Courants et champs magnétiques en régime stationnaire

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1 1 MP*1-2016/2017 Courants et champs magnétiques en régime stationnaire Par temps d orage, la Terre est assimilé à un plan conducteur de conductivité γ = S. m 1. Quand la foudre tombe, un arbre est assimilé à une tige conductrice parcourue par un courant I o = 10 ka. Près de l arbre se trouve une personne, les jambes légèrement écartées, ses pieds étant en M et N sur le sol. On prendra MN = p = 30 cm. La résistance électrique du corps de la personne entres ses pieds vaut R = 2 kω. I o O θ 1) Donner l expression du vecteur densité de courant en un point quelconque dans le sol. 2) En déduire le potentiel électrique en un point quelconque dans le sol en supposant le potentiel nul à l infini. 3) Si le cœur est traversé par un courant supérieure à I max = 50 ma il y a risque de défibrillation cardiaque pouvant entrainer la mort. A quelle distance minimale d min la personne doit-elle être pour qu il n y ait pas de danger. Un tokamak est une chambre torique de confinement magnétique destinée à contrôler un plasma pour étudier la possibilité de production d énergie par fusion nucléaire. Le champ magnétique principal est créé par une série de bobines supraconductrices constituant un solénoïde en forme de tore. On note N le nombre total de spires, chacune parcourue par le courant I. On suppose les spires suffisamment rapprochées pour considérer qu elles forment une distribution continue de courant. j 1) Déterminer le champ magnétique à l intérieur et à l extérieur du tokamak. 2) Le Tokamak JET peut produire au centre du tore, là où est confiné le plasma, un champ magnétique de 4 Teslas. Le rayon intérieur du tokamak est 0,9 m et le rayon extérieur 3m. Calculer le courant total NI qui doit circuler dans les bobines et conclure.

2 2 1) Proposer une distribution de courant créant le champ magnétique suivant : a < x < 0: B = B o u z ; 0 < x < a: B = B o u z. Pour x > a le champ magnétique est nul. B o > 0; a > 0. 2) On place un électron en ( a, 0, 0), de masse m, de charge e avec une vitesse initiale v = v o u x. Déterminer la trajectoire de l électron. On suppose que les charges de la distribution de courant n engendrent pas de frottements et on néglige le poids. Un milieu supraconducteur x > 0 peut être modélisé par la distribution de courant suivante : j(m) = j o exp ( x a )u y pour x > 0 ; j(m) = 0 pour x < 0. Déterminer, en tout point de l'espace, le champ magnétique créé par le supraconducteur. Pour comprendre le moment magnétique de l électron on considère deux phénomènes, sa rotation autour du noyau et son spin. 1) L électron, de masse m e et de charge e, tourne autour du noyau de charge +e à une distance de a. Quel est le moment magnétique du à cette rotation? On prendra m = kg ; e = 1, C ; a = 0, m. En mécanique quantique, on introduit le magnéton de Bohr dont la valeur du moment magnétique est μ B = eh avec h = 2πm e 6, J.s. Commenter les ordres de grandeur. 2) Une interprétation simpliste du spin de l électron consiste à modéliser ce dernier par une boule, de rayon R, portant la charge totale e uniformément répartie à sa surface. Cette boule est animée d'un mouvement de rotation à la vitesse angulaire ω constante autour d'un de ses diamètres. Calculer le moment magnétique M de cette distribution de courant. Cette modélisation (complètement fausse!) est basée sur la description du mouvement de la Terre par rapport au Soleil. On va donc supposer que la vitesse angulaire de l électron sur lui-même est dans le même rapport pour sa rotation autour du proton que celui de la Terre entre son mouvement sur elle-même et son mouvement autour du Soleil. Cette interprétation vous semble-t-elle cohérente? π On donne : sin 3 θdθ = 4/3. 0 On considère dans un plan xoy deux dipôles magnétiques identiques, de moments M 1 et M 2, placés en O 1 et O 2, distants de d. M 1 et M 2 sont mobiles sans frottements autour de leurs axes respectifs (O 1, u z ) et (O 2, u z ). Etudier les petits mouvements du système autour de l'une de ses positions d'équilibre. On introduira les paramètres pertinents. On observe, à l aide d une chambre à bulles placées dans un champ magnétique B

