IC2. Optimisation combinatoire 3. applications I NFORMATIQUE S YSTÈMES. Optimisation combinatoire 3. Applications. Vangelis Th. Paschos D INFORMATION

Transcription

1 Traité IC2 Information Commande Communication Le traité Information, Commande, Communication répond au besoin de disposer d'un ensemble complet des connaissances et méthodes nécessaires à la maîtrise des systèmes technologiques. Conçu volontairement dans un esprit d'échange disciplinaire, le traité IC2 est l'état de l'art dans les domaines suivants retenus par le comité scientifique : Réseaux et télécoms Traitement du signal et de l'image Informatique et systèmes d'information Systèmes automatisés et productique Management et gestion des STICS Cognition et traitement de l information. Chaque ouvrage présente aussi bien les aspects fondamentaux qu'expérimentaux. Une classification des différents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur vers ses points d'intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi d'un guide pour ses réflexions ou pour ses choix. Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont été choisis pour leur pertinence dans l'avancée des connaissances ou pour la qualité des résultats obtenus dans le cas d'expérimentations réelles. Vangelis Th. Paschos Optimisation combinatoire 3 Applications I NFORMATIQUE IC2 ET S YSTÈMES D INFORMATION Information Commande Communication Optimisation combinatoire 3 applications sous la direction de Vangelis Th. Paschos ISBN :HSMHOG=WVV\^\:

2 Optimisation combinatoire 3

3 LAVOISIER, 2005 LAVOISIER 11, rue Lavoisier Paris ISBN Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L , d'une part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (article L ). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L et suivants du Code de la propriété intellectuelle. Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins d identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.

4 Optimisation combinatoire 3 applications sous la direction de Vangelis Th. Paschos

5 Il a été tiré de cet ouvrage 35 exemplaires hors commerce réservés aux membres du comité scientifique, aux auteurs et à l éditeur numérotés de 1 à 35

6 Optimisation combinatoire 3 sous la direction de Vangelis Th. Paschos fait partie de la série INFORMATIQUE ET SYSTÈMES D INFORMATION dirigée par Jean-Charles Pomerol TRAITÉ IC2 INFORMATION COMMANDE COMMUNICATION sous la direction scientifique de Bernard Dubuisson Le traité Information, Commande, Communication répond au besoin de disposer d'un ensemble complet des connaissances et méthodes nécessaires à la maîtrise des systèmes technologiques. Conçu volontairement dans un esprit d'échange disciplinaire, le traité IC2 est l'état de l'art dans les domaines suivants retenus par le comité scientifique : Réseaux et télécoms Traitement du signal et de l'image Informatique et systèmes d'information Systèmes automatisés et productique Management et gestion des STICS Cognition et traitement de l information Chaque ouvrage présente aussi bien les aspects fondamentaux qu'expérimentaux. Une classification des différents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur vers ses points d'intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi d'un guide pour ses réflexions ou pour ses choix. Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont été choisis pour leur pertinence dans l'avancée des connaissances ou pour la qualité des résultats obtenus dans le cas d'expérimentations réelles.

7 Liste des auteurs Laurent ALFANDARI ESSEC Cergy-Pontoise Moaiz BEN DHAOU LRI Université Paris-Sud 11 Orsay Pierre BONAMI LIP6 Université Pierre et Marie Curie Paris Nadia BRAUNER Laboratoire Leibniz IMAG Grenoble Teodor Gabriel CRAINIC CRT UQAM Canada Van-Dat CUNG GILCO ENSGI INPG Grenoble Didier FAYARD LRI Université Paris-Sud 11 Orsay Gerd FINKE Laboratoire Leibniz IMAG Grenoble Michael FLORIAN CRT Université de Montréal Canada Bertrand LE CUN PRiSM Université de Versailles St-Quentin-en-Yvelines Michel MINOUX LIP6 Université Pierre et Marie Curie Paris Anass NAGIH LIPN Université de Paris-Nord 13 Villetaneuse Vangelis Th. PASCHOS Université Paris-Dauphine Paris Maurice QUEYRANNE Sauder School of Business University of British Columbia Canada

