DIVISION. Pour s entraîner : Exercice 19 p 86, 20 p 86, 21 p 86

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1 DIVISION 1 La division Euclidienne 1 a Exemple 9 élèves se partagent 2 revues, le reste va au CDI de collège. 2= est le plus grand nombre de revues possible tel que 9 22 est plus petit que 2 ( ) 2 est le reste des revues pour le CDI. 9 22= 198 de 198 à 2 il y a 2 revues. 1 b Définition Effectuer la division Euclidienne de 2 par 9 c est déterminer le quotient entier 22 et le reste 2. 2 est le dividende. 9 est le diviseur. Pour s entraîner : Exercice 19 p 86, 2 p 86, 21 p 86 Euclide (d'après une peinture du XVIII e siècle) On sait très peu de choses relatives à la vie d'euclide, sinon que c'était un mathématicien grec qui naquit peutêtre à Athènes vers Il partit en Égypte pour y enseigner les mathématiques sous le règne de Ptolémée I er. Il mourut vers Il travailla au musée d'alexandrie et à l'école de mathématiques. Entouré de ses disciples, il y mena de nombreux travaux de recherche. Il est contemporain d'archimède. Propriété : Preuve de la division Euclidienne. Quand le division est juste on a toujours : Dividende = diviseur (quotient entier) + reste 2 = On peut donc se servir de la preuve pour vérifier une division. On doit toujours avoir le reste strictement inférieur au diviseur (plus petit mais pas égal) : 2<9 Pour s entraîner : Exercice 3, Exercice 4, Exercice 6, Exercice 17 Calcul mental : élèves se partagent 2 revues 1 c Utilisation d une droite graduée si on multiplie 9 par 23 on dépasse 2, 23 n est pas le bon quotient entier de la division euclidienne de 2 par 9.

2 Remarque : on constate que 2=9 23-7, 23 est le quotient par excès, 7 est le complément du reste, 7+2=9. 1 d la technique de la division euclidienne Division euclidienne de 85 par 3 : DIVIDENDE 2 3 = 6 et 3 3 = 9 (>8) 8 3 = 24 et 9 3 = Il est conseillé d écrire les soustractions sous le dividende. preuve de la division : 85 = DIVISEUR QUOTIENT RESTE Pour s entraîner : Exercice 7 Remarque : On peut toujours donner un encadrement à l unité de 85 : : 3 < 29 Approximation entière par défaut = QUOTIENT Approximation entière par excès = QUOTIENT + 1 Avec la calculatrice : 1) de 85 :3 donne 28,33333, le quotient de la division euclidienne de 85 par 3 est toujours la troncature à l unité de 85 :3. 2) le reste s obtient par soustraction du dividende et du produit du diviseur et du quotient 85-28x3=1 SINON utiliser la touche «division avec reste» fx-82 R TI 4 Collège II, TI Collège plus : HP 3S, HP 1S A b c LEXIBOOK SC 26,: aucune, LEXIBOOK SC 7 A b c Pour s entraîner : Exercice 18 15/1 = 3/2 = 1,5 15 = 1 + 5

3 2 Critère de divisibilité Si le reste de la division euclidienne d un entier a par un entier b est nul (65=13 5+) a est divisible par b a est un multiple de b b est un diviseur de a.on veut des critères pour prévoir la divisibilité des nombres Divisibilité par 2 Un nombre entier est divisible par 2 s il se termine par ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Exemples : 14 est divisible par n est pas divisible par 2. Divisibilité par 5 Un nombre entier est divisible par 5 s il se termine par ou par 5. Exemples : 35 est divisible par est multiple de et 1,5 n est pas divisible par 5. Divisibilité par 1 Un nombre entier est divisible par 1 s il se termine par. Exemples : 1 ; 995 ; 7 sont divisibles par et 12,1 n est pas divisible par 1. Divisibilité par Un nombre entier est divisible par 25 s il se termine par ; 25 ; 5 ou 75. Exemples : 95 est divisible par est divisible par n est pas divisible par 25. Divisibilité par 3, Divisibilité par 9 Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Exemples : 523 n est pas divisible par 3 et n est pas non plus divisible par 9 car : La somme de ses chiffres est 5+2+3=1 ( 1=3x3+1 ; 1=9x1+1 ) 714 est divisible par 3 mais n est pas divisible par 9 car : = 12 et 12 est un multiple de 3 (12=3x4) mais n est pas un multiple de 9 (12=9x1+3) est divisible par 3 et par 9 car : = 18 et 18 est un multiple de 3 (18=3x6) et de 9 (18=9x2).

4 Divisibilité par 4 Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4. Exemple 4236=4236 ; 36 est divisible par 4 donc 4236 l est aussi. 414 n est pas divisible par 4, car 14 ne l est pas. Pour s entraîner : Exercice 16, Exercice 19, Exercice 2 3 Division décimale : Exemple : Comment partager 1,5 litre de boisson entre 4 personnes? Division décimale de 1,5 par 4 : Dès qu on abaisse le chiffre des dixièmes du 1, 5 4 dividende, on place la virgule dans le 4 = et 1 4 = 4 (>1), quotient = 12 et 4 4 = 16 (>15) = 28 et 8 4 = 32 (>3) = 2 Donc : 1,5 = 4,375 Chaque personne recevra,375 l (c est à dire 375 ml) de boisson. On peut conclure que : 1,5 : 4 =,375 ( Quotient EXACT) Remarque Certains quotients ne peuvent pas être exacts 92 :22 4,18 valeur approchée ( ) 92 :22=4.18 = 4,18 (écriture de la période) Quand il n y a plus de chiffre à abaisser, on rajoute un zéro pour continuer. Le RESTE est nul : on s arrête là. 4 Division par 1 ; 1 ; 1 ;,1 ;,1 ;,1 Diviser un nombre par 1 ou par 1 ou par 1 revient à le multiplier par,1 ou par,1 ou par,1. Exemples : 7 9, 5 4 : 1 = 79,54,1 = 7, , 5 4 : 1 = 79,54,1 =,7954 Diviser un nombre par,1 ou par,1 ou par,1 revient à le multiplier par 1 ou par 1 ou par 1. Exemples : 79,54 :,1 = 79,54 1 = 795,4 79,54 :,1 = 79,54 1 = 7954 Pour s entraîner : Exercice 8 Récapitulatif Diviser par1 1 1 Multiplier par : 1=7.2.1= : 1=7.2.1= : 1=12.1=.12

5 Diviser par Revient à Multiplier par :.1=.12 1= :.1=.12 1= :.1=.12 1=12 Remarque : 4 : 2 =4 : 2 : 1=4 : 2, :,9 = 36 : 9 :,1 =36 :9 1 calcul mental : Pour s entraîner : Exercice 1, Exercice 1.2, Exercice 1.3, Exercice 2