3 3 uniforme, la diffusion élastique de particules α par des noyaux de deutérium. Après la diffusion, les particules α et les noyaux de deutérium ont des trajectoires circulaires, orthogonales au champ magnétique et de même rayon R. En déduire l énergie des particules α incidentes. Le spectromètre de masse permet de mesurer la masse des particules chargées avec une précision telle qu il peut servir à déterminer des compositions isotopiques d éléments 200 chimiques. Une source émet des ions mercure 80Hg et 80Hg 2+. 1) Les ions, de masse m i et de charge q = +2e, émis sans vitesse initiale, sont d abord accélérés entre deux fentes F 1 et F 2 par un champ électrique qui sur une distance d = 1,00 m, crée une différence de potentielle U = 1, V. Proposer un montage qui permet d accélérer ces ions et calculer leurs vitesses en F 2. 2) Les ions rentrent ensuite dans une région où règne un champ magnétique uniforme de valeur = 0,200 T. Proposer un montage pour séparer ces ions selon leurs masses. Deux collecteurs C 1 et C 2 sont situés de telle sorte que F 2, C 1 et C 2 soient alignés et perpendiculaires aux vitesses des ions en F 2. On donne F 2 C 1 = 1,44 m et F 2 C 2 = 1,45 m. Cette installation vous semble-t-elle correcte? 3) Les quantités d électricités reçues en une minute par les collecteurs C 1 et C 2 sont Q 1 = 1, C et Q 2 = 3, C. Déterminer la composition du mélange d ions et en déduire la masse atomique du mercure. On donne : e = 1, C ; 1u = 1, kg. On prend trois charges dans un plan, reliées par des fils de longueur égale L. L ensemble forme un triangle équilatéral. Un fil transportant un courant I est orthogonal à ce triangle et passe par son centre de gravité. 1) A l instant t = 0, on coupe les fils. Le mouvement est-il plan? Montrer que le système se translate suivant l axe Oz, parallèle au fil conducteur. 2) Etablir une équation différentielle du premier ordre en r, composante radiale des coordonnées cylindriques. 3) A partir d un moment, le système arrive-t-il à un mouvement limite? Indications : 1) Sur le sol, on suppose que le vecteur densité de courant est j(m) = j(r)e r ; e r étant un vecteur de la base sphérique et r = OM. On suppose que l intensité du courant se conserve dans le sol sur une hémisphère ; 2) En déduire E (M), puis V(r) dans le sol ; 3) Calculer la différence de potentiels : V(M) V(P) en fonction de la distance d. On suppose d >> p. 1) Faire une étude des symétries puis appliquer le théorème d Ampère à un cercle centré sur l axe du tore et de rayon r.