8 Alain QUILLIOT LIMOS Université Blaise-Pascal Clermont-Ferrand Catherine ROUCAIROL PRiSM Université de Versailles St-Quentin-en-Yvelines Frédéric SEMET LAMIH Université de Valenciennes Roman SLOWINSKI Institut d informatique Université de technologie de Poznan Pologne Bernard ROY LAMSADE Université Paris-Dauphine Paris

9 Table des matières Avant-propos Vangelis Th. PASCHOS Chapitre 1. Optimisation de la construction de rotations d équipages en transport aérien Laurent ALFANDARI, Anass NAGIH 1.1. Introduction Définition du problème Construction des sous-réseaux Coût des rotations Modèle Cas sans contraintes de ressources Approches de résolution Principes de décomposition Génération de colonnes, problème maître et sous-problème Méthodes de branchement pour la recherche de solutions entières Résolution du sous-problème pour la génération de colonnes Formulation mathématique Principe général de génération des étiquettes efficaces Cas d une ressource unique : méthode des seaux Cas de ressources nombreuses : réduction de l espace des ressources Principe de réduction Approche basée sur la relaxation lagrangienne Approche basée sur la relaxation agrégée Conclusion Bibliographie... 45

10 10 Optimisation combinatoire Chapitre 2. Recherche opérationnelle et transport de marchandises Teodor Gabriel CRAINIC, Frédéric SEMET 2.1. Introduction Systèmes de transport de marchandises Conception de systèmes Localisation avec exigences d équilibrage Production-distribution multiproduit Localisation de hubs Transport longue distance Conception de réseaux de service Formulations statiques Formulations dynamiques Gestion de flottes Problèmes de tournées de véhicules Définitions et complexité Extensions classiques Modèles et méthodes exactes pour le PTV Modèle de flot à trois indices Modèle de flot pour le PTVC symétrique Modèle de partitionnement d ensemble Méthodes de séparations et coupes pour le PTVC Inégalités valides Méthodes de séparation Méthodes de génération de colonnes pour le PTVFT Méthodes heuristiques pour le PTV Heuristiques classiques Méthodes constructives Méthodes à deux phases Méthodes d amélioration Métaheuristiques Métaheuristiques pour le PTVC et le PTVCL Métaheuristiques pour le PTVFT Le PTV en pratique Conclusion Annexe : métaheuristiques Recherche avec tabous Algorithmes évolutionnaires Bibliographie

11 Table des matières 11 Chapitre 3. Modèles d optimisation pour la planification des systèmes de transport Teodor Gabriel CRAINIC, Michael FLORIAN 3.1. Introduction Modèles d interaction spatiale Modèles et méthodes d affectation du trafic Modèles d optimisation système et d optimisation usager Algorithmes pour l affectation du trafic pour le modèle d optimisation usager Décomposition cyclique des O-D avec équilibre des chemins Méthode d approximation linéaire Le problème de l usager comme inégalité variationnelle Méthode de projection pour IVU-DF Décomposition simpliciale pour IVU-DF Modèles de choix de routes dans le transport en commun Planification stratégique de systèmes multimodaux Demande Choix de mode Représentation de l offre de transport et affectation de la demande Conclusion Bibliographie Chapitre 4. Le problème du placement de tâches Moaiz BEN DHAOU, Didier FAYARD 4.1. Présentation Définitions et modélisation Définitions Les processeurs Les communications Les tâches Types de placement Placement statique Placement dynamique Avec ou sans préemption Duplication de tâches Placement/ordonnancement Modélisation Modélisation des coûts Contraintes

