est 0. Shannon en 1938 a appliqué cette algèbre à l'analyse des circuits de commutation : le courant passe ou ne passe pas, ce que l'on note également par 1 ou 0. Présenter d'une manière simplifiée les concepts fondamentaux de l algèbre de Boole en vue de son application aux conceptions des circuits de base d'un ordinateur. Conception de quelques circuits très utiles pour le fonctionnement d'un ordinateur : combinatoires (additionneur, multiplexeur,...) séquentiels (registres, compteur,...) 24/09/2016 Khaled Hassine 5 24/09/2016 Khaled Hassine 6 PLAN Variables logiques Introduction Variables et fonctions binaires Du transistor aux portes logiques Théorèmes fondamentaux Récapitulatif Une variable logique (ou encore binaire ou booléenne) est une variable dont la valeur appartient à un ensemble de deux éléments représentés en binaire par les symboles 0 et 1. (A est une variable logique, A {0,1}). Par convention, une variable logique est : vraie si sa valeur est 1, fausse dans le cas contraire. 24/09/2016 Khaled Hassine 7 24/09/2016 Khaled Hassine 8 Khaled Hassine 2

3 En électronique En électronique Deux états associés à deux niveaux de tension: V(0) et V(1) pour les états 0 (inférieur à +0.8 V) et 1 (+2 V et +5 V ). On distingue les logiques positive et négative selon que V(1) > V(0) ou V(1) < V(0). 24/09/2016 Khaled Hassine 9 24/09/2016 Khaled Hassine 10 Fonctions logiques Table de vérité Une fonction logique (ou booléenne) est une fonction à n variables logiques dont la valeur appartient à l'ensemble {0,1} : F(A 1, A 2,..., An) à {0,1}. Toute fonction logique peut être réalisée à l aide d un petit nombre de fonctions logiques de base aussi appelées opérateurs logiques ou portes (gates) La fonction F est parfaitement définie par la donnée des ses valeurs pour les 2 n combinaisons possibles des n variables. Le tableau de correspondance entre les états d entrée et les états de sortie. Le tableau représentant les 2 n valeurs s'appelle la table de vérité de la fonction. 24/09/2016 Khaled Hassine 11 24/09/2016 Khaled Hassine 12 Khaled Hassine 3

4 Fonctions logiques à une variable Opérateur complémentation A F 1 : Coupure F 2 : Identité F 3 : Inverse F 4 : Passage La fonction F 3 : A fonction de base très utile. C'est la fonction inverse appelée encore complémentation ou négation de la variable A se lit : non A ou encore A barre. À une fonction correspond toujours un opérateur réalisant cette fonction. L'opérateur de complémentation, appelé l opérateur NON (NOT en anglais). 24/09/2016 Khaled Hassine 13 24/09/2016 Khaled Hassine 14 L opérateur NON ou inverseur Fonctions à deux variables 16 fonctions possibles A A ab Remarque F 0 =0 Constante F 1 =ab Fonction Intersection ET / AND F F 3 =a F F 5 =b F 6 =ab Fonction Ou Exclusif / XOR F 7 =a+b Fonction OU / OR Khaled Hassine 4

5 Fonctions à deux variables Intersection et réunion ab Remarque F 8 Fonction NAND F 9 =ab Fonction égalité F F F 12 =a 16 fonctions possibles F F 14 =a+b Fonction NOR F 15 =1 Constante 1 Deux fonctions très importantes qui portent sur deux variables : La fonction intersection (ou produit logique) : A noté A x B (ou A LB) la fonction réunion (ou somme logique) : noté A + B (ou encore A nb). A B B AB A+B 17 24/09/2016 Khaled Hassine 18 Fonctions de base Ou Exclusif Toute fonction logique peut s'exprimer sous la forme d'une expression faisant intervenir les trois fonctions : complémentation, produit logique somme logique, d'où l'appellation «fonctions de base» ou «fonctions fondamentales». Une autre fonction intéressante à 2 variables est très utilisée dans la pratique : c'est la fonction OU Exclusif. L'opérateur de la fonction OU EXCLUSIF (notée et appelé en anglais XOR) 24/09/2016 Khaled Hassine 19 24/09/2016 Khaled Hassine 20 Khaled Hassine 5

