Plan du cours. Architecture des Ordinateurs. Licence Informatique 3ème Année. Plan du cours. Plan du cours. Architecture des ordinateurs

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1 Architecture des Ordinateurs Licence Informatique 3ème Année Eric Cariou Université de Pau et des Pays de l'adour Département Informatique Plan du cours Architecture des ordinateurs Des concepts et théories de base au fonctionnement général des micro-processeurs et ordinateurs Première partie : concepts/théories Codage et représentation des nombres Algèbre de Boole Eric.Cariou@univ-pau.fr 1 2 Plan du cours Deuxième partie : introduction à l'électronique numérique Portes, fonctions et circuits logiques Se basant sur l'algèbre de Boole Etude de composants basiques Additionneur, multiplexeur, comparateur... Réalisation de circuits plus complexes Plan du cours Troisième partie : fonctionnement des processeurs/ordinateurs Architecture de Von Neumann Fonctionnement des processeurs actuels et techniques d'optimisation des performances Mémoire cache, pipeline, parallélisme... Mémoires Bus Assembleur x86 3 4

2 Codage des nombres Eric Cariou Université de Pau et des Pays de l'adour Département Informatique Représentation de l'information Un ordinateur manipule des données Besoin de coder et représenter ces données, pouvant être De nature différente Des nombres Des chaînes de caractères Des informations de tout genre De taille différente Taille fixe de X chiffres : numéro de téléphone, code postal... De taille variable : nom, adresse, texte, film vidéo Codage des nombres Plusieurs bases de codage possibles Base 10 (décimale) : base de calcul usuelle Base 24 : heures Base 60 : minutes, secondes, degrés Base 12 : douzaine Bases les plus utilisées Pour les êtres humains : base décimale Pour un ordinateur Chaque civilisation (Grecs, Romains, Chinois, Base binaire (2) et dérivées : base hexadécimale (16) ou Mayas...) avait développé des octale (8) Systèmes et bases de numérotation Origine de l'utilisation du binaire:absenceouprésence Méthodes pour compter et calculer de courant électrique (0 ou 1) comme base de codage 3 4 Historique Codage des nombres : dans un but de calcul Apparition du calcul Dès la préhistoire on comptait avec des cailloux et avec ses doigts Calcul vient du latin calculi signifiant caillou Antiquité

3 Historique Origine des systèmes de numérotation Base 10 : nombre des doigts des 2 mains Chiffres romains : V = 5 et X = 10 Base 20 : mains et pieds Moins pratique, a disparu... Base 12 : 3 phalanges et 4 doigts (le pouce sert à positionner le chiffre) Base 60 : les doigts de la deuxième main comptent le deuxième chiffre (60 = 5 x 12) Codage en base B Pour une base B, ilyab symboles différents (les chiffres de cette base) Base10:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Base2:0,1 Base 4 :,,, Base 8 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 unchiffre=unbit(binary digit) Base16