A- Vocabulaire de base

Transcription

1 Théorie des graphes

2 - Vocabulaire de base Un graphe est composé de sommets dont certains sont reliés par des arêtes (on dit que ces sommets sont adjacents). Le nombre total de sommets est appelé ordre du graphe. Le degré d un sommet est égal au nombre d arêtes dont ce sommet est une extrémité. Un sommet est isolé lorsqu aucune arête ne le relie aux autres sommets. Une boucle est une arête reliant un sommet à lui-même. Un graphe simple est un graphe sans boucle tel que, entre deux sommets, il y ait au plus une arête. Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes ont un sens. Exemples : Graphe G1 Graphe G L ordre de G1 est égal à 4. Les sommets et sont adjacents. Les sommets et sont reliés par des arêtes multiples. est un graphe orienté. Il existe une arête allant de vers mais pas de vers.

3 Théorème : La somme des degrés de tous les sommets d un graphe est égale au double du nombre total d arêtes. Pour le graphe G1 : la somme des degrés est égale à = 10 et le nombre d arêtes est égal à 5. Un graphe complet est un graphe simple dont tous les sommets sont adjacents les uns avec les autres. Exemple : Le graphe G1 n est pas complet puisque les sommets et sont pas reliés. Graphe complet d ordre 3 : d ordre 4 Remarque : ans un graphe complet d ordre n, le degré de chacun des sommets est n-1. Un sous graphe d un graphe G est composé de certains sommets de G et de toutes les arêtes qui relient ces sommets.

4 - haînes et cycle d un graphe Une chaîne est une liste ordonnée d arêtes permettant de décrire un «chemin» reliant un sommet à un autre. La longueur d une chaîne est le nombre d arêtes qui la composent. Une chaine est dite fermée si le sommet d arrivée est le même que le sommet de départ. Un cycle est une chaîne fermée composée d arêtes toutes distinctes. Une chaîne eulérienne est une chaîne qui contient une fois et une seule chaque arête du graphe. Un cycle eulérien est une chaîne eulérienne dont les extrémités sont confondues. Un graphe est dit connexe si deux sommets quelconques peuvent être reliés par au moins une chaîne. La distance entre deux sommets est la plus courte longueur des chaînes qui les relient. Le diamètre d un graphe est la plus grande des distances entre deux de ces sommets. Exemple : Graphe G3 haînes : FE ; FF ; haîne de longueur 3 : FE ; ycle : FE ; ; E F E F istance entre les différents sommets : Le diamètre du graphe est Graphe G4 3 E 1 1 F Le graphe G4 est connexe. La chaîne est eulérienne.

5 Théorème d Euler : Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ces sommets sont de degrés pairs. Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne entre deux sommets si et seulement si ces deux sommets sont les seuls à être de degré impair. Le graphe G3 est connexe et les sommets et E sont les seuls sommets de degré impair. ela prouve qu il existe une chaîne eulérienne entre ces deux sommets. Par contre ce graphe n admet pas de cycle eulérien. Pour le problème des ponts de Königsberg, tous les sommets sont de degré impair donc il n y a pas de cycle eulérien. Le problème est impossible.

6 - Matrice associée à un graphe On considère un graphe G d ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n. La matrice associé au graphe G est la matrice carrée M à n lignes et n colonnes dont l élément a ij situé sur la ligne i et la colonne j est égal au nombre d arête allant de i vers j. Remarque : La matrice associée à un graphe non orienté est symétrique par rapport à sa diagonale. Exemples : (on numérote les sommets dans l ordre alphabétique) Matrice associée au graphe G1 : Matrice associée au graphe G :

7 Propriété : Si M est la matrice associée un graphe G alors l élément M ij de la matrice M p situé sur la ligne i et la colonne j est égal au nombre de chaînes de longueur p reliant le sommet i au sommet j. Exemple : Graphe G5, La matrice associée est M = et on a M 3 = Le nombre de chaîne de longueur 3 relient les sommets 3 et est égal à 7.

8 - oloration d un graphe olorer un graphe consiste à affecter une couleur à chacun des sommets de sorte que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur. On appelle nombre chromatique d un graphe le plus petit nombre de couleurs permettant de le colorer. Théorème : Le nombre chromatique d un graphe complet est égale à l ordre du graphe Théorème : Si un graphe contient un sous graphe complet d ordre n alors son nombre chromatique est supérieur ou égal à n. Théorème : Le nombre chromatique d un graphe est inférieur ou égal à + 1 où est le plus grand degré des sommets.

9 lgorithme de coloration : On classe dans un tableau les sommets dans l ordre décroissant de leurs degrés. On attribue une nouvelle couleur (avec les lettres,,... par exemple) au premier sommet non encore coloré du tableau et la même couleur à chaque sommet non adjacent à un sommet de cette couleur (dans l ordre du tableau). On recommence l étape précédente jusqu à ce que tous les sommets soient colorés. Exemple détaillé avec le graphe suivant :

10 Étape 1 : on classe les sommets dans l ordre décroissant de leur degré. On attribue la couleur rouge au 1 er sommet et au(x) sommet(s) qui ne lui sont pas adjacents. Étape : On attribue la couleur verte au 1 er sommet qui suit et au(x) sommet(s) qui ne sont adjacents à aucun des sommets de cette couleur. ernière étape : On attribue la couleur bleue au 1 er sommet qui suit et au(x) sommet(s) qui ne sont adjacents à aucun des sommets de cette couleur. Sommet egré couleur rouge rouge vert bleu vert bleu vert vert

11 ttention : ette méthode ne permet pas en général d obtenir la coloration minimale. Ici, une coloration «à la main» aurait permis de n utiliser que deux couleurs : le nombre chromatique est égal à.