6 Principale propriétés de la fonction Ou Exclusif Porte à Trois Etats La porte "3 états", ou "tri-state", n'est pas une porte logique au sens strict. Elle est principalement utilisée pour connecter une sortie sur une ligne commune à plusieurs circuits (un bus par exemple). Elle remplace généralement une porte ET. En effet, la mise en parallèle sur une même ligne de plusieurs portes ET introduit des capacités parasites. Ceci augmente les constantes de temps et a pour effet de détériorer les fronts de montée et de descente des signaux. Cela peut perturber le fonctionnement d'un système. 24/09/2016 Khaled Hassine 21 24/09/2016 Khaled Hassine 22 Porte à Trois Etats PLAN Lorsque la commande C est à 0, l'impédance de sortie est très grande : pratiquement déconnectée. Les portes "3 états" fournissent une amplification de puissance. C A Y Sortie faible impédance faible impédance 0 X 0 haute impédance 24/09/2016 Khaled Hassine 23 Introduction Variables et fonctions binaires Du transistor aux portes logiques Théorèmes fondamentaux Récapitulatif 24/09/2016 Khaled Hassine 24 Khaled Hassine 6

7 Le transistor Le transistor Un circuit logique est caractérisé par un comportement binaire (deux états logiques). Ceci est facilement obtenu avec des signaux électriques ayant différentes tensions ou intensités de courant. En pratique, l'état 0 est associé à une tension qui voisine le 0 L état 1 pour une tension qui voisine les 5 volts. Le composant de base d'un circuit logique est le transistor. Collecteur Base Emetteur Un transistor peut être perçu comme un interrupteur électronique très rapide construit à base d'un semi-conducteur (par exemple, le silicium). 24/09/2016 Khaled Hassine 25 24/09/2016 Khaled Hassine 26 Porte NOT à base de transistor Porte NAND à base de transistor Son fonctionnement est le suivant : Si V e (la tension en entrée) voisine le 0 ( 1 V), le transistor est en état bloqué. On récupère VCC (égale à 5 volts) comme tension en sortie (V s ). Si V e (la tension en entrée) voisine les 5 volts ( 2 V), le transistor est en état passant et la terre absorbe toute la tension VCC. La tension de sortie (V s ) est alors nulle. V e VCC V s Ve 2 Ve 1 VCC Vs 24/09/2016 Khaled Hassine 27 24/09/2016 Khaled Hassine 28 Khaled Hassine 7

8 Porte NOR à base de transistor Les circuits intégrés logiques VCC Vs Les circuits intégrés logiques (CI, CIL, puce ou encore Chip) sont des composantes à base de semiconducteur (le silicium), de taille 5 x 5 mm, qui contient des composants électroniques tels que les transistors, les diodes, les résistances et les capacités.. Ve 1 Ve 2 Circuit intégré Broches 24/09/2016 Khaled Hassine 29 24/09/2016 Khaled Hassine 30 Circuits intégrés Les circuits intégrés logiques Les diverses composantes sont interconnectées dans la puce de façon à former le circuit électronique. Un circuit intégré est encapsulé dans un boîtier (Package en anglais) rectangulaire en plastique ou en céramique de 5 à 15 mm de long. Sur les deux long cotés de ce boîtier sont disposés, de manière symétrique, des broches (ou pattes) permettant d'assurer des connexions électriques (entrés, sorties, alimentations,...), d'où l'appellation de ces circuits DIP (Dual Inline Package : Boîtiers à deux rangées de connexions symétriques). On n'accède au circuit interne qu'à partir des broches (externes) dont le nombre est normalisé. Les boîtiers les plus usuels disposent de 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 40, 64 et 68 broches. Il existe aussi d'autres présentations carrées disposant des connexions reparties sur les 4 côtés ou en dessous du boîtier. 24/09/2016 Khaled Hassine 31 24/09/2016 Khaled Hassine 32 Khaled Hassine 8

