Mots de Dyck. On peut donner deux définitions d un mot bien parenthésé. est l ensembles des mots sur l alphabet { a, b } défini par

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1 Mots de Dyck On peut donner deux définitions d un mot bien parenthésé Par induction. est l ensembles des mots sur l alphabet { a, b } défini par Si u et v sont dans, il en est de même de a.u.b.v Par propriétés D est l ensemble des mots w sur l alphabet { a, b } tels que w a autant de a que de b Tout préfixe de w a plus de a que de b Théorème. D=

2 D= B={ } : (u,v) a.u.b.v a a a b b a b b a a b b

3 propriétés D= induction D preuve par récurrence généralisée sur la longueur du mot Tout mot de D de longueur 0 est dans Si tous les mots de D de longueur < n sont dans, il en est de même pour tout mot de D de longueur n. D preuve par induction Tout élément de la base satisfait les propriétés Si u et v sont deux mots de qui satisfont les deux propriétés, il en est de même de aubv

4 D : preuve par induction (1) le mot vide vérifie les propriétés (i) et (ii) de la définition 1. (2) Si u et v dans E vérifient les propriétés (i) et (ii), alors il en est de même pour le mot aubv : (i) aubv a = u a+ v a+1= u b+ v b+1= aubv b (ii) si w' est un préfixe de aubv alors soit w'=au' avec u' préfixe de u, Dans ce premier cas, on a u' a u' b et donc au' a au' b,d'où w' a w' b. soit w' = aubv' avec v' préfixe de v Dans ce second cas, on a u a= u b et v' a v' b, donc aubv' a aubv' b, d'où w' a w' b.

5 D : preuve par récurrence généralisée sur la longueur du mot (1) Si n=0, le mot est vide et appartient évidemment à.. (2) Soit n entier. Supposons que tout mot de D de longueur k< n appartienne à. Montrons alors que tout mot de longueur n de D appartient aussi à. Soit donc un mot w de D de longueur n. Le mot w commence forcément par un a comme tout mot de D. Soit w'le plus petit préfixe tel que w' a= w' b.le mot w' commence par a et finit par b (pourquoi?). Notons w'=au'b. On a u' a= w' a-1= w' b-1= u' b. Alors tout préfixe u" de u' vérifie au" a> au" b, et donc u" a u" b. D'après ce qui précède, le mot w s'écrit au'bv. Montrons que v est aussi dans D. v a= v b car w a= w b et u' a= u' b. Si v' est un préfixe de v, alors au'bv' est un préfixe de w et donc au'bv' a au'bv' b ce qui prouve que v' a v' b. Finalement, le mot w de D s'écrit au'bv avec u' et v mot de D. D'après l'hypothèse de récurrence, u' et v sont donc aussi dans (ils sont de longueur <n), et donc w = au'bv est donc également dans par définition.

6 4. Logique propositionnelle

7 Qu est ce que la logique? La logique sert à étudier le raisonnement. C est un domaine où l on fait la distinction entre : la juxtaposition formelle des symboles : la syntaxe la signification des suites de symboles : la sémantique Les modèles logiques sont définis à partir : Exemples : de langages de symboles d ensembles de règles syntaxiques. Un programme est une suite de symboles. Un langage de programmation est un ensemble de règles pour agencer des symboles. Un programme se plie ainsi à une syntaxe. Ensuite, on lui applique une sémantique afin d interpréter ce que fait le programme. Du point de vue syntaxique, 3+4 est une expression arithmétique. Sémantiquement, on y voit une addition qui pourra être ensuite évaluée à 7.

8 L algèbre de Boole IB L ensemble de Boole IB est défini par l ensemble {0,1} muni des opérations suivantes Une addition définie par Une multiplication x x L opération complémentaire définie par Une variable à valeur dans B sera dite booléenne.

9 Algèbre de Boole Plus généralement, une algèbre de Boole est constituée d un ensemble E muni de de deux éléments distincts T (vrai) et (faux) dans E de deux opérations binaires. et + d une opération unaire - satisfaisant les propriétés suivantes les opérations. et + sont associatives, pour tout x et tout y de E : x. ( x + y ) = x = ( y. x ) + x (absorbtion) commutatives, distributives l une par rapport à l autre idempotentes. x. = x + = x x. T = x x + T = T x. x = x + x = T Exemple : Les parties d un ensemble fini avec l intersection et l union.

10 Fonctions booléennes à deux variables C est l ensemble des fonctions de {0,1} 2 dans {0,1} En logique on utilise la conjonction, la disjonction la négation En informatique on utilise plutôt AND, OR NOT

11 Implication On définit l opération par p q = p q p q p p q

12 Contraposée p q = q p Il suffit de remarquer que p q = p q =q p = ( q) p = q p Attention, c est différent d une preuve par l absurde Pour montrer p q on suppose ( p et q) et on aboutit à une contradiction

13 Equivalence On définit l opération par p q = p q q p p q p q q p p q

14 Fonctions booléennes à deux variables x y 0 x y nor y x nand

15 Circuits On peut construire des circuits électroniques qui implémentent les opérations logiques à partir des portes logiques classiques Porte ET Porte OU Porte NON

16 Calcul propositionnel : syntaxe On définit le calcul propositionnel comme on définit le calcul arithmétique. Les propositions sont construites à l aide de variables issues d un ensemble V dénombrable et des symboles {,,,,, (, ),, }. où est l absurde, et est son contraire, le vrai. Définition inductive de l ensemble des formules F : (B) Tout élément de V {, } est une formule de F (I) si A et B F, alors ( A) F ( A B ) F ( A B ) F ( A B ) F ( A B ) F

17 Calcul propositionnel : sémantique Soit F une formule et I une application de l ensemble V dans B On identifie les constantes booléennes 0 et 1 respectivement à faux et à vrai. I est alors appelée une interprétation. La valeur de vérité de F est donnée par I(F) ainsi définie (on étend à toutes les formules l application I définie pour l instant que pour les éléments de V). si F =, alors (F) = 1, si F = alors I(F) = 0 si F = v V, I(F) = I(v) si F = F, I(F) = I(F ) si F = F F", I(F) = I(F ).I(F") si F = F F", I(F) = I(F ) + I(F") si F = F F", I(F) = I(F ) + I(F") si F = F F", I(F) = ( I(F ) + I(F") ). ( I(F") + I(F ) )

18 Vocabulaire Une formule F est valide si pour toute interprétation I, I(F) = 1 On dit que F est une tautologie. Une formule F est satisfaisable s il existe une interprétation I telle que I(F) = 1 On dit que I satisfait F et on le note : I F. Une formule F est insatisfaisable si pour toute interprétation I, I(F) = 0 On dit que F est une antilogie.

19 Satisfaisabilité Théorème La satisfaisabilité de la logique propositionnelle est décidable. Dit autrement, il existe un algorithme qui prend en entrée une formule donnée et qui répond en sortie si la formule est satisfaisable ou pas. L algorithme naïf consiste en l étude exhaustive de toutes les valeurs de vérité possibles de la formule, mais ce n est pas efficace. D autres algorithmes ne se basant pas sur l interprétation (donc purement syntaxiques) peuvent être plus efficaces. C est l idée de la déduction naturelle, un ensemble de méthodes pour produire automatiquement des démonstrations.

20 Equivalence Soient F et F deux formules. F et F sont dites équivalentes et on note F F quand on a I(F) = I(F ) pour toute interprétation I. Exemple : Une loi logique de Morgan : ( p q) ( p ) ( q ) Il y a 4 possibilités de définir des valeurs pour le couple ( p,q ). Pour toutes les possibilités, les deux formules ont la même valeur de vérité. Elles sont donc équivalentes.

21 Quelques «identités remarquables» Soient deux variables booléennes p et q. élimination des flèches p q ( p q ) ( q p ) p q p q au sujet de la négation ( p) p ( p q) ( p ) ( q ) ( p q) ( p ) ( q )

22 Quelques «identités remarquables» Soient trois variables booléennes p, q et r. au sujet de la disjonction p q q p p (q r) (p q) r p p p au sujet de la conjonction p q q p p (q r) (p q) r p p p distributivité de l une par rapport à l autre p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

23 Des équivalences célèbres Des équivalences logiques sont à la base des techniques de démonstration. L implication et sa contraposée ( p q ) ( ( q) ( p) ) Deux raisonnements par l absurde ( ( p) ) p En effet ( p) ( ( ( p ) ) ) p p. ( ( p ( q ) ) ) ( p q ) En effet ( p ( q ) ) ( ( p ( q ) ) ( p ) q ( p ) q ( p q )

24 Table de vérité Pour connaître la valeur de vérité d une formule, on calcule de proche en proche la valeur de vérité des sous-formules qui la composent. x y y x x ( y x) (x ( y x)) (x ( y x)) y

25 Des fonctions booléennes aux propositions A partir d'une proposition, on peut toujours construire la table de vérité et le circuit logique correspondant. Réciproquement, étant donnée une table de vérité (i.e une fonction booléenne), on peut chercher à exprimer cette fonction à partir des opérations ET,OU et NON.

26 Des fonctions booléennes aux propositions p q r f(pqr) g(p,q,r)

27 Des fonctions booléennes aux propositions p q r f(pqr) g(p,q,r) f(pqr) p q r p q r p q r p q r On en déduit que f(p,q,r)=pqr + pqr + pqr + pqr

28 Conséquence d un ensemble de formules Un ensemble de formules {F1, F2,, Fn} satisfait F et on note {F1, F2,, Fn} F quand on a pour toute interprétation I : ( i, I(Fi) = 1 ) I(F) =1 On dit alors que F est une conséquence des {F1, F2,, Fn}. Théorème {F1, F2,, Fn} F ssi ( F1 F2 Fn ) F est une tautologie. Exercice : la démonstration se fait par récurrence sur n.

29 Modus ponens Est-ce que {p q, p} q? On cherche à montrer si : ( ( ( p q ) p ) q ) apple On pourrait faire la table de vérité. On procède ici par identités remarquables: ( ( ( p q ) p ) q ) ( ( p q ) p ) q ( ( p q ) p ) q ( ( p p ) ( q p ) ) q ( ( q p ) ) q ( q p ) q q ( p) q ( p) Cette règle de déduction s appelle le modus-ponens.

30 Déduction En informatique, on est très intéressé par la démonstration automatique. D où la nécessité de formaliser le raisonnement, et plus précisément la déduction.