COURS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE

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Emma Vincent
il y a 6 ans
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1 Définition 5 : On appelle chaine d origine et d extrémité, toute suite ordonnée de sommets =(,,, ) telle qu on ait : Soit est un précédent de, dans ce cas on dit que l arc (, ) est parcouru dans le sens normal. Soit est un suivant de, dans ce cas on dit que l arc (, ) est parcouru dans le sens contraire. =(,,,, ) est une chaine Arc parcouru dans le sens normal Arc parcouru dans le sens contraire Remarque : Tout chemin du graphe est une chaine Définition 6: Soit G un graphe et soient et deux sommets quelconques de G. S il existe un chemin de G d origine et d extrémité alors, est un ascendant de et est un descendant de (,,, est un chemin du graphe précédent Jacques TANO Professeur de Maths ( ) / jaktano75@yahoo.fr Page 5

2 Donc est un ascendant de et est un descendant de II) Etude des graphes sans circuit 1 Niveaux des sommets d un graphe Définition 7: On appelle niveau d un sommet, le nombre d arcs du chemin ayant le plus grand nombre d arcs parmi les chemins d extrémité. On note N( ) Méthode de détermination des niveaux Dans le dictionnaire des précédents, tous les sommets sans précédents sont de niveau 0 On supprime ensuite tous ces sommets dans le dictionnaire et on obtient un sous dictionnaire dans lequel les sommets sans précédents sont de niveau 1 On les supprime dans le sous dictionnaire et on obtient un autre sous dictionnaire dans lequel les sommets sans précédents sont de niveau 2 On continue ce processus jusqu à ce que tous les niveaux soient déterminés. Dictionnaire des précédents : D0 ; ; est sans précédents, donc N( )=0 et on le supprime. On obtient le sous dictionnaire D1 D1 et sont sans précédents, donc N( )=N( 1 et on les supprime. On obtient le sous dictionnaire D2 Jacques TANO Professeur de Maths ( ) / jaktano75@yahoo.fr Page 6

3 D2, et sont sans précédents, donc N( )=N( Nx 2 et on les supprime. On obtient le sous dictionnaire D3 qui ne contient que. Donc N( )=3 2 Représentation sagittale par niveaux On représente de la gauche vers la droite, les sommets de niveau 0 aux sommets de plus grands niveaux, en mettant sur la même verticale, les sommets de même niveau. On obtient le graphe suivant : (Figure 3) N0 N1 N2 N3 3 Graphes valués Définition 8 : Soit G un graphe. Valuer G, c est attribuer à chaque arc (, ), un nombre réel V(, ) appelé valeur de l arc. La longueur d un chemin est la somme des valeurs des arcs de ce chemin. L arc est représenté par : V(, ) Jacques TANO Professeur de Maths ( ) / jaktano75@yahoo.fr Page 7

4 Sur un réseau routier, où les carrefours sont représentés par les sommets et les voies par les arcs, la valeur de chaque arc peut être la distance, le temps mis, le coût Remarque : la représentation booléenne d un graphe valué peut prendre la forme suivante : Avec V,,! # 0,! III) Chemins optimaux dans un graphe valué La première application de la théorie des graphes, est la recherche des chemins optimaux. Par exemple, si les valeurs des arcs d un graphe représentent les distances, on peut être préoccupé par la recherche du chemin le plus court ou le chemin le plus long. On parle alors respectivement de chemin minimal ou de chemin maximal. 1) Chemin minimal Pour déterminer un chemin minimal d origine $ et d extrémité %, on marque les sommets du graphe par l algorithme suivant : &' ( ( &' ) *+, '.' ) &' /0',' ) # Le graphe suivant représente un réseau routier. Les distances en km entre les différents carrefours sont marquées sur les arcs. On veut déterminer le chemin le plus court pour aller de vers Jacques TANO Professeur de Maths ( ) / jaktano75@yahoo.fr Page 8

5 Marquons les sommets m( =0 ; m( )= m( +V(, )=0+7=7 ; m( )= m( +V(, )=0+5=5 m( )= m( +V(, )=7+3=10 m( )=123 m /V, 7/18 *' 7 /8' 7,' 9 (/:: ;=5 m( )=123 m /V, 0/88 *' : /8' :,' < :/=> ;=7 m /V, 10/414 m( )=12? m /V, 5/510C=9 *' < /8' <,' > >/=B Le chemin minimal est ' 7,' :,' <,' > et sa longueur est 9. Remarque : la marque m( d un sommet représente la longueur du chemin le plus court pour aller de à. En particulier, la marque du dernier sommet représente la longueur du chemin minimal 2) Chemin maximal Pour déterminer un chemin maximal d origine $ et d extrémité %, on marque les sommets du graphe par l algorithme suivant : D' ( ( D' ) *EF '.' ) D' /0',' ) # Déterminons le chemin le plus long sur le graphe précédent Marquons les sommets M( =0 ; M( )= M( +V(, )=0+7=7 ; M( )= M( +V(, )=0+5=5 M( )= M( +V(, )=7+3=10 M( )=1G3 H' =/8' =,' 9 >/7I M /V, 0/55 ;=8 M( )=1G3 H' 7/8' 7,' < (/II M /V, 5/27 ;=8 H' K /8' K,' > 7(/<7< M( )=1G? M /V, 8/513 C=14 M /V, 8/210 Le chemin maximal est ' 7,' =,' K,' > et sa longueur est 14. Remarque : la marque M( d un sommet représente la longueur du chemin le plus long pour aller de à. En particulier, la marque du dernier sommet représente la longueur du chemin maximal. Jacques TANO Professeur de Maths ( ) / jaktano75@yahoo.fr Page 9

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