Analyse statique d une pièce - Modèle massif F. Louf

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1 Analyse statique d une pièce - Modèle massif F. Louf Dans cette fiche, on montre comment calculer la solution éléments finis d un problème de statique sur une pièce modélisée comme un massif déformable. Le support retenu est un dynamomètre pour lequel une solution de référence est tout d abord calculée analytiquement. A l issue du calcul, on peut comparer la contrainte normale du modèle poutre à celle calculée par éléments finis.

2 1 Objectifs de l étude proposée On considère le dynamomètre de forme globalement circulaire, excepté les bossages présents dans les zones de contact avec les structures environnantes (traverse de la machine de traction, pièce à tester). F F FIG. 1 Géométrie 3D du dynamomètre L objectif de cette étude est multiple : obtenir le lien entre le déplacement radial mesuré et l effort appliqué ; obtenir le lien entre les déformations mesurées en surface par jauge de déformation et l effort appliqué ; obtenir la charge maximale tolérée par le dynamomètre. Modèle poutre Le rayon de courbure est grand devant les dimensions de la section : R = 75 mm, et b = 1 mm, h = mm. Les variations de section sont inexistantes, excepté dans les zones d appui. Ces sur-épaisseurs ne seront pas considérées dans le modèle utilisé. Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf

3 .1 Symétries.1 Symétries Le chargement correspond à une compression diamétrale du dynamomètre. Il y a donc symétrie du chargement par rapport aux deux plans (O, x, z) et (O, y, z). Par ailleurs, la géométrie issue de la modélisation, tout comme la structure réelle, est elle aussi symétrique par rapport à ces deux plans. Globalement, le problème de mécanique présente donc deux plans de symétrie que l on exploitera par la suite.. Liaisons Le problème posé précédemment ne comporte pas de liaison avec le bâti. Par contre, la prise en compte des symétries impose : rotation nulle en A et B ; déplacement nul selon y en A, selon x en B. On obtient ainsi le modèle décrit sur la figure. y B P y t G n O θ A x FIG. Modèle poutre retenu, en tenant compte des symétries.3 Degré d hyperstatisme Le système étudié ne présente aucune mobilité. Nous avons un solide, c est-à-dire trois équations issues du principe fondamental de la statique (problème plan) et quatre inconnues de liaison : moments d encastrement en A et B ; effort selon y en A, selon x en B. Le problème est donc hyperstatique d ordre un. Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 3

4 .4 Résolution.4 Résolution La résolution d un problème hyperstatique passe par l utilisation, par exemple, de théorèmes énergétiques..4.1 Equations de la statique L isolement du quart de la structure, et l application du principe fondamental de la statique donnent trois équations : X B = (1) Y A F = () M A + M B + RF = (3).4. Efforts de cohésion Le torseur des efforts de cohésion en un point G(θ) de la poutre est défini comme l opposé du torseur des efforts extérieurs appliqué sur la partie P de la poutre définie par le secteur angulaire [, θ]. En isolant la partie P de la poutre, on obtient pour le torseur des efforts extérieurs : { } T Ext P = F M A = (A,( x, y, z)) F M A + FR(1 cos(θ)) Ainsi le torseur des efforts de cohésion est : } {T Coh = F M A + FR(1 cos(θ)) (G,( x, y, z)) (G,( x, y, z)) soit dans la base locale de la poutre, de manière à voir quelles sont les sollicitations : } N(θ) F cos(θ) {T Coh = T y (θ) = F sin(θ) M fz (θ) M A + FR(1 cos(θ)).4.3 Energie de déformation (G,( t, n, b)) (G,( t, n, b)) L énergie de déformation totale est, en négligeant l énergie de cisaillement devant les autres : E d = 1 L.4.4 Obtention de l équation manquante (4) (5) (6) Mfz + N ds (7) Le théorème de l énergie complémentaire dit que la solution en effort du problème réalise le minimum de l énergie complémentaire sur l ensemble des champs statiquement admissibles. On rappelle que l énergie complémentaire est définie par : E c = E d W (8) Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 4