12 12 Optimisation combinatoire Objectifs du placement Revue des principaux travaux Cas polynomiaux Cas de deux processeurs Cas d un arbre Autres structures Restrictions sur les processeurs ou les tâches Objectif en minmax Approximabilité Résolution approchée Processeurs hétérogènes Processeurs homogènes Résolution exacte Cas des tâches indépendantes Un modèle peu étudié Modèle Une heuristique à base de graphes Transformation du problème Modélisation Description de l heuristique Conclusion Bibliographie Chapitre 5. Une comparaison de quelques méthodes de génération d inégalités valides pour des problèmes entiers 0-1 généraux Pierre BONAMI, Michel MINOUX 5.1. Introduction Présentation des différentes techniques testées Séparation exacte par rapport à une relaxation mixte Séparation approchée par utilisation d une heuristique Restriction + séparation + lifting relaxé (RSLR) La programmation disjonctive et la procédure de Lift & Project Technique de reformulation-linéarisation (RLT) Résultats de calculs Présentation des problèmes tests Présentation des résultats Discussion des résultats de calcul Bibliographie

13 Table des matières 13 Chapitre 6. Optimisation combinatoire parallèle Van-Dat CUNG, Bertrand LE CUN, Catherine ROUCAIROL 6.1. Impact du parallélisme en optimisation combinatoire Métaheuristiques parallèles Notion de marche Classification des métaheuristiques parallèles Un exemple illustratif : recherche par dispersion pour l affectation quadratique ou QAP Parallélisation du parcours arborescent dans les méthodes exactes Retour sur deux success stories Modèle de B&X et structures de données Les différents niveaux de parallélisme Arborescence critique et anomalies Algorithmes parallèles et granularité La bibliothèque BOB B&X sur les grilles de machines Conclusion Bibliographie Chapitre 7. Affectation multicritère de tâches à des processeurs hétérogènes sous contraintes de capacité et de mutuelle exclusion Bernard ROY, Roman SLOWINSKI 7.1. Introduction et formulation du problème Exemple a : organisation du choix des cours à option par les étudiants Exemple b : programmation temporelle d activités Exemple c : ordonnancement de tâches sur des machines Modélisation de l ensemble des affectations réalisables Le concept de configuration bloquante et analyse des possibilités de déblocage Rappel de quelques résultats de théorie des flots Analyse de la coupe minimum révélée par le marquage d un flot maximum sur N Le concept de configuration bloquante Actions de déblocage Affectation d une tâche supplémentaire en conservant l affectation initiale Affectation d une tâche supplémentaire en acceptant de changer l affectation initiale Le problème d affectation multicritère Définition de la famille de critères

14 14 Optimisation combinatoire Stratégie de sélection de compromis satisfaisants Exploration d un ensemble d affectations réalisables non dominées dans le plan g2 g Le problème d affectation bicritère avec contraintes de mutuelle exclusion Recherche des solutions supportées du problème P Représentation matricielle du problème P Recherche des solutions non supportées du problème P Exemples numériques Exemple avec présence d une configuration bloquante Exemple sans configuration bloquante Conclusion Bibliographie Chapitre 8. Optimisation combinatoire et planification de la production Nadia BRAUNER, Gerd FINKE et Maurice QUEYRANNE 8.1. Introduction Planification hiérarchique Planification stratégique et conception du système productif Technologie de groupe Implantation d équipements Planification tactique et gestion des stocks Un modèle de programmation linéaire pour la planification à moyen terme Gestion des stocks Le modèle de Wagner et Whitin Le modèle de la quantité économique (EOQ) Le modèle EOQ avec réapprovisionnements joints Planification opérationnelle et ordonnancement Outillage Cellules robotisées Conclusion Bibliographie Chapitre 9. Les problèmes de synthèse de réseaux : fondements et méthodes Alain QUILLIOT 9.1. Introduction Les principaux outils mathématiques et algorithmiques pour la synthèse de réseaux

15 Table des matières Décomposition en programmation linéaire et polyèdres Décomposition de Benders Décomposition lagrangienne Génération de colonnes Décomposition de Dantzig-Wolfe Décomposition proximale Polyèdres et facettes Flots et multiflots Le problème du flot de coût minimal Le problème du multiflot de coût minimal Les réseaux de files d attente Les modèles de théorie des jeux Jeux coopératifs Jeux non coopératifs Modèles mixtes : tarification au sens de Ramsay-Boiteux Modèles et problèmes Les problèmes de localisation Les arbres de Steiner et variantes Traitement par approche polyédrale Traitement par heuristiques Traitement à l aide d un modèle de flot et multiflot Sur le problème Steiner-étendu Conclusion Bibliographie Chapitre 10. Les problèmes de synthèse de réseaux : modèles et applications Alain QUILLIOT Introduction Modèles et problèmes de localisation Localisation du dispositif d accès à un réseau Méthodes de traitement Localisation de machines et d activités au sein d un espace de production Méthodes de traitement Modèles de routage pour les télécommunications Tests numériques Le problème du design ou dimensionnement en télécommunications Tests numériques Flots et multiflots couplés pour les transports et la productique

