Statistiques - ED 3 Comparaison de distributions, corrélations et régression linéaire simple

Transcription

1 Statistiques - ED 3 Comparaison de distributions, corrélations et régression linéaire simple Les données sont tirées du package R faraway. Exercice 1 (Aflotoxine B1 et cancer du foie (jeu de données aflotoxin)). Différentes doses d Aflatoxine B1 ont été admninistrées à des animaux de laboratoire. Le nombre d animaux présentant un cancer du foie pour chacune des doses est présenté dans la Table 1. [source : Gaylor DW (1987) Linear nonparametric upper limits for low dose extrapolation ASA Proceedings of the Biopharmaceutical Section] Dose n x TABLE 1 Pour chaque dose, nombre total d animaux traités n et nombre d animaux présentant un cancer du foie x. On se demande si le traitement par Aflatoxine B1 a un effet sur l apparition de cancers du foie. On va tester l indépendance entre la variable indicatrice du développement d un cancer du foie et la variable dose considérée comme catégorielle. 1. Formuler les hypothèses nulles et alternatives correspondantes. 2. Réécrire la Table 1 sous forme d un tableau de contingence croisant la variable indicatrice du développement d un cancer du foie et la variable dose considérée comme catégorielle, avec ses marges lignes et colonnes. 3. Calculer le tableau de contingence théorique attendu sous l hypothèse d indépendance entre les deux variables. Les conditions sont-elles remplies pour appliquer un test du χ 2? 4. Calculer la statistique de test de comparaison des deux distributions. Quelle loi suit-elle sous H 0? 5. Quelle décision prenez-vous? 6. On souhaite quantifier la dépendance entre les deux variables. Représentez sur un graphique la proportion d animaux malades en fonction de la dose administrée.

2 7. La covariance entre la proportion d animaux malades et la dose administrée vaut 16,51, l écart-type de la variable dose est de 40, l écart-type de la proportion d animaux malades est de Que vaut le coefficient de corrélation entre la dose administrée et la proportion d animaux malades? 8. Calculez les coefficients de la droite de régression de la proportion d animaux malades sur la dose. On rappelle que les coefficients de la pente et de l ordonnée à l origine sont respectivement donnés par : β = cov(x, y) s 2, α = ȳ β x x 9. Tracez la droite de régression sur le graphique précédent. Exercice 2 (Alimentation du nourrisson et maladies respiratoires (jeu de données babyfood)). La table 2 donne les effectifs de nourrissons atteints ou non de maladies respiratoires dans leur première année (bronchite ou pneumonie), selon leur sexe et type d alimentation. Sexe Alimentation Atteint Non atteint Garçon Biberon Garçon Suppléments Garçon Allaitement maternel Fille Biberon Fille Suppléments Fille Allaitement maternel TABLE 2 Effectifs atteints et non atteints de maladie respiratoire au cours de la première année, selon le sexe et le type d alimentation. 1. Les proportions de nourrissons atteints de maladie respiratoire parmi les garçons et les filles sont-elles égales? 2. Les proportions de nourrissons atteints de maladie respiratoire selon le type d alimentation sont-elles égales? Exercice 3 (Temps de coagulation (jeu de données clot)). On mesure le temps de coagulation de plasma sanguin pour différentes dilutions dans du plasma dépourvu de prothrombine. Les mesures, effectuées deux fois, sont données en Table 3. Le temps de coagulation de plasma sanguin est-il corrélé à la valeur de dilution. Vous pourrez commencer par vérifier que la corrélation empirique vaut ρ = Exercice 4 (Temps de coagulation et régime alimentaire (jeu de données coagulation)). L effet de quatre régimes alimentaires différents sur le temps de coagulation du sang a été étudié chez 24 animaux, répartis aléatoirement en 4 groupes. Les temps de coagulation par type de régime sont donnés dans la table Calculez les intervalles de confiance du temps de coagulation dans chacun des groupes. Vérifiez que ce sont bien ces intervalles qui sont représentés en Figure 1. 2

3 Concentration Réplicat Temps de coagulation TABLE 3 Régime A B C D n m j s j TABLE 4 Temps de coagulation pour les 4 types de régime alimentaire. Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Régime alimentaire e-05 *** Résidus TABLE 5 Tableau d analyse de la variance (sortie usuelle R). 2. On veut démontrer que le régime alimentaire a un effet sur le temps de coagulation. Pour cela, on a appliqué un test d analyse de la variance dont les résultats sont donnés en Table 5. Rappelez les hypothèses nulles et alternatives correspondant à ce test. Que représente la valeur 76? et la valeur 5.6? 3