9 Echèle d intégration Circuits intégrés logiques Nom Signification Année de sortie SSI MSI small-scale integration medium-scale integration Nombre de transistors à 10 1 à à à 99 Nombre de portes logiques par boîtier 3 LSI large-scale integration à à VLSI very large-scale integration à à ULSI ultra-scale integration et plus et plus Les circuits intégrés logiques sont classés en 5 familles selon leur densité d'intégration (nombre de portes/mm 2 ) Ces distinctions ont peu à peu perdu de leur utilité avec la croissance exponentielle du nombre de portes. Aujourd'hui plusieurs centaines de millions de transistors (plusieurs dizaines de millions de portes) représentent un chiffre normal (pour un microprocesseur ou un circuit intégré graphique haut de gamme). Afin de parvenir à de tels niveaux d'intégrations, un flot de conception complexe est utilisé. 24/09/2016 Khaled Hassine 33 24/09/2016 Khaled Hassine 34 Les différentes familles de circuits intégrés Paramètres de comparaison des circuits intégrés Les circuits intégrés sont classés par famille. Chaque famille a son propre circuit électronique de base qui est en général la porte NAND ou la porte NOR. Abréviation Nom complet Circuit de base TTL Tansistor Transistor Logic NAND ECL Emitter Coupled Logic (logique à émetteur couplé) NOR ou OR MOS Metal Oxyde Semi-conducteur CMOS Complementary MOS NAND, NOR I 2 L Integrated Injection Logic (logique à injection intégrée) NOR Fan out : le nombre d'utilisations du signal de sortie (d'une porte) comme signal d'entrée à d'autres portes Puissance dissipée : puissance consommée par une porte et qui doit être disponible à l'alimentation. Délai de propagation : intervalle de temps que met un signal pour se propager de l'entrée d'un circuit à sa sortie. La vitesse d'exécution est inversement proportionnelle au délai de propagation. Immunité au bruit ou marge de bruit minimum qui affecte la valeur de sortie d'un signal. 24/09/2016 Khaled Hassine 35 24/09/2016 Khaled Hassine 36 Khaled Hassine 9

10 Fan out Emitter Coupled Logic : ECL B A D C Fan out de A = 2 - Fan out de B = 1- Fan out de C =1 Développé dés 1963 par Motorola, le circuit de base de la technologie ECL est la porte NOR (ou OR) Délai de Puissance Immunité au Fan out propagation dissipée bruit ECL environ 1.5 ns 250 mw 0.3 V > 7 A B (A + B) A + B NOR OR Deux portes sont disponibles. 24/09/2016 Khaled Hassine 37 24/09/2016 Khaled Hassine 38 Tansistor Tansistor Logic : TTL Le circuit de base pour la famille logique TTL est la porte NAND. Le Fan out pour la famille TTL = 10. Série Nom de la version Abrégé Délai de propagation (ns) Puissance dissipée par porte (mw) Immunité au bruit 74 Standard serie 74 TTL V à 1 V 74L Low Power 47L LTTL V puissance basse) 74H High Speed (grande HTTL V vitesse) 74S Schottky 74S STTL V 74LS Low Power Schottky LSTTL /09/2016 Khaled Hassine 39 Exemples de circuits intégrés TTL (de Texas Instruments) 6A 6Y 5A 5Y 4A 4Y A 1Y 2A 2Y 3A 3Y Ground (masse) VCC 4A 4B 4Y 3A 3B 3Y A 1B 1Y 2A 2B 2Y Ground (masse) Fonction : Y = A SN 7404 Fonction : Y = A. B SN /09/2016 Khaled Hassine 40 Khaled Hassine 10