5 .4 Résolution où W représente le travail des efforts calculés dans les déplacement imposés. Il est donc impératif d écrire l énergie de déformation en tenant compte de l équilibre statique. Pour cela, on choisit une inconnue hyperstatique (M A par exemple), et on écrit tout en fonction de cette inconnue et des données du problème : E d = 1 L (M A + FR(1 cos(θ))) + (F cos(θ)) ds (9) Dans notre cas, W = puisque tous les déplacements et rotations imposés sont nuls. Ainsi, le théorème de l énergie complémentaire conduit à (cf théorème de Ménabréa) : soit encore, avec ds = Rdθ : π Cette dernière équation conduit à : Finalement, le moment d encastrement en A est : et donc : de c dm A = de d dm A = (1) R (M A + FR(1 cos(θ))) dθ = (11) π M A + FR(π 1) = (1) M A = π FR (13) π M B = FR (14) π Le moment fléchissant est donc connu : M fz (θ) = FR ( ) π cos(θ) (15).4.5 Contrainte normale en surface Sur la peau intérieure, la contrainte normale est donnée par : σ n (θ, R h/) = N(θ) S = F S + M fz h I gz cos(θ) 6FR bh ( ) π cos(θ) (16) (17) Sur la peau extérieure, la contrainte normale est donnée par : σ n (θ, R + h/) = N(θ) S = F S M fz h I gz cos(θ) + 6FR bh ( ) π cos(θ) (18) (19) Les déformations aux "points" de mesure (θ = ) peuvent alors être déduites de la contrainte par la loi de Hooke. Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 5

6 .4 Résolution.4.6 Obtention de la raideur de l anneau L utilisation du théorème de Castigliano permet de trouver le lien entre l effort F y appliqué en B et le déplacement δ y qui en résulte : Il suffit de calculer : de d df = 1 π [ R d M ] fz df = R = R = R π π π = R M A + FR = R π Finalement : + d df M A + FR(1 cos(θ)) [ N M A + FR(1 cos(θ)) R π RM A + FR FR R 4 π La raideur vaut alors : de d df = δ () ] dθ (1) ( R π π ( π cos(θ) R (M A + (1 + )FR) cos(θ) π + R (M A + (1 + )FR) ( π FR 3 + ( FR FR FR ) π 4 δ = F k = ) + R(1 cos(θ)) + F(cos(θ)) + F dθ () ) + F(cos(θ)) dθ (3) ( ) FR (cos(θ)) dθ + FR ( π 4 ) R 3 + F π R π 4 1 ( π 4 π) R 3 + π 4 R ) π 4 La raideur ainsi calculée est bien celle de l anneau dynamométrique complet : le déplacement radial total vaut δ ; l effort appliqué sur l anneau complet vaut F. On remarquera que le second terme du déplacement est très faible par rapport au premier. La souplesse de la structure est essentiellement due à la flexion, et très peu à la compression. La correction apportée sur le déplacement est de l ordre de 1%. En effet la différence relative des déplacements calculés avec et sans prise en compte de la compression est : π I gz π 8 R S = π bh 3 π 8 1R bh = π π 8 h h =.44 1R (4) (5) (6) (7) (8) R (9) A partir du moment où on fait l hypothèse d un rayon de courbure R important devant les dimensions de la section (h notamment), la compression peut être négligée..4.7 Applications numériques Les caractéristiques dimensionnelles et matériau de l anneau dynamométrique sont : Rayon intérieur : R int = 69 mm ; Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 6

7 Rayon extérieur : R ext = 81 mm ; Rayon moyen : R = (R int + R ext )/ ; Epaisseur selon un rayon : h = R ext R int ; Epaisseur selon z : b = mm ; Module de Young : E = 1 MPa. La raideur calculée avec ces éléments est : k = 959 N.mm 1 (3) Pour une charge de 1 N, la contrainte normale maximale est obtenue à l extérieur et à l intérieur de l anneau en θ = π (l effort normal est nul) : σ max n = 49.7 MPa (31) A titre indicatif, la contrainte normale en θ = vaut 6.3 MPa à l extérieur et 3.5 MPa à l intérieur. Ces valeurs sont intéressantes parce qu à cet endroit la géométrie représentée par le modèle poutre est proche du modèle 3D. σ (MPa) 4 θ (deg) FIG. 3 Contrainte normale sur les faces extérieure et intérieure (MPa) en fonction de l angle 3 Mesures Des mesures effectuées fournissent les informations suivantes : lien entre l effort appliqué et le déplacement radial mesuré ; lien entre l effort appliqué et les déformations mesurées pour θ =. La raideur mesurée vaut k = 1588 N.mm 1 (3) Les déformations mesurées à l intérieur et à l extérieur pour un effort unitaire sont : ε int =.14µm.m 1.N 1 (33) ε ext =.14µm.m 1.N 1 (34) Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 7