4 4 1) Retrouver le champ magnétique créé par une nappe surfacique de normale x ; les sources du champ sont trois distributions surfaciques en x = ±a et x = 0 ; 2) un électron dans un champ magnétique uniforme a une vitesse de norme constante et fait un cercle de rayon R = mv o eb o ; discuter des cas R > a et R < a. Décomposer le milieu en une superposition de nappes surfaciques d épaisseur dx, parcourues par une densité surfacique de courant dj s = j(x)dxu y et sommer les champs magnétiques créés par ces nappes. 1) Il faut commencer par étudier le mouvement de l électron autour du proton et trouver sa période ; puis on peut écrire I = e/t ; 2) On décompose la sphère en une succession de petites spires comprises entre θ et θ + dθ, parcourues par un courant di = dq/t ; calculer le moment magnétique pour une petites spire, puis sommer. Paramétrer les positions des dipôles par θ 1 et par θ 2. Le plus rapide est ensuite de déterminer l'énergie potentielle du système E p (θ 1, θ 2 ). Introduire le moment d'inertie J et la norme du moment magnétique M communs aux deux dipôles. Appliquer la loi du moment cinétique: Jθ i = Ep θ i. L énergie totale se conserve au cours d une diffusion ; au cours d une diffusion élastique, la nature de la particule n est pas modifiée et l énergie cinétique totale se conserve ; exprimer la vitesse des particules en fonction du champ magnétique, de la masse et du rayon de la trajectoire ; de plus m α = 4m p ; q α = 2e; m D = 2m p ; q D = e. 1) Chercher le sens du champ électrique pouvant accélérer les ions positifs et en déduire les valeurs des potentiels en F 1 et en F 2 ; appliquer la conservation de l énergie mécanique pour chaque ion pour en déduire les vitesses ; 2) le champ magnétique doit être perpendiculaire à la vitesse des ions en F 2 ; la trajectoire est circulaire, calculer le rayon et en déduire la distance C 1 C 2 nécessaire ; 3) le rapport des charges est le même que le rapport des ions ; une mole de nucléon a une masse de 1 g. 1) Calculer le champ magnétique créé par le fil ; projeter la loi de la quantité de mouvement pour une particule chargée sur Oz ; 2) exprimer l énergie mécanique d une particule chargée ; en projetant la loi de la quantité de mouvement sur la direction orthoradiale, montrer que θ = 0 ; en déduire une pseudo énergie potentielle dont on étudiera les variations. 1) j(m) = I o u 2πr 2 r ; 2) V(r) = Solutions : I o 2πγr ; 3) d min = 15 m 1) Si M ext, B = 0 ; si M int, B = μ oni 2πr u θ ; 2) NI = 3, A; ce résultat est gigantesque et nécessite des supraconducteurs pour éviter l échauffement par effet Joule.

5 5 1) j s (x = +a) = j s (x = a) = B o μ o ; j s (x = 0) = 2B o μ o ; 2) si R < a, l électron fait un demi- cercle et ressort du plan x = a avec une abscisse y décalée de 2R; si R > a, l électron fait un morceau de cercle dans la zone x < 0, puis un autre morceau de cercle dans la zone x > 0 et ressort du plan x = +a avec une abscisse suivant y décalée de 2R(1 1 a2 R 2). a o jo o joa x Pour x < 0, B u z ; pour x > 0 B 1 2exp u z. 2 2 a 1) M = e2 2 a = 0, C. m 2 = 0,7μ m e 4πε B ; 2) M = er2 ω 1 ; ω = e 365 = o 3 4πε o m e a 3 4, rd. s 1 ce qui donnerait ~10 21 m. Ce modèle est absurde!!! En réalité l électron est une onde et le spin est une grandeur intrinsèque. Il y a deux positions d'équilibre stable équivalentes pour lesquelles les deux dipôles sont orientés tous deux suivant O 1 O 2 (θ i = 0 et θ i = π). Pulsations propres: ω 1 = μ om 2 4πJd 3 et ω 2 = ω 1 3. E = 3 4m p (ebr) 2. 1) V(F 1 ) = U et V(F 2 ) = 0; v i = 2qU ; v m 1 = 1, m. s 1 ; v 2 = 1, m. s 1 ; i 2) R i = m iv i qb = 1 B 2m ib q ; R 1 = 0,722 m ; R 2 = 0,726 m ; le montage est le montage ci-contre: 2(R 2 R 1 ) = 8 mm ; les 200 distances sont convenables ; 3) il y a 77,4% d ions 80Hg 2+ et ,6% d ions 80Hg 2+ ; la masse molaire du mercure est M = 200,5 g. mol 1. 1) v z = μ oqi Ln r avec a = L 2πm a 2 q 2 I 2 ; 2) 1 mr 2 + μ o (Ln r mπ 2 a )2 + q 2πε o r = E B F 1 F 2 q 2πε o a. C 1 C 2