11 Metal Oxyde Semi-conducteur MOS Integrated Injection Logic I2L Le principal inconvénient de la famille MOS par rapport à TTL et ECL est le grand délai de propagation. Par contre, ils offrent une grande densité d'intégration / puce. Délai de Puissance Immunité au Fan out propagation dissipée bruit CMOS 25 ns 15 µw 2.4 V >50 Délai de Puissance propagatio dissipée n I2L 25 ns à 250 ns 6 nw à 70 µw Densité Tension d'intégrati d'alimenta on tion à 15 V portes/mm2 24/09/2016 Khaled Hassine 41 24/09/2016 Khaled Hassine 42 PLAN Liste des théorèmes Introduction Variables et fonctions binaires Du transistor aux portes logiques Théorèmes fondamentaux Récapitulatif 24/09/2016 Khaled Hassine 43 24/09/2016 Khaled Hassine 44 Khaled Hassine 11

12 Remarques Exemple La loi d'inversion est aussi dite loi de complémentarité. Les lois d'absorption et de De Morgan sont utiles pour la simplification des expressions logiques. Les lois de "De Morgan" permettent, en particulier, de trouver le complément d'un élément d'expression booléenne. Il faut pour cela : Changer les opérations ET en opérations OU et vice versa. Complémenter chaque terme de l'expression. A BC la forme ou de la loi de "De Morgan" E A BC la forme et de la loi de "De Morgan" E A(B C) 24/09/2016 Khaled Hassine 45 24/09/2016 Khaled Hassine 46 Autres relations intéressantes A A A AB ( A B)( A A) ( A B)( A B) A A B La loi de De Morgan peut facilement être généralisée à N variables binaires Démonstration de la loi de distributivité (A+B)(A+C) = AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC = A (1+B+C)+BC = A + BC A A 1 2 An A1 A2 A n A A 1 2 An A1 A2 A n 24/09/2016 Khaled Hassine 47 24/09/2016 Khaled Hassine 48 Khaled Hassine 12

13 Démonstration du théorème de Consensus Démonstration du théorème de Consensus Forme ET : AB BC AC AB AC Forme OU : ()()()()() AB BC AC A B AC AB AC AB()() C C AC B B ABC ABC ACB AC B BC() A A ABC ACB BC ABC ACB B() C AC ACB B() C A ACB BC AB ACB AB C()() B AB AB C B A AB CB C A 24/09/2016 Khaled Hassine 49 ()()()()() A B B C A C AB BB AC BC A C ()()()() AB B AC BC A C B AC A C AB AAC CB ACC AB CB AC ()() A B A C AB CB AC 24/09/2016 Khaled Hassine 50 Exemple d'utilisation du théorème de consensus BC BCD ABD ABC ABCD ACD BC ABD ABC ABCD ACD B()() C AC ABD CD AB A B()() C A ABD CD B A BC BA ABD CDB CD A BC BA ABD CD AB BC ABD AB CD AB BC ABD AB CD 24/09/2016 Khaled Hassine 51 24/09/2016 Khaled Hassine 52 Khaled Hassine 13

14 Généralité sur les algorithmes Concept de complexité Vecteurs et matrices Représentation interne Calculs numériques approchés Définition d un algorithme Structure d un algorithme Types des données Types d instructions Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d opérations ou d'instructions permettant de résoudre un problème. Le mot algorithme vient du nom latinisé du mathématicien Al- Khawarizmi, surnommé «le père de l'algèbre».... Un algorithme est une méthode générale pour résoudre un ensemble de problèmes. Il est dit correct lorsque, pour chaque instance du problème, il se termine en produisant la bonne sortie, c'est-à-dire qu'il résout le problème posé. On mesure l'efficacité d'un algorithme notamment par sa durée de calcul, par sa consommation de mémoire RAM (en partant du principe que chaque instruction a un temps d'exécution constant), par la précision des résultats obtenus, etc. 24/09/2016 Khaled Hassine 53 Khaled Hassine 14