Sciences Physiques DS n o 3

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1 TPC2 Sciences Physiques DS n o 3 le 24/11/16 I - Champ créé par un cylindre 1 Un cylindre conducteur plein, infiniment long, d axe z z et de rayon a, est parcouru par un courant constant, uniforme et positif dans le sens des z croissants. a Calculer le champ magnétostatique créé en tout point M de l espace (r est la distance de M à l axe z z). b Représenter les variations de B en fonction de r. c A.N. : I = 15, 7 A ; a = 1 mm ; µ 0 = 4π.10 7 F.m 1 ; r = 0, 5 mm puis r = 1 cm. 2 Le conducteur initial est maintenant placé à l intérieur d un cylindre métallique creux infini, de même axe. Les rayons intérieur et extérieur de ce cylindre sont b et c (a < b < c), et le courant qui circule dans le conducteur intérieur revient avec la même intensité dans le conducteur extérieur. a Le champ magnétostatique de la question précédente est-il modifié pour r < b? b Calculer le champ magnétostatique dans les autres régions de l espace. Conclusion? II - Étude énergétique d une distribution de charge 1 On considère deux charges électriques ponctuelles q 1 et q 2. q 1 est placée en un point O de l espace et q 2 en un point M. On s intéresse au système constitué de la charge q 2 soumise à la force F 12. Cette force dérive d une énergie potentielle E p, qui n est autre que l énergie potentielle de q 2 placée au voisinage de q 1. Calculer alors l énergie potentielle de q 2, placée à une distance r de O, en interaction avec q 1. Donner l expression du potentiel électrostatique V 1 créé par q 1 en M à une distance r de O. En déduire la relation générale qui donne l énergie potentielle d une particule de charge q 2 placée dans une région de l espace où règne un potentiel V. Quel est alors le travail W qu il faut fournir à la particule q 2 pour l amener de l infini à une distance r 12 de q 1, la particule étant au repos aux états initial et final. 2 Donner l expression du travail W à fournir dans le cas de trois charges q 1, q 2, et q 3 que l on amène de l infini à une distance r ij les unes des autres. r ij est la distance entre les charges q i et q j (i, j = 1,2,3). Aux états extrêmes les particules seront prises au repos. Généraliser au cas de n charges ponctuelles. Montrer que l expression obtenue peut se mettre sous la forme : W = 1 n q i V i, où V i représente le potentiel créé par l ensemble des charges q j (j i), au 2 i=1 point où se trouve la charge q i. 3 On considère une sphère uniformément chargée, de charge volumique ρ, de charge totale Q et de rayon R. Établir l expression du champ électrostatique E en fonction de la distance r au centre de la sphère, pour r < R et pour r > R. On exprimera E en fonction de Q. 4 Représenter graphiquement E en fonction de r. 1

2 5 Calculer, pour r > R, le potentiel V créé par la sphère précédente en fonction de Q et de r. 6 Montrer que le travail à fournir pour amener une charge dq de l infini où le potentiel est nul, en un point où le potentiel est V, est δw = V.dq. En déduire le travail W s à fournir pour créer la sphère uniformément chargée de la question 3. On exprimera d abord le travail fourni pour ajouter à une sphère de rayon r < R, une coque sphérique d épaisseur dr. Exprimer W s en fonction de Q, la charge totale de la sphère, et R, le rayon de la sphère. III - Il y a de l orage dans l air... Le processus de formation des nuages dans l atmosphère suit un ensemble complexe d étapes dont la connaissance est à la base de la météorologie. Le cumulonimbus est le stade ultime du nuage formé dans un courant d air chaud ascendant en contact avec un air froid et sec. Son profil en forme d enclume, dont le sommet atteint le haut de la troposphère, et sa taille colossale, sont caractéristiques... et annonciateurs d un orage imminent! On se propose de modéliser la répartition des charges électriques dans le nuage et de comprendre l apparition de la foudre. Les mécanismes de séparation des charges électriques au sein du nuage ne sont pas encore parfaitement compris, mais on constate généralement l apparition de charges négatives à la base du nuage et de charges positives au sommet. Dans certains cas, il peut même exister plusieurs zones chargées négativement ou positivement alternativement. La base chargée du nuage fait alors apparaître, par influence et ionisation de l air, des charges positives au voisinage du sol. Des mesures effectuées par ballon-sonde permettent de déterminer la valeur de la composante verticale du champ électrique dans l atmosphère : environ 65 kv.m 1 à 500 m d altitude et jusqu à 200 kv.m 1 de valeur maximale à l intérieur du nuage. On considère un nuage typique situé entre les altitudes h 1 = 2 km et h 2 = 10 km (hauteur de la troposphère), de hauteur H = h 2 h 1 = 8 km et de section horizontale S = 1 km 2. Au niveau du sol, les charges positives se répartissent sur une épaisseur h = 500 m. On rappelle la valeur de la permittivité électrique du vide ε 0 = 8, F.m 1. Dans la modélisation proposée, on néglige tout effet de bord et on suppose donc que les grandeurs étudiées ne dépendent que de l altitude z, comme indiqué sur le schéma ci-après. 2

3 Les charges positives près du sol sont réparties avec la densité volumique de charge uniforme ρ sol. Le champ électrique est supposé nul en z = 0. À l intérieur du nuage, on considère simplement que la densité volumique de charge ρ(z) varie linéairement, de la valeur maximale ρ 0 > 0 en z = h 2, à la valeur opposée ρ 0 < 0 en z = h 1. 1 Montrer qu en tout point M de l espace, le champ électrique peut se mettre sous la forme : E(M) = E(z) u z. 2 En utilisant le théorème de Gauss et une surface bien choisie, déterminer le champ électrique E(z) dans la zone chargée 0 < z < h au niveau du sol. En déduire la valeur numérique de la densité volumique de charge ρ sol, ainsi que la charge totale Q sol existant dans cette zone. 3 Montrer que le champ électrique dans la zone h < z < h 1 est uniforme et donner sa valeur. 4 Établir l expression de la densité volumique de charge ρ(z) à l intérieur du nuage. 5 Montrer que l équation locale de Maxwell-Gauss permet d obtenir le champ électrique dans le nuage à une constante additive près. Justifier la valeur de cette constante. 6 Représenter l allure de E(z) en fonction de l altitude z, z [0, h 2 ]. 7 Déterminer la valeur numérique de ρ 0 ainsi que les charges totales Q et +Q portées respectivement par les moitiés inférieure et supérieure du nuage. Commenter. 8 Exprimer le potentiel électrostatique V (z) entre le sol et le nuage. On prendra V = 0 en z = 0. En déduire la différence de potentiel entre le sol et la base du nuage. 9 La foudre est une décharge électrique entre le nuage et le sol (parfois même entre deux nuages) permettant de neutraliser les charges accumulées. Lorsque le champ électrique atteint localement la valeur de 10 kv.cm 1 (pour l air humide) - appelé champ disruptif - l air est ionisé et un courant électrique devient possible dans l air devenu conducteur : la décharge est à craindre... Comparer la valeur du champ électrique obtenue précédemment et la valeur du champ disruptif dans l air. Commenter. 3

4 10 On constate que la foudre tombe préférentiellement sur des objets pointus, comme les arbres, les clochers et... les paratonnerres. Pour illustrer cet effet de pointe, on propose la modélisation suivante. Un objet pointu situé à l altitude z est modélisé par une petite sphère de rayon R, de charge q et portée au potentiel V (z). On ne considère ici que l action de la sphère sur son environnement immédiat. Soit un point M situé à la distance r > R du centre O de la sphère. Rappeler l expression du champ électrique E et du potentiel électrostatique créés en M par la sphère chargée. En déduire la relation entre la norme E du champ électrique créé au voisinage immédiat de la sphère et le potentiel V (z) de celle-ci. 11 Déterminer le rayon de la sphère permettant à l air d être ionisé à sa surface. Faire l application numérique pour z = 2 m et z = 10 m. Commenter. 12 Pourquoi dit-on qu en l absence d obstacles, il vaut mieux s allonger par terre et attendre que l orage passe, plutôt que de rester debout? À quelle altitude l air pourrait-il être ionisé au bout des doigts? Il apparaît alors un courant ionique et des effluves lumineux dus à la recombinaison des ions. Cet effet est connu sous le nom d effet corona ou effet couronne. 13 Lorsque la foudre tombe, la décharge électrique ne dure que quelques centaines de microsecondes et libère une énorme quantité d énergie sous forme thermique et sonore dans l atmosphère. Évaluer l intensité du courant électrique de la décharge. 14 Déduire des résultats précédents la puissance libérée par la foudre et l énergie correspondante. Quelle serait l augmentation de température de l air à son voisinage? On pourra assimiler la foudre à un cylindre droit vertical de rayon R 10 cm. Conclure. IV - Champ à proximité d une ligne THT Ce problème propose d étudier le champ électrique à proximité d une ligne électrique très haute tension (THT). En France, le réseau d alimentation électrique est formé de lignes triphasées dans lesquelles circule un courant alternatif à 50 Hz. Afin de simplifier les calculs, on ne considère qu une ligne monophasée, constituée de deux câbles N et P cylindriques parallèles, supposés de longueur infinie, de rayon R et séparés d une distance D grande devant R. On modélise la ligne électrique d un point de vue électrostatique. À chaque instant, les tensions dans les deux câbles sont opposées. On note V 0 la tension du câble P. Du fait de l inégalité D >> R, un calcul (non demandé) montre que la charge par unité de longueur q L du câble P a pour expression q L = ε 0V 0 ln( D R ), le câble N portant une charge opposée à celle de P. 4

5 On repère un point M de l espace par ses coordonnées polaires (r, θ), l origine O étant placée au milieu de N et P. On montre que le potentiel électrique V P (M) dont dérive le champ électrique créé par le câble P seul vaut : V P = q L 2πε 0 ln(p M) + cte. 1 Exprimer le potentiel électrique V (r, θ) créé au point M par la ligne électrique constituée des deux câbles (on fixera le potentiel nul à l infini). 2 Montrer que pour r >> D (approximation dipolaire), le potentiel peut s écrire de manière approchée : V (r, θ) q LDcosθ 2πε 0 r. 3 On donne l expression du gradient en coordonnées cylindriques : gradv = V r u r + 1 V r θ u θ + V z u z. Exprimer les composantes radiale et orthoradiale du champ électrique à grande distance de la ligne électrique. En déduire la norme du champ électrique et commenter sa dépendance vis-à-vis de r et θ. 4 On considère une ligne THT ayant les caractéristiques suivantes : V 0 = +400 kv, D = 3 m, R = 3 cm, h = 15 m. Calculer la valeur E 0 du champ électrique au pied de la ligne électrique à partir de l expression précédente. 5 La figure ci-dessous représente quelques lignes équipotentielles dans le voisinage de la ligne électrique (sur cette figure, l origine de l altitude a été placée au niveau du sol, les coordonnées x et z étant exprimées en m). Les symétries de ces lignes étaient-elles prévisibles? Pourquoi? 5

6 6 En déduire l allure des lignes de champ électrique. Expliquer comment déterminer la valeur du champ électrique au pied de la ligne électrique à partir de la seule étude de ces lignes équipotentielles. 7 En France, un arrêté du 12 mai 2001 fixe les limites d exposition du public aux champs électromagnétiques provoqués par les réseaux d alimentation électrique : la position des ouvrages par rapport aux lieux normalement accessibles aux tiers doit être telle que le champ électrique résultant en ces lieux n excède pas 5 kv/m dans les conditions de fonctionnement en régime permanent. La ligne étudiée précédemment est-elle en accord avec la réglementation française? 8 Un entrepreneur désire construire un nouveau bâtiment à côté des bâtiments actuels de son entreprise. Cependant, une ligne THT de 400 kv passe à proximité. Le bâtiment étant destiné à accueillir des appareils électroniques sensibles, à quelle distance de la ligne électrique faut-il construire le bâtiment si l entrepreneur exige un champ électrique inférieur à un centième du champ électrique au pied afin de s affranchir d éventuelles perturbations électromagnétiques? Voici mon secret. Il est très simple : on ne voit bien qu avec le cœur. L essentiel est invisible pour les yeux. Antoine de St Exupéry, Le Petit Prince. 6