3.6 La priorité des opérations dans les expressions comportant des nombres rationnels

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1 .6 La priorité des opérations dans les expressions comportant des nombres rationnels OBJECTIF Expliquer et appliquer la priorité des opérations dans les expressions comportant des nombres rationnels. Il est demandé à deux élèves d évaluer l expression suivante : ( 8) 2(2 ( 8)) 2 Voici leurs calculs : ( 8) 2(2 ( 8)) 2 = ( 0)(2 ( 8)) 2 = ( 0)( ) 2 = ( 0)(9) = 90 ( 8) 2(2 ( 8)) 2 = ( 8) 2( ) 2 = ( 8) ( 6) 2 = 8 6 = Pourquoi ces élèves ont-ils tous les deux obtenu la mauvaise réponse? Quelle est la bonne réponse? Explore 2 Utilise une calculatrice au besoin. Utilise des parenthèses ou les opérations de ton choix ainsi que les nombres rationnels suivants : 2, ; 0,5 ;, ; 0,9 Écris une expression, puis détermine sa valeur. Essaie de trouver une expression ayant une plus grande valeur. Quelles stratégies as-tu utilisées pour y arriver? Répète cette activité à plusieurs reprises. Quelle expression a la plus grande valeur? Mise en commun Compare ton expression qui a la plus grande valeur avec celle d une autre équipe. Avez-vous écrit la même expression? Sinon, qui a écrit l expression ayant la plus grande valeur? Comparez vos stratégies. Ensemble, tentez de trouver l expression qui a la plus petite valeur. Découvre À la leçon., tu as appris que les nombres entiers et les fractions étaient des nombres rationnels. Ainsi, dans les expressions comportant des nombres rationnels, quels qu ils soient, tu dois appliquer la priorité des opérations comme tu l appliques dans les expressions comportant des nombres entiers et des fractions. Effectue d abord les opérations entre parenthèses. Évalue les exposants. Effectue ensuite les multiplications et les divisions, dans l ordre, de gauche à droite. Puis, effectue les additions et les soustractions, dans l ordre, de gauche à droite..6 La priorité des opérations dans les expressions comportant des nombres rationnels 7

2 Exemple Appliquer la priorité des opérations pour simplifier des expressions comportant des nombres décimaux Évalue ces expressions. a) ( 0,8),2 ( 0,),5 b) (,2) 0,9 [0,7 (,2)] 2 Une solution a) ( 0,8),2 ( 0,),5 Effectue d abord la division :,2 ( 0,) ( 0,8) ( ),5 Effectue ensuite la multiplication : ( ),5 6 ( 0,8) ( 6) Puis, effectue l addition. 6,8 b) (,2) 0,9 [0,7 (,2)] 2 Effectue d abord la soustraction entre parenthèses : (,2) 0,9 [0,7,2] 2 additionne l opposé. (,2) 0,9 [,9] 2 Effectue ensuite l addition : 0,7,2,9 (,2) 0,9,6 Utilise une calculatrice pour évaluer la puissance :,2 0, [,9] 2,6, Puis, effectue la division : 0,9,6 0, Comme le résultat n est pas fini et ne semble pas se répéter, arrondis-le au dixième près parce que, dans la question, les nombres sont donnés ainsi. Donc, (,2) 0,9 [0,7 (,2)] 2, Une fois que les variables sont remplacées par des nombres rationnels dans une formule, il s agit de simplifier l expression numérique en appliquant la priorité des opérations. Pour évaluer des expressions comportant des nombres décimaux, utilise une calculatrice quand le diviseur comporte plus de chiffre et que le multiplicateur en comporte plus de 2. Exemple 2 Résoudre des problèmes en appliquant la priorité des opérations La formule ci-dessous permet de convertir en degrés Celsius une température en degrés Fahrenheit : F 2,8 À Fort Simpson, dans les Territoires du Nord-Ouest, la température moyenne en décembre est de 9, F. Quelle est cette température en degrés Celsius? 8 MODULE : Les nombres rationnels