16 16 Optimisation combinatoire Modélisation d un problème de tournées à l aide d un réseau dynamique Modélisation d un système de production Analyse du problème flot-multiflot-couples (FMC) Schéma DME par décomposition du type maître-esclave (Benders) Schéma DRCOUP de traitement de FMC par relaxation lagrangienne de la contrainte de couplage Gestion agrégée du multiflot Un modèle mixte de tarification de réseaux Jeux coopératifs avec demandes élastiques Un résultat d existence et un algorithme Un jeu de synthèse de réseau Conclusion Bibliographie Index Sommaire du volume Sommaire du volume

17 Avant-propos Ce livre est le troisième volume de l ouvrage Optimisation combinatoire. Il est dédié aux applications de l optimisation combinatoire. Ce sont celles qui justifient pleinement la pertinence de ce domaine scientifique et élargissent son assise. Les sujets de ce troisième volume traitent des problèmes divers et variés, plus ou moins classiques, mais toujours d actualité. Ses chapitres sont consacrés à des problèmes divers comme : la construction de rotations d équipage dans le transport aérien, le transport de marchandises et leur planification, le placement de tâches en programmation parallèle, des applications de la combinatoire polyédrique, la planification de production, la modélisation et l optimisation des problèmes de synthèse de réseaux, l optimisation parallèle, l affectation multicritère des tâches à des processeurs hétérogènes et sa robustesse. Plus précisément, dans le chapitre 1, le problème de l optimisation de la construction de rotations d équipages en transport aérien est traité. Ce problème consiste à couvrir à moindre coût l ensemble des vols de la compagnie, programmés sur un horizon de temps donné, par des équipages formés de personnel de cockpit (pilotes, copilotes) et de personnel de cabine (hôtesses, stewards). A périodicité de plusieurs jours (de l ordre de la semaine), chaque équipage part de la base à laquelle il est affecté, enchaîne un certain nombre de vols et revient à la base (c est que l on appele une «rotation»). La construction des rotations d une compagnie aérienne est extrêmement contrainte par les réglementations internationale, nationale et interne du travail, et par Cet avant-propos a été rédigé par Vangelis Th. PASCHOS.

18 18 Optimisation combinatoire la disponibilité limitée des ressources. De ce fait, le problème traité dans ce chapitre est particulièrement difficile à résoudre. Le chapitre 2 est consacré à un vaste sujet, un des plus centraux en recherche opérationnelle, le problème du transport des marchandises. Les grandes thématiques qui sont étudiées ici, reflètent à la fois les niveaux de planification des opérations de transport et les étapes des chaînes logistiques de distribution. Divers sujets sont présentés : des modèles importants de conception des systèmes de transport et logistiques, qu ils soient déployés à grande (région, nation, monde) ou petite (quartier, ville, région) échelle ; des modèles de conception des réseaux de services, ainsi que des modèles visant la gestion de flottes ; le problème de tournées de véhicules ; c est un problème central de transport, de distribution et de logistique, aussi relié à la gestion opérationnelle des flottes de véhicules ; plus particulièrement, trois variantes principales de ce problème sont traitées : contraintes de capacité, de capacité et de longueur, ainsi que de fenêtres de temps ; les principaux modèles pour ces variantes ainsi que les méthodes de résolution exacte, ou des approches heuristiques associées. Le chapitre 3 présente des modèles d optimisation pour la planification des systèmes de transport. La théorie et la mise en application de ces modèles, sont des sujets vastes et compliqués, particulièrement concernant les déplacements de passagers dans une zone ou une région urbaine (les applications aux problèmes de planification des mouvements de marchandises sont plus récentes et s appuient fortement sur les résultats des travaux réalisés pour le transport des passagers). Dans tous les cas, une grande variété de modèles et de méthodes économétriques et d optimisation est utilisée pour formuler et calibrer les modèles. Dans le chapitre, quatre catégories de modèles d optimisation seront présentées : modèles d interaction spatiale, d équilibre de réseau, de choix des routes dans le transport en commun et modèles de planification des réseaux multimodes multiproduits de transport des marchandises. Dans le chapitre 4, le problème du placement de tâches pour les programmes parallèles est étudié. Ce problème, l un des plus importants dans le domaine du calcul parallèle, se pose dès lors que l on cherche à améliorer les performances d un programme exécuté sur plusieurs machines. Etant donné la grande variété des architectures matérielles disponibles, il est impossible de donner un modèle adapté à toutes les situations (architectures, objectifs, déroulement du programme, etc.). Aussi, depuis plus de trente ans, un grand nombre de recherches ont abordé les différents aspects (architectures, théoriques, pratiques) de ce problème. Les auteurs du chapitre présentent les différents éléments à prendre en compte pour modéliser ce type de problème, donnent les différents résultats pour les problèmes généralement admis comme

