Bac 2011 Métropole Spécialité Exercice III Concert de violons (4 points)

Transcription

1 Bac Métropole Spécialité Exercice III Concert de violons (4 points) Avant de débuter un concert, les instrumentistes doivent accorder leurs instruments. Le chef d orchestre dispose de repères techniques simples mais efficaces pour vérifier la justesse des sons émis par l orchestre. L objet de cet exercice porte sur l étude des sons émis par des violons, la vérification de l accord entre deux violons et la participation du chef d orchestre à ces réglages. Pour tout l exercice, on considère la célérité v du son dans l air, à o C, égale à 34 m s. Les trois parties de l exercice sont indépendantes.. Le violon La figure représente les enregistrements réalisés dans les mêmes conditions, de sons de fréquence f = 44 Hz (la 3 ) émis par un violon d une part, et par un diapason d autre part... Parmi les caractéristiques physiques d un son musical figurent la hauteur et le timbre. En analysant les deux oscillogrammes de la figure, préciser la caractéristique qui différencie les sons des deux émetteurs... Quel nom donne-t-on à la fréquence f?.3. Calculer les valeurs des fréquences f et f 3 présentes dans le spectre fréquentiel du violon. u Oscillogrammes Intensité relative Spectres fréquentiels Diapason Violon u t f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 Enregistrement Spectre Intensité relative t Fréquence f Fréquence Enregistrement Spectre Figure Enregistrements et spectres fréquentiels des deux émetteurs sonores.. L ensemble des violons.. Les battements Avant le concert, les violonistes cherchent à accorder leur instrument en jouant la note la 3 de fréquence égale à 44 Hz. La fréquence émise par chaque instrument n étant pas rigoureusement égale à 44 Hz, la son résultant est alternativement plus ou moins intense : on entend des battements, qui sont des variations périodiques de l amplitude sonore.

2 Pour se rendre compte de ce phénomène, on simule à l aide d un ordinateur des signaux dont les fréquences f a (courbe de la figure ) et f b (courbe de la figure ) diffèrent légèrement : f a = 4 Hz et f b = 46 Hz. Ensuite, on effectue l addition de ces deux signaux (courbe 3 de la figure ). Les courbes obtenues sont rassemblées figure cidessous. S S Courbe Courbe S 3 T batt Courbe 3 Figure Courbes simulant les signaux sonores.... La période des variations d amplitude, encore appelées battements, est notée T batt (voir courbe 3 de la figure ). On souhaite vérifier que : f batt = = f b f a T batt Pour cela, déterminer la valeur de f batt à partir de la courbe 3 et la comparer à celle de f b f a.... Lorsque le musicien constate l arrêt des battements, que peut-il en conclure?.. Comment accorder les violons?... On considère une corde de violon. On note L la distance entre les deux points d attache sur l instrument. Excitée dans son mode fondamental à la fréquence f, la corde est le siège d ondes stationnaires, on observe un fuseau. Donner la relation entre L et la longueur d onde λ.... Les ondes stationnaires résultent de la superposition d ondes progressives de célérité v. Exprimer v en fonction de f et L...3. On donne : v = F µ avec F la valeur de la tension de la corde et µ sa masse linéique. Vérifier l homogénéité de cette équation...4. Donner une expression de la fréquence f en fonction de F, µ et L...5. Si la corde d un violon émet un son de fréquence 46 Hz, comment doit-on agir sur la corde pour retrouver la note la 3 de fréquence 44 Hz?.3. Niveau sonore et intensité Au début du concert, un groupe musical comportant dix violons se produit. On rappelle que le niveau sonore exprimé en décibels (db) d une source sonore est donné par la formule : avec : L = log ( I l intensité de référence correspondant à l intensité minimal audible : =, W m ; I l intensité sonore donnée par une source sonore, en W m. )

