2.6 Lois de comportement.

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1 .6. LOIS DE COMPORTEMENT. 7.6 Lois de comportement. Les lois de comportement vont permettre de relier les efforts intérieurs et les déformations qui leur sont associées. Nous pourrons ainsi utiliser les équations de compatibilité pour déterminer les différentes tensions dans un problème hyperstatique. En ce qui concerne les déplacements, la connaissance de l ensemble des déplacements de tous les nœuds n est guère requise, et souvent, seuls les déplacements de certains nœuds (associés aux charges par exemple) sont intéressants..6.1 Déformations. On se place en HPP et on note : l t (= l) la longueur actuelle de la barre dans la configuration actuelle S t éventuellement déformée. l0 la longueur nominale de la barre dans la configuration de référence S 0. C est la longueur prévue par le constructeur. ε = l ln la longueur naturelle de la barre, c est la longueur à laquelle la barre revient «élastiquement» lorsque l on supprime la traction / compression, on dit aussi la longueur de la barre dans sa configuration relâchée. Il arrive parfois que l n et ne coïncident pas, soit parce que la barre présente un défaut d usinage, soit parce qu elle est contractée ou dilatée par suite d une variation de température, soit parce qu elle a acquis des allongements irréversibles à la suite d écoulements plastiques (ductiles). Dans ce cas la déformation s écrit ε = l et fait apparaître les deux contributions : = l l n + l n ε e = l l n = déformations élastiques ε a = l n.6. Loi de comportement élastique. = déformations anélastiques En l absence de déformations anélastiques, deux barres constituées du même matériau, soumises à la même force de traction / compression, mais de sections différentes, subiront des déformations différentes. La barre ayant la section la plus grande se rétrécira ou s allongera beaucoup moins que celle ayant la section la plus petite. Autrement dit, si l on

2 8 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE désigne pas S l aire de la section de la barre, la déformation dépend de la contrainte de traction définie par σ = N S, c est à dire la densité surfacique de force normale de traction / compression sur la section. En élasticité linéaire, la loi de comportement est : ε = σ E = N ES (la déformation est proportionnelle à la contrainte normale) E est le module d Young et est caractéristique du matériau, de même dimension que la contrainte (puisque les déformations sont des grandeurs sans dimension), il se mesure donc en Pascal (Pa). Le module d Young est toujours positif (quand on tire, l éprouvette s allonge). Le module de rigidité à la traction (ES) est caractéristique de la barre. La barre sort de son domaine élastique lorsque la contrainte de traction / compression atteint une valeur σt ou σ C caractéristique du matériau. Remarque : Dans le Rupture fragile, nous avons défini le critère suivant : K C a N a K T a. Nous pouvons donc relier les σ T et σ C aux K : σ C = KC a N a = σ KT a = σ T.6.3 Loi de comportement anélastique. Nous ne retiendrons que trois sources d «anélasticité» : défauts de construction ou d usinage ε d effets thermiques ε t plasticité (un chapitre sera consacré à la plasticité) ε P Nous admettrons qu en HPP chacune de ces trois contributions s ajoutent : Défauts d usinage : ε d + ε t + ε P = ε a Dans ce cas le défaut de longueur est connu δl donc ε d = δl est également connue.

3 .6. LOIS DE COMPORTEMENT. 9 Loi de comportement thermo-élastique linéaire : Un matériau thermo-élastique possède un état naturel auquel on peut associer une température T n telle que, si T est la température actuelle ε t = α (T T n ) (on suppose ici la barre uniforme). α est le coefficient de dilatation linéaire, caractéristique du matériau. Il se mesure en / C. Tout comme le module d Young le coefficient de dilatation linéaire est strictement positif. On considère une barre thermo-élastique (où ε d = ε P = 0 ). La loi de comportement thermo-élastique complète sera alors ε = N ES + α (T T n). Si la barre est chauffée (T > Tn ) et laissée libre de contraintes (N = 0), alors ε = α (T T n ) > 0 la barre s allonge. Si la barre est chauffée (T > Tn ) et complètement empêchée de se déformer (ε = 0) alors la barre se trouve comprimée. N = ESα (T T n ) < Résolution d un problème hyperstatique de degré un. Soit un problème hyperstatique d ordre 1, d inconnue hyperstatique X. On suppose qu il n y a qu une seule charge P. Pour chaque barre β, on connaît (grâce aux lois de comportement) la relation entre la déformation ε β et la tension N β ε β = ε a β + εe β = εa β + N β E β S β. Or on connaît également la tension statiquement admissible en fonction de P et de X N ad β = NP β P + N1 β X. L équation de compatibilité b β=1 L β N H β ε ad β = 0

4 30 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE nous donne immédiatement ( b L β Nβ 1 X ε a β + NP β P + N1 β X ) = 0 E β S β on peut en déduire X. β=1 Exemple : Reprenons l exemple des trois barres. Nous avions : Champ de tensions SA N ad 1 = Relation de compatibilité (Q 1 + Q λ) ; N ad = ε 1 + ε ε 3 = 0 ( Q 1 + Q λ) ; N ad 3 = λ Nous supposons les trois barres identiques (même section S, même module d Young E, même coefficient de dilatation linéaire α). 1. premier cas. Absence de charge (Q 1 = Q = 0), absence de déformation anélastique dans les barres 1 et, la barre 3 présente une déformation anélastique ε a 3 = εd ou bien ε a 3 = α T. Alors ε 1 + ε ε 3 = 0 devient ε a 3 + λ ES = ( ) λ ES λ= εa 3 ( ES ) 1 + si ε a 3 > 0, N 3 = λ< 0 et N 1 = N > 0. La barre 3 est en compression, les barres 1 et sont en traction.

5 .6. LOIS DE COMPORTEMENT. 31. deuxième cas. Absence de déformation anélastique, force verticale descendante (Q 1 = 0, Q = P, P > 0). On a alors N 3 = λ= les trois barres sont en traction. λ ES = (P λ) ES 1 + P > 0, N 1 = N = P > 0 3. troisième cas. Absence de charge, température uniforme T n + T, ( T > 0) ε 1 + ε ε 3 = 0 devient α T + λ λ ES = α T ES N 3 = λ= ES Tα 1 + > 0 ; N 1 = N = ESα T < 0 les barres 1 et sont comprimées.