19 Avant-propos 19 modèles de base et pour certains problèmes particuliers, et présentent systématiquement les méthodes et résultats principaux. Le chapitre 5 est dédié à une comparaison de quelques méthodes de génération d inégalités valides pour des problèmes entiers 0-1 généraux. Les auteurs comparent différentes techniques de génération d inégalités valides pour des programmes linéaires en variables 0-1 de structures générales. Les approches étudiées incluent des techniques classiques (par exemple, Lift & Project), la programmation disjonctive et les techniques de «reformulation-linéarisation». Des comparaisons systématiques des résultats de calcul sont effectuées sur des problèmes tests de sac à dos multidimensionnel en considérant trois critères principaux : la qualité des inégalités générées mesurée par le ratio entre les deux membres de l inégalité, la qualité des inégalités mesurée par le renforcement apporté à la relaxation continue et, enfin, le temps de calcul pour la génération. Le chapitre 6 est consacré à l optimisation combinatoire parallèle centrée sur l histoire et les avancées de la résolution parallèle de l un des problèmes les plus paradigmatiques de l optimisation combinatoire, l affectation quadratique. A travers ce problème, on voit comment sont employés en parallélisme des outils classiques de l optimisation combinatoire, à savoir, les métaheuristiques et les méthodes arborescentes exactes. On verra aussi diverses stratégies de parallélisation. Le problème considéré dans le chapitre 7 est l affectation multicritère de tâches à des processeurs hétérogènes sous contraintes de capacité et de mutuelle exclusion. C est une généralisation du problème d affectation classique en vue de prendre en compte des contraintes de mutuelle exclusion qui viennent restreindre les possibilités d affectation des tâches aux processeurs en raison de groupes de tâches incompatibles. Ces groupes sont définis relativement à chaque processeur, celui-ci ne pouvant traiter qu une tâche au plus du groupe considéré. Chaque processeur peut normalement traiter un certain nombre de tâches pour un coût nul, sa capacité pouvant être accrue moyennant des coûts marginaux non décroissants. Chaque tâche doit être affectée à un processeur et un seul avec certaines «préférences». Celles-ci sont formalisées par des indices d insatisfaction. La qualité d une affectation est évaluée à l aide de trois critères : l insatisfaction maximum des tâches, l insatisfaction totale des tâches et le coût total de traitement par les processeurs. Ce chapitre est une preuve supplémentaire de l apport de l optimisation combinatoire au domaine, frère de la recherche opérationnelle, de l aide à la décision. Le but du chapitre 8, intitulé «Optimisation combinatoire et planification de la production», est de faire ressortir quelques modèles spécifiques dans le domaine de la planification et de la gestion de production qui semblent très intéressants et pertinents du point de vue de l optimisation combinatoire. Il est structuré selon l approche de planification hiérarchique et présente trois thèmes principaux : la planification stratégique et conception du système productif,