3 Soit pour n sources sonores : ( ) n I L n = log On rappelle aussi que log(a b) = loga+logb..3.. Vérifier que le niveau sonore minimal perceptible est de db..3.. On estime à 7 db le niveau sonore produit par un seul violon à 5 m. Calculer le niveau sonore produit par le groupe musical. On considère que tous les violons sont à 5 m de l auditeur L exposition à une intensité sonore I =, W m peut endommager l oreille de l auditeur. Combien de violons doivent jouer pour atteindre cette intensité pour un auditeur situé à 5 m? Conclure. 3. Conduite d un orchestre à l oreille L octave entre deux notes, obtenue historiquement en divisant la longueur d une corde d instrument par deux, pour obtenir ainsi une fréquence double, est devenue le support des gammes en musique. Dans la gamme dite tempérée, l octave est divisée en douze intervalles de fréquences appelés demi-tons tels que le rapport des fréquences de deux notes successives soit le même. Si on note f, f,..., f i, f i+,..., f 3 les fréquences séparées par un demi-ton, on obtient : par définition de l octave. f 3 f = 3.. Vérifier que pour deux fréquences successives f i et f i+, séparées par un demi-ton, le rapport constant des deux fréquences est tel que : f i+ f i = 3.. Un chef d orchestre dispose de capacités auditives développées qui lui permettent de distinguer et reconnaître précisément la note la 3 et la note si 3, située deux demi-tons au-dessus de la 3. Calculer la fréquence de la note si 3 sachant que celle du la 3 est égale à 44 Hz.

4 Corrigé du Bac Métropole Spécialité Exercice III Concert de violons (4 points). Le violon.. L oscillogramme de l enregistrement du diapason représente une sinusoïde : il correspond à un son pur. L oscillogramme de l enregistrement du violon représente un signal non sinusoïdal : il correspond à un son complexe. Les deux signaux ont même période, mais leurs formes différentes impliquent des timbres différents. Ces observations sur les oscillogrammes sont confirmées par l analyse de spectres des enregistrements : les deux sons joués par les deux instruments ont bien la même fréquence fondamentale f, mais l enregistrement du violon présente des harmoniques, typiques du son complexe, harmoniques absentes dans l enregistrement du diapason, qui est typique d un son pur. Les différences dans les spectres impliquent des timbres différents pour les deux instruments. Ici seule l analyse des oscillogrammes était exigée... La fréquence f est appelée fréquence fondamentale..3. Par définition des harmoniques, les fréquences f et f 3 sont multiples entiers de la fréquence fondamentale f : f = f = 44 = 88 Hz f 3 = 3f = 3 44 = 3 Hz L arrondi correct sur ce dernier résultat n était pas exigible. S 3 T batt 7,5 cm ms 5, cm. L ensemble des violons... Tout d abord, on effectue une lecture graphique précise de la période T batt sur la courbe 3, telle que représentée ci-dessus, et utilisonsla valeur trouvée pour calculer f batt : T batt 7,5 cm ms 5, cm T batt = 7,5 5, f batt = T batt = = 5 ms = Hz 5 3 On compare en calculant le rapport proposé : f b f a = 46 4 Ainsi, on constate un bon accord : f batt = f b f a = Hz... Lorsque le musicien constate l arrêt des battements, alors f batt = Hz, il n y a plus de décalage entre f a et f b : les deux violons sont accordés.... Un fuseau a une taille égale à λ/. Donc : L = λ λ = L... La longueur d onde λ d une onde progressive est liée à sa célérité v et à sa fréquence f par la relation : λ = v f v = λf Pour le mode fondamental de fréquence f, la condition de stabilité de l onde stationnaire sur la corde impose λ = L, et donc, en remplaçant dans l expression ci-dessus : v = Lf..3. Analyse dimensionnelle pour la célérité v : [v] = L T