3 Une solution Remplace F par 9, dans la formule : F 2,8 9, 2,8 La barre de fraction indique une division, mais elle remplit également le rôle de parenthèses. Ainsi, l expression signifie ( 9, 2),8 Donc, simplifie d abord le numérateur, puis effectue la division. 9, 2 Effectue la soustraction.,8, Effectue la division.,8 2 La température moyenne en décembre est de 2 C. Exemple Appliquer la priorité des opérations pour simplifier des expressions comportant des fractions Évalue cette expression. a a 2 2 ba 2 b b c a 2 bd Une solution a a 2 Effectue d abord les additions entre crochets. 2 ba 2 b b c a 2 bd a a 2 Utilise 2 pour dénominateur commun. 2 ba 2 b b c 2 d a a 2 2 ba 2 b b c 2 2 d a a 2 a Effectue la multiplication. 2 ba 2 b b 2 b a 2 Ensuite, effectue la division : b a 2 b a 2 multiplie par l inverse du diviseur. b a 2 b a 2 a b b ( 8) La priorité des opérations dans les expressions comportant des nombres rationnels 9

4 Exprime tes idées. Qu indique la barre de fraction? 2. À mesure que le nombre d opérations augmente et que les expressions se complexifient, les risques d erreurs augmentent. Que peux-tu faire pour les éviter? À ton tour Vérification. Évalue les expressions suivantes sans utiliser de calculatrice. a) 2, (,6) (0,8) b) (,8) 0,9, c) ( 2,8) ( 0,2),5 0,5 d) (,8) ( 0, 0,6) 2. Évalue les expressions suivantes sans utiliser de calculatrice. a) a 2 b b) a 5 a b 2 b a 2 b c) a 7 a 0 b a 2 5 b b 2 d) a b 5 2 Mise en application 5. a) Évalue l expression suivante à l aide d une calculatrice. Entre l expression telle quelle : 2,8,,5 b) La calculatrice applique-t-elle la priorité des opérations ou effectue-t-elle plutôt les opérations de gauche à droite? Comment l as-tu découvert? 6. Estime laquelle de ces expressions a la plus grande valeur. Ensuite, vérifie ta prédiction en évaluant chaque expression à l aide d une calculatrice. a) 9,,5 (,2) 2 b) (9,,5) (,2) 2 c) 9, (,5,2) 2 d) 9,[(,5) (,2) 2 ] 7. Évalue ces expressions. a) a 2 b 2 2 b) a 2 b c a 2 bd c) a 2 b c a 2 bd d) a 2 b c a 2 b d 8. Repère les erreurs dans chacune des solutions. Écris ensuite la bonne solution. a) b) (,7) x ( 2,8 +,5),8 (,2) = (,7) x (,),8 (,2) =,8,8 (,2) = 9,6 (,2) = 8,008 x = x 0 0 = 7 0 x 0 5 = 00 5 = 5 00 x = ( ) x ( 5) 00 x = MODULE : Les nombres rationnels