8 Un rapide calcul permet d estimer la contrainte normale à l extérieur et à l intérieur de l anneau dynamométrique, pour θ =. On obtient : σn ext = 3, 1 Mpa et σn int = 31, 3 Mpa 4 Modèle éléments finis 4.1 Géométrie 3D La géométrie 3D est déjà créée et peut être récupérée dans le fichier Dynamometre.CATPart mais ne prend pas en compte les symétries. Il faut couper le volume par les trois plans de symétrie. Si cela n est pas fait dans la géométrie mise à disposition, double-cliquer sur l icône coupe (afin de maintenir celle-ci active) et sélectionner successivement les trois plans de symétrie. Une fois que cela est fait, cliquer sur annuler pour fermer la fenêtre de l outil. Remarque. On fera en sorte de conserver le volume dont les points matériels sont de coordonnées x, y et z positives. Pour modifier la zone conservée après coupe, on peut cliquer sur la flèche orange apparaissant sur le volume lors de l utilisation de l outil. Maintenant que la géométrie est adaptée au modèle que l on souhaite traiter, on peut lancer l atelier d analyse éléments finis : Analyse et simulation/generative Structural Analysis. A l ouverture de l atelier une fenêtre propose de choisir le type d analyse à effectuer : sélectionner Analyse statique. 4. Maillage Le maillage tétraédrique est pré-défini dès que l on entre dans l atelier. La taille des éléments est calculée en fonction de la géométrie (dimension, détails,...). Le maillage sera mis à jour lors du calcul. Pour le visualiser dès maintenant, cliquer droit sur le nœud Maillage, et sélectionner visualiser le maillage. Une fois que cela est fait, désactiver l image en cliquant droit sur le maillage dans l arbre. 4.3 Définition de groupes Afin de visualiser aisément des quantités mécaniques (déplacements, contraintes) dans des zones particulières telles que des petites surfaces, des arêtes, des points, et de les exporter, il est intéressant d utiliser la notion de groupes. Un groupe peut être vu comme une interface entre une géométrie (sous-jacente au maillage ou pas) et les noeuds d un maillage. Ici on cherche à récupérer la contrainte normale sur les surfaces intérieures et extérieures. Pour simplifier, on ne va regarder cette quantité que sur l intersection de ces surfaces avec le plan médian du dynamomètre (O, x, y). Il faut donc définir deux groupes de lignes que l on nommera respectivement "Noeuds de la ligne extérieure" et "Noeuds de la ligne intérieure", et qui correspondront au cercle intérieur, et au cercle extérieur (jusqu au bossage), comme explicité sur la figure 4. Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 8

9 4.4 Conditions aux limites (a) Ligne intérieure (b) Ligne extérieure FIG. 4 Lignes intérieures et extérieures à sélectionner pour définir les groupes Une fois ces éléments définis, il est possible de visualiser les entités qui y sont rattachées et notamment les nœuds ; pour cela il suffit de cliquer droit sur un groupe (dans l arbre) et de choisir Analyse du groupe. En cochant la case Noeuds, les nœuds associés au groupe sont tracés. 4.4 Conditions aux limites Les conditions aux limites sont ici issues uniquement des trois conditions de symétrie. Il s agit donc d appliquer un déplacement nul selon les normales des plans de symétrie, sur les plans de symétrie. Une façon simple d appliquer cette condition est d utiliser l outil Glissement Surfacique en sélectionnant les faces concernées. Une autre méthode consiste à utiliser l outil Fixations définies par l utilsateur. Il faut alors cocher les degrés de liberté que l on souhaite bloquer (et pas l inverse). 4.5 Prise en compte de la traverse En pratique, si l on considère que la traverse qui impose l effort sur le dynamomètre est très rigide, on peut imposer que les points du plan du bossage restent dans un plan après déformation. Pour cela, on peut imposer que la face d application de l effort demeure rigide pendant le chargement à l aide de l outil Pièce virtuelle rigide dans lequel on aura sélectionné la face en question. Remarque. On aurait pu contourner ce problème en imposant le déplacement normal au bossage et en mesurant la réaction dans ce déplacement imposé. 4.6 Chargement Le premier chargement considéré est une pression sur la face plane d appui. On choisira une pression telle que la résultante soit égale à 1 N qui correspond à la charge pour laquelle des Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 9