4 Temps de coagulation Régime alimentaire FIGURE 1 Temps de coagulation en fonction du régime alimentaire (A=1,B=2,C=3,D=4) Comment est calculée la statistique F? à quoi correspond-elle? Comment concluez-vous ce test? Exercice 5. Durée de vie des drosophiles (jeu de données fruitfly) Ces données ont été publiées en 1981 dans la revue Nature ( Sexual Activity and the Lifespan of Male Fruitflies by L. Partridge and M. Farquhar, Nature, 1981, ). La durée de vie de 125 drosophiles mâles réparties en 5 groupes de même taille a été mesurée : 1. un groupe contrôle (isolated), constitué de mouches élevées dans un environnement solitaire. 2. un groupe (low) de mouches mâles élevées en compagnie d une nouvelle femelle vierge chaque jour. 3. un groupe (many) de mouches mâles élevées en compagnie de 8 nouvelles femelles vierges chaque jour. 4. deux groupes contrôles additionnels, constitués de mouches mâles élevées en compagnie d une (one) ou 8 mouches (many) déjà fécondées (qui ne s accouplent plus). Pour chacune des mouches mâles, la longueur relative du thorax a été mesurée, puisque cette caractéristique est déjà connue comme facteur de longétivié. On estime les quatre modèles de régression suivants : Régression de la durée de vie sur la longueur relative du thorax, quel que soit le groupe de traitement, Régression de la durée de vie sur le groupe de traitement, Régression de la longueur du thorax sur le groupe de traitement, 4

5 Durée de vie (jours) Longueur du thorax isolated one low many high isolated one low many high FIGURE 2 Graphiques croisant les variables deux à deux : visualisation de la corrélation entre longévité et longueur de thorax, boîtes à moustache de la durée de vie ou de la longueur de thorax pour chaque groupe de traitement. Régressiond de la durée de vie sur la longueur du thorax et le groupe de traitement. Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-06 *** thorax e-15 *** TABLE 6 Régression de la durée de vie (en jours) sur la longueur relative du thorax (R 2 = 39, 75%). Test de nullité globale des coefficients : F = pour 1 et 122 ddl, p = 4.275e 15. Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** one low many high e-08 *** TABLE 7 Régression de la durée de vie (en jours) sur le groupe de traitement (R 2 = 32.51%). Test de nullité globale des coefficients : F = pour 4 et 119 ddl, p = 1.411e 09. Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 *** one low many high TABLE 8 Régression de la longueur relative du thorax sur le groupe de traitement (R 2 = 3%). Test de nullité globale des coefficients : F = pour 4 et 119 ddl, p =

6 Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-05 *** thorax < 2e-16 *** activityone activitylow * activitymany activityhigh e-09 *** TABLE 9 Régression de la durée de vie (en jours) sur la longueur relative du thorax et sur le groupe de traitement(r 2 = 65.27%). Test de nullité globale des coefficients : F = pour 5 et 118 ddl, p < 2.2e 16. A partir des résultats de ces quatres régressions répondre aux questions suivantes : 1. vérifiez la présence de l effet de la longueur relative du thorax sur la longévité des mouches. Donnez l intervalle de confiance de cet effet. 2. quelle est la proportion de la variance de la longévité expliquée par la longueur relative du thorax? 3. quelle est la durée de vie moyenne d une mouche dont le thorax représente 84% de la longueur du corps selon ce modèle? 4. dans les trois modèles faisant intervenir le groupe de traitement, quel est le groupe référence utilisé? 5. au risque de 5%, les groupes sont-ils comparables en terme de longueur moyenne de thorax? 6. quelle est la longueur relative moyenne du thorax dans chacun des groupes? Vérifiez ces résultats sur les boîtes à moustaches fournies. Quelle serait alors la durée de vie attendue dans chacun des groupes suite au seul effet de la longueur du thorax? 7. quelle est la durée de vie moyenne observée dans chacun des groupes? Vérifiez ces résultats sur les boîtes à moustaches fournies. Que pouvez-vous dire des différences observées entre groupes? 8. après ajustement sur la longueur du thorax, que pouvez-vous dire des différences observées entre groupes? Discutez de l évolution des paramètres avant et après ajustement sur la longueur du thorax. 9. quelle est la proportion de la variance de la longévité expliquée par la combinaison longueur de thorax et groupe de traitement? 6