5 Analyse dimensionnelle pour la force F, telle que F = ma d après la projection de la deuxième loi de Newton : [F] = M L T En remplaçant dans l expression proposée : [ ] F = M L T µ M L 3 = L T ce qui est bien homogène à une célérité...4. On regroupe la relation démontrée à la question.. et la formule proposée à la question précédente : Lf = F µ f = F L µ..5. Il faut diminuer la fréquence fondamentale f émise par la corde vibrante. On ne peut changer ni la longueur L (à moins de changer de violon...), ni la masse linéïque µ (à moins de changer de corde...). Il faut donc modifier la tension F exercée sur la corde, et plus précisément, la diminuer..3.. Le niveau de perception minimal se situe, par définition, pour : I = =, W m On remplace I par dans la formule donnant le niveau sonore L en décibels : L = log = log = db.3.. Le groupe orchestral comporte dix violons, donc n =. De plus, mathématiquement : ( ) ni L n = log = logn+log I On reconnaît l expression du niveau sonore L : Chaque violon émettant toujours l intensité sonore I, telle que : L = log I I = L Remplaçons ce rapport dans l expression précédente : n = Ln L = Ln L Calculons le niveau sonore L correspondant à l exposition maximale I : L = log I = log, = db, Calculons finalement le nombre n de violons permettant d atteindre L n = L = db : n = Ln L n = 7 = 4 violons Un tel nombre de violons est impossible à réunir sur scène. 3. Conduite d un orchestre à l oreille 3.. Détaillons le calcul des douze demi-tons constituant une octave : f 3 f = f 3 f f f f f f f 9 f 9 f 8 f 8 f 7 f 7 f 6 f 6 f 5 f 5 f 4 f 4 f 3 f 3 f f f = Chaque quotient de deux fréquences successibes est égal à un demi-ton, notons k ce rapport de fréquence recherché; en remplaçant chaque quotient par k : f 3 f = k k k k k k k k k k k k = f 3 f = k = L n = L +logn Application numérique : L = 7 db pour un seul violon, et n = violons : Et par suite : k = L = 7+ = 8 db.3.3. Transformons de nouveau l équation donnant le niveau sonore L n pour n instruments : ( ) ni L n = log ni = Ln n = Ln I f i+ f i = c.q.f.d. 3.. La note si 3 est située deux demi-tons au dessus de la 3, donc : f si3 f la3 = f si3 = 44 = 494 Hz

6 Exo III Spé Métropole Exo III Spé Métropole f fréquence fondamentale f = f = 88 Hz et f 3 = 3f = 3 Hz, tor Mesure T batt = 5 ms + ou 3 périodes Calcul f batt = Hz + accord f a f b / L = λ/ v = Lf, démontrée Analyse dimensionnelle(mlt /ML ) / = LT f = /L F/µ, démontrée L = db, calculé L n = L +logn = 8 db ou équivalent n = 4 violons + Conclusion impossibilité Multiplication k = avec k = f i+ /f i = / Total.../6 Note.../ f fréquence fondamentale f = f = 88 Hz et f 3 = 3f = 3 Hz, tor Mesure T batt = 5 ms + ou 3 périodes Calcul f batt = Hz + accord f a f b / L = λ/ v = Lf, démontrée Analyse dimensionnelle(mlt /ML ) / = LT f = /L F/µ, démontrée L = db, calculé L n = L +logn = 8 db ou équivalent n = 4 violons + Conclusion impossibilité Multiplication k = avec k = f i+ /f i = / Total.../6 Note.../ Exo III Spé Métropole f fréquence fondamentale f = f = 88 Hz et f 3 = 3f = 3 Hz, tor Mesure T batt = 5 ms + ou 3 périodes Calcul f batt = Hz + accord f a f b / L = λ/ v = Lf, démontrée Analyse dimensionnelle(mlt /ML ) / = LT f = /L F/µ, démontrée L = db, calculé L n = L +logn = 8 db ou équivalent n = 4 violons + Conclusion impossibilité Multiplication k = avec k = f i+ /f i = / Total.../6 Note.../ Exo III Spé Métropole f fréquence fondamentale f = f = 88 Hz et f 3 = 3f = 3 Hz, tor Mesure T batt = 5 ms + ou 3 périodes Calcul f batt = Hz + accord f a f b / L = λ/ v = Lf, démontrée Analyse dimensionnelle(mlt /ML ) / = LT f = /L F/µ, démontrée L = db, calculé L n = L +logn = 8 db ou équivalent n = 4 violons + Conclusion impossibilité Multiplication k = avec k = f i+ /f i = / Total.../6 Note.../