10 4.7 Premier calcul mesures ont été réalisées.. On peut naturellement calculer la pression équivalente à la main, mais une méthode plus élégante est proposée ci-dessous. Un paramètre associé à l effort doit tout d abord être créé. Pour cela, dans la fenêtre Outils/Formules, créer un paramètre de type force : choisir le type du paramètre (Force) ; créer un nouveau paramètre ; le renommer sous le nom Effort ; lui donner la valeur 1 (N par défaut). Cliquer sur l icône associée à l outil Pression : une fenêtre s ouvre. Sélectionner la face sur laquelle on souhaite appliquer la pression ; Dans la ligne précisant la valeur de la pression, cliquer droit, et dans le menu déroulant, sélectionner Editer formule ; La fenêtre qui s ouvre permet de définir la pression en fonction de paramètres déjà définis : la taille de la face supportant le chargement et l effort appliqué ; dans les paramètres renommés, double cliquer sur Effort ; le paramètre est inséré dans la ligne de formule ; insérer à la suite le signe / dans la ligne de formule ; pour calculer l aire de la face, il suffit de faire le produit des paramètres de longueur et de largeur du bossage ; entourer finalement ce produit de parenthèses et fermet la fenêtre. La pression qui apparaît alors est calculée automatiquement en fonction de la géométrie et du paramètre d effort que l on pourra modifier par la suite. Fermer la fenêtre associée à l outil Pression. 4.7 Premier calcul Pour lancer le calcul, cliquer sur l icône Calcul. 4.8 Extraction des contraintes normales Cliquer droit sur l objet solution statique de l arbre, et dans le menu contextuel, sélectionner Génération d images. Choisir dans la liste proposée de tracer le tenseur des contraintes, par composante, aux noeuds. L image est créée et insérée dans l arbre sous le nœud Solution statique. Il faut maintenant définir quelle contrainte on souhaite tracer, et dans quel repère. Pour cela, éditer l image créée (double clique), et cliquer sur Plus pour avoir accès au choix des composantes et du repère. Préciser que le repère choisi est cylindrique : cela permet de travailler dans un repère bien adapté à la géométrie. On peut éventuellement tracer localement ce repère pour vérifier qu il correspond à ce que l on souhaite. Dans ce repère, la composante qui nous intéresse est σ θθ c est à dire C pour le logiciel. Dans l onglet supérieur Sélection, choisir de tracer cette quantité uniquement sur l un des groupes (lignes) créés précédemment. Il est alors simple d exporter les valeurs tracées dans un fichier texte en cliquant droit sur Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 1

11 4.9 Etude de convergence l image dans l arbre et en sélectionnant Exporter les résultats. Importer le fichier texte dans Excel, et ordonner correctement les valeurs en allant du plan ( x, z) au plan ( y, z). Coller ensuite ces valeurs dans le fichier Excel fourni, et trier toutes ces données en fonction de l angle polaire croissant (le calcul du rayon polaire et de l angle est déjà implanté). Comparer enfin les contraintes obtenues à celles du modèle poutre et aux valeurs locales issues des mesures. Répéter cette opération pour l autre groupe créé, et commenter la qualité des résultats obtenus. Remarque. Lorsque l on souhaite tracer un champ de contraintes on a toujours le choix entre des contraintes aux noeuds des éléments ou aux noeuds. Cela veut dire que l on peut, soit tracer les contraintes directement issues du calcul éléments finis, c est à dire aux points de Gauss, soit interpoler ces quantités sur les fonctions de formes éléments finis. Cette deuxième solution est impérative ici pour exporter la contrainte sur une arête car celle-ci ne comporte pas de point de Gauss. 4.9 Etude de convergence Les quantités d intérêt considérées pour cette étude de convergence sont : la contrainte normale maximale ; le déplacement radial dans la zone de chargement ; la raideur du dynamomètre. Pour faire cette étude il suffit de diminuer progressivement et uniformément la taille du maillage imposée au départ. Icône Nom de l outil Description sommaire Mailleur tétraédrique Mailleur triangle Mailleur poutre Groupe de points Groupe de lignes Groupe de surfaces Force distribuée Pression Déplacement imposé Encastrement Glissement surfacique Contraintes avancées Calcul Créer un maillage à base de tétraèdres Créer un maillage à base de triangles Créer un maillage à base de segments Trouver les noeuds, etc, correspondant à des points Trouver les noeuds, etc, correspondant à des lignes Trouver les noeuds, etc, correspondant à des surfaces Appliquer une force en N de façon distribuée sur un support Appliquer une pression en N/m sur une surface Imposer une valeur de déplacement non nul pour un blocage Bloquer tous les ddl d un support Bloquer tous les ddl selon la normale à un support Bloquer les ddl choisis d un support Lancer le calcul de toutes ou d une partie des analyses TAB. 1 Outils utilisés dans Catia et icônes correspondantes dans les ateliers utilisés Analyse statique dans Catia Exemple et validation des calculs éléments finis - F. Louf 11