5 9. Une famille déménage de Chicago à Saskatoon. Une entreprise de location de camions utilise la formule suivante,,5[2,95j 0,05(k 20)], pour déterminer le coût, taxes comprises, de la location d un camion pendant j jours et k kilomètres, quand k 20. La distance entre Chicago et Saskatoon est de 2 00 km ; le voyage durera jours. Quel est le coût de la location du camion? 0. Une boîte de soupe est un cylindre ayant un rayon de,5 cm et une hauteur de,5 cm. Utilise la formule suivante : Aire de la surface 2πr 2 2πr hauteur, où r représente le rayon de la boîte de conserve. a) Calcule l aire, au centimètre carré près, de ferblanc nécessaire à la fabrication de la boîte de conserve. b) Explique comment tu as appliqué la priorité des opérations en a). b) Voici une autre façon d écrire la formule en a) : 5 (F 2) 9 Utilise cette formule pour convertir en Celsius ces températures en Fahrenheit : i) 50 F ii) F iii) 2 F c) Quelle formule est la plus facile à appliquer : celle en a) ou celle en b)? Explique ton choix. 2. Évalue les expressions suivantes. Mentionne l ordre dans lequel tu les as effectuées. a) a 2 2 b a 2 b b) a 2 5 b a 5 6 b 0 c) ( ) a 5 b a 5 2 b 2 d) a 5 8 b a 2 2ba 2 2b. Utilise une calculatrice pour évaluer les expressions suivantes. Lorsque nécessaire, écris les réponses au centième près. a) 2, (,2) ( 0,2),7 b) (,) 0,7 (,8)(,8) c) d) 0,67,2 ( 0,22 ( 7, 8,62 2 8,9 (, 22,72 2,7 ( 9,62 0,0 0,. Un jour, à Black Lake, en Saskatchewan, la température maximale a été de 8, C et la température minimale, de 6,7 C. a) Quelle a été la température moyenne ce jour-là? b) Comment as-tu appliqué la priorité des opérations en a)?. a) Utilise la formule suivante pour convertir en Celsius ces températures en Fahrenheit : F 2,8 i) 0 F ii) 0 F iii) 5 F.6 La priorité des opérations dans les expressions comportant des nombres rationnels

6 5. Objectif d évaluation Utilise les nombres suivants pour écrire fractions : 2,,, 5, 6, 8, 0, 2 a) Écris une expression comportant ces fractions, opérations différentes ainsi que des parenthèses. Évalue ensuite ton expression. b) Utilise ces mêmes fractions d une autre façon ou utilise autres fractions pour écrire une expression dont la valeur est la plus proche possible de 0. Montre ton travail. 6. Les températures maximales suivantes ont été enregistrées pendant une semaine à Abbotsford, en Colombie-Britannique :, C,,5 C, 6,2 C,,2 C,,5 C, 2, C,, C a) Fais une prédiction : la moyenne des températures maximales est-elle supérieure ou inférieure à 0 C? b) Calcule la moyenne des températures maximales enregistrées cette semaine-là. 7. Un élève a résolu un problème, dont les calculs figurent ci-dessous, et a arrondi sa réponse au centième près. La solution est incorrecte. Repère les erreurs dans ses calculs. Trouve la bonne solution. ( 8,2) 2 ( 0,) 2,9 x ( 5,7) = 67,2 ( 0,) 2,9 x ( 5,7) = 67,2 ( 0,) 6,5 = 67,2 ( 6,8),00 8. Une élève a évalué l expression suivante. Son résultat, arrondi au centième près, est 50,9. Une autre élève a évalué la même expression. Son résultat, arrondi au centième près, est,6. 2,7 ( 5,62 0,7 6,8 ( 2 ( 6,72,5 a) Qui a obtenu le bon résultat? b) Quelle erreur a possiblement faite l élève qui a obtenu le mauvais résultat? Va plus loin 9. À la question, tu as utilisé ces deux versions d une formule pour convertir en degrés Celsius des températures en degrés Fahrenheit : F 2 5 et (F 2),8 9 Explique comment obtenir une version de la formule à partir de l autre version. 20. À Flin Flon, au Manitoba, la moyenne des températures maximale et minimale un jour donné était de 2,8 C. La température maximale était de,5 C. Quelle était la température minimale? 2. Insère des parenthèses qui rendront vraie l égalité suivante. Est-il possible d y insérer des parenthèses et d obtenir une réponse positive? Explique ton raisonnement.,8 9, 2,5 0,5, Réfléchis Quand tu appliques la priorité des opérations pour simplifier des expressions comportant des nombres rationnels, préfères-tu travailler avec des nombres écrits sous la forme de fractions ou sous la forme de nombres décimaux? Explique ta préférence. 2 MODULE : Les nombres rationnels