Loi Normale. 10 février X. Hallosserie. lycée Blaise Pascal. 1 Introduction : durée de vie d un lave-vaisselle 2

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1 Loi Normale 0 février 205 X. Hallosserie lcée Blaise Pascal Table des matières Introduction : durée de vie d un lave-vaisselle 2 2 La loi normale 2 3 Eemples de Calculs avec la loi normale 4 4 «Inverser» la loi normale 5 5 Approimation d une loi binomiale par une loi normale 6

2 Introduction : durée de vie d un lave-vaisselle On envisage le cas où la variable peut prendre ses valeurs (du moins théoriquement) dans un intervalle de R, ou dans R tout entier. Par eemple, la variable aléatoire X mesurant la durée de vie (en années) d un lave-vaisselle. On peut admettre, en étant optimiste, que X prend ses valeurs dans [ 0 ; 20 ]. La probabilité qu un lave-vaisselle donné ait une durée de vie d eactement 0 ans 26 jours 5 heures 8 minutes et 20 secondes est nulle. En revanche, la probabilité que ce même lave-vaisselle ait une durée de vie comprise entre 8 et 2 ans n est pas nulle et peut être estimée. On dit qu autour de 0 ans il a une «densité de probabilité». La loi normale caractérisée par sa courbe en cloche permet de calculer cette probabilité. C est la loi à densité la plus utilisée. P (8 X 2) Sur notre eemple X suit une loi normale de paramètres = 0 et σ =.5. représente la durée de vie moenne d un lave-vaisselle et σ l écart tpe, c est à dire, la mesure de la dispersion autour de cette valeur moenne des différentes durées de vie possibles. On note X N (0 ;.5). La probabilité que la durée de vie soit comprise entre 8 et 2 ans est alors égale à l aire indiquée sous la courbe, sachant que l aire totale est égale à. De façon générale, la loi normale est le modèle mathématique de phénomènes dont les causes sont nombreuses, indépendantes, mal connues, dont aucune n est prépondérante et dont les effets s ajoutent. C est le cas des phénomènes atmosphériques, températures, erreurs de mesure, phénomènes économiques et sociau, etc. ans 2 La loi normale Définition Une variable aléatoire continue X à valeur dans R suit une loi normale de paramètre et σ si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur R par : f() = σ ( ) 2 2π e 2σ 2 avec σ > 0 La loi de la variable aléatoire X est notée N ( ; σ). 2

3 Eercice À la calculatrice :. Calculer , 5 ( 0) 2 2π e 2,5 2 d. 2. Calculer 0, 5 2π e 3. Comment interpréter ces résultats? ( 0) 2 2,5 2 d. MENU RUN OPTN CALC d Remarque La courbe est "centrée" sur la valeur moenne. Plus σ est grand et plus la courbe "s étale" (toujours avec une aire totale sous la courbe égale à ). Eercice 2 σ = 0, 75 σ = Comparer les courbes à la calculatrice : MENU GRAPH (X 0) 2 Entrer Y =, 5 2π e 2, 5 2 (X 0) 2 Entrer Y 2 = 2π e 2 2 (X 2) 2 Entrer Y 3 = 2π e 2 2 Régler la fenêtre d affichage : SHIFT V-Windows : σ =, 25 Xmin : 0 Xma : 20 Ymin : 0 Yma : 0.5 DRAW 3

4 Propriété Si X suit la loi normale N ( ; σ) et si a et b sont deu réels tels que a b alors : b p(a X b) = a σ ( ) 2 2π e 2σ 2 d P (a X b) a b Remarques Dans la pratique, le calcul sera effectué à la calculatrice en précisant simplement les valeurs de σ, et les bornes de l intervalle sur lequel on intègre (voir paragraphe suivant). Propriété 2 Si X suit la loi normale N ( ; σ), E(X) = et σ(x) = σ. 3 Eemples de Calculs avec la loi normale 0 P (2 X 5) 2 5 Probabilité qu un lave-vaisselle ait une durée de vie entre 2 et 5 ans : MENU STAT DIST NORM NCD Choisir Variable et non List. F pour Eecute P (X 3) Probabilité qu un lave-vaisselle ait une durée de vie inférieure à 5 ans : 0 3 F pour Eecute 4

5 Probabilité qu un lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 2 ans : P (X 3) 0 3 F pour Eecute Eercice 3 Une machine fabrique des résistors en grande série. La variable aléatoire X associe à chaque résistor sa résistance en ohms. On a admet que X N (00 ; 3) On prélève un résistor au hasard. Il est conforme si sa résistance est comprise entre 94,75 et 05,25 ohms.. Quelle est la probabilité que le résistor soit conforme? 2. Déterminer p(x 05). 3. Déterminer p(x 98). 4 «Inverser» la loi normale P (X a) = 0, 8 Durée avant laquelle un lave-vaisselle a 80% de risque de ne plus fonctionner : MENU STAT DIST NORM InvN 0 a? F pour Eecute P (X a) = 0, 7 Durée après laquelle un lave-vaisselle a 70% de chance de fonctionner encore : a? 0 F pour Eecute 5

6 P (0 h X 0 + h) = 0, 6 Intervalle de temps, centré sur la moenne, dans lequel la durée de vie d un lave-vaisselle a 60% de chance de se situer : 0 h? h? F pour Eecute Eercice 4 Une machine usine des aes de rotor pour moteur électrique. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque pièce prise au hasard dans la production, d une journée associe sa longueur eprimée en millimètres. On suppose que X suit une loi normale de moenne m = 54 et d écart tpe σ = 0, 2. Pour vérifier que la machine ne s est pas déréglée on détermine des côtes d alerte m h et m + h définies par : p(m h X m + h) = 0, 95. Calculer les côtes d alerte. 5 Approimation d une loi binomiale par une loi normale Propriété 3 Pour n suffisamment grand, on peut remplacer les probabilités associées à la loi binomiale B (n ; p) par celles de la loi normale N (m ; σ), avec m = np et σ = npq. Eercice 5 Une ligne de transmission entre un émetteur et un récepteur transporte des pages de tete, chaque page étant représentée par bits (caractères, informations de transmission et de contrôle). La probabilité qu un bit soit erroné est estimée à 0,000, et on admet que les erreurs sont indépendantes les unes des autres. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d erreurs lors de la transmission d une page.. a Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable X? b Quelle est la moenne et l écart tpe de X. 2. On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale. a Préciser les paramètres de la loi normale. b Calculer (avec cette loi) la probabilité qu une page comporte au plus 5 erreurs. 6