20 20 Optimisation combinatoire la planification tactique de la production et gestion des stocks, la planification opérationnelle de la production et ordonnancement. Les problèmes de synthèse de réseaux, présentés dans le chapitre 9, ont pris une importance particulière au cours de ces vingt dernières années en recherche opérationnelle et en optimisation combinatoire en raison du développement vertigineux de l informatique et des télécommunications et, à un moindre degré, par celui des transports et des systèmes de production. La tendance à la mise en compétition des différents opérateurs a conduit ceux-ci à davantage se préoccuper de l optimisation de leurs décisions en termes d infrastructures et de modalités de fonctionnement, et à rechercher des outils leurs permettant de mieux identifier leurs parts de marché. Le mouvement d expansion et d intégration des outils et des modes de communication, a induit des exigences nouvelles en matière de modélisation, et suscité l émergence de modèles de décision de plus en plus complexes, articulés autour de plusieurs niveaux, et de très grandes tailles. Tout cela est seulement une partie des raisons pour lesquelles la synthèse de réseaux devient une application centrale en optimisation combinatoire. Le chapitre 9 passe en revue un grand nombre de méthodes d outils et de résultats de l optimisation dans ce domaine. Enfin, le chapitre 10, «Les problèmes de synthèse de réseaux : modèles et applications», vient compléter le chapitre 9 par la présentation d un grand nombre de modèles et d applications autour de la synthèse des réseaux. Comme ses deux frères aînés, ce livre s adresse aussi bien à des chercheurs confirmés qu à des chercheurs débutants, voire à des étudiants en Master. Pour ces derniers, une lecture aisée nécessiterait probablement quelques connaissances de base en théorie des graphes et en programmation mathématique (surtout linéaire), même si les auteurs ont pris soin de définir dans leurs chapitres toutes les notions qu ils utilisent. Dans tous les cas, pour un approfondissement en théorie des graphes, le lecteur est invité à se référer au formidable livre, un livre phare, d un de nos maîtres à penser, Claude Berge, Graphs and hypergraphs (North Holland, 1973). Pour la programmation linéaire, il y a une multitude de très bons livres que le lecteur pourrait consulter, par exemple, V. Chvátal, Linear programming (W. H. Freeman, 1983), ou encore Michel Minoux, Programmation mathématique : théorie et algorithmes (Dunod, 1983). Pour l aventure, oh combien excitante!, qu a été la direction de ce livre, tous mes remerciements vont d abord aux auteurs qui, malgré leurs multiples obligations et engagements (c est le lot de tout universitaire actif), ont accepté d y participer en écrivant des chapitres sur leurs domaines et, par la même occasion, de se livrer à un exercice très délicat : faire des chapitres qui soient à la fois pédagogiques et de haut niveau scientifique. Federico Della Croce et Jérôme Monnot ont lu avec moi tous les chapitres de ce volume. Leurs remarques et suggestions, toujours pertinentes, ont beaucoup contribué

21 Avant-propos 21 à l amélioration du contenu et de la lisibilité de plusieurs chapitres et à une homogénéisation certaine du livre. Bruno Escoffier m a aidé à la résolution de quelques problèmes de L A TEX avec beaucoup de disponibilité et surtout de bonne humeur. Merci Bruno! L ouvrage Optimisation combinatoire n aurait pas été réalisé sans la proposition de Jean-Charles Pomerol et du directeur des éditions Hermès Sami Ménascé. Je les remercie très chaleureusement de leur insistance et de leurs encouragements. Je remercie aussi Chantal Ménascé des éditions Hermès pour sa gentillesse, sa disponibilité et son ingéniosité pour trouver des solutions à tout problème éditorial. Depuis notre coopération pour les deux premiers volumes, Maggy Trognon est devenue ma relectrice préférée. Un grand merci à elle pour les corrections qu elle a apportées à ce document, son attention, sa méticulosité, son aide avec le Word, sa gentillesse et son très grand professionnalisme. Vangelis Th. PASCHOS