OSCILLATEURS ÉLECTRIQUES LIBRES

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1 OSILLATEURS ÉLETRIQUES LIBRES I ) Décharge d un condensateur dans une inductance pure. ) Montage K A () K () U 0 - u AB L B ere phase : L interrupteur est mis en position K, il y a alors charge du condensateur sous une tension U 0, après un régime transitoire, l armature supérieure du condensateur porte une charge Q 0 telle ue : Q0 = U0 eme phase : On ouvre l interrupteur K et on ferme l interrupteur K, le condensateur se décharge alors dans l inductance. ) Euation différentielle Soit la charge portée par l armature supérieure du condensateur. D après les conventions choisies, on a : Intensité du courant dans le circuit : i = d Tension aux bornes du condensateur : uab = Tension aux bornes de la bobine : uab = e = - L di = - L d² on a donc = - L d² ainsi d² = - L d² ette éuation différentielle est de la forme = - ω 0² avec ω0 = L ette éuation différentielle caractérise un oscillateur harmoniue de pulsation ω 0 et de période T 0 telle ue : T 0 = L π

2 3) Résolution La solution de cette éuation est de la forme : = Q m cos ( ω0 t ) Détermination de Q m et ϕ ϕ Si on choisit t = 0, au moment où l on ferme l interrupteur, on aura Q m = Q 0 et ϕ = 0. Ainsi = Q cos ω 0 0 t Expression de l intensité du courant : i = d = - Q 0 ω 0 sin ω 0 t Représentation de et i en fonction du temps 4) Interprétation Au début de la décharge du condensateur, le courant circule dans le sens négatif, pendant ce temps, la charge du condensateur diminue. Puis par autoinduction, la charge du condensateur se fait dans l'autre sens jusu'à ce ue le condensateur se décharge à nouveau. Il y a donc bien création d'un oscillateur électriue. Pendant l'espace d'une période le condensateur : - se décharge - se recharge dans l'autre sens - se décharge - se recharge à nouveau.

3 5) Aspect énergétiue : Energie stockée dans le condensateur : Ec = ² = Q² 0 cos² ω t 0 Energie dans l inductance : E L ω0² sin² ω Q 0² = L i ² = 0 t sin² 0 L = ω t L'énergie totale du circuit est donc : E = E E L = Q 0² Représentation des énergies en fonction du temps : Sur cette représentation, on vérifie bien la conservation de l'énergie totale.

4 II) Oscillateur électriue amorti ) Montage : Le dispositif est le même ue précédemment mais une résistance R est insérée dans le circuit. U 0 u K A - () K u L () L u R B R ) Euation différentielle Après charge du condensateur et basculement de l interrupteur en position, d après les conventions choisies, on a : Intensité du courant dans le circuit : i = d Tension aux bornes du condensateur : di d² Tension aux bornes de la bobine : u L = e = - L = - L. Tension aux bornes du résistor : = - Ri u R u = d après la loi des mailles, on a : u = u L u R Ainsi : L d² R d = 0 Selon l importance de la résistance, il y a deux possibilités : er cas : résistance faible eme cas : grande résistance Régime pseudo - périodiue Régime apériodiue Dans ce cas la pseudo période des oscillations est : T 0 = π L

5 III) Entretien des oscillations Dans un oscillateur amorti, il y a perte d'énergie dans la résistance, la chute de tension étant égale à R i. Pour compenser ces pertes, il faut réaliser un générateur auxiliaire délivrant une tension permettant de compenser cette chute de tension. Montage à résistance négative : i S i E - E R - AO T u G i ' R R 0 M i ' e dipôle constitué d un amplificateur opérationnel parfait fonctionnant en régime linéaire et de trois résistors. L'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire donc u E-E = 0 Ainsi u E-T = u ET et R i = R i' et i = i' Donc u G = u SM = u EM = R 0 i e montage permet de fabriuer une tension u G = R 0 i Utilisation : e générateur auxiliaire peur être utilisé dans un montage comprenant un condensateur, une bobine d inductance L et de résistance R. On aura : L d² R d = - u = R i = R d D 0 0

6 Ainsi : L d² (R - R) 0 d = 0 Si R 0 = R l éuation différentielle devient : L d² = 0 ette éuation caractérise alors un oscillateur harmoniue. Le générateur auxiliaire est appelé montage à "résistance négative", il permet en effet de soustraire une résistance à celle existant dans le circuit. Le montage avec amplificateur opérationnel à permit d entretenir les oscillations et de compenser l effet Joule dans le résistor. L'amplificateur opérationnel fournit l'énergie dissipée par effet Joule dans le résistor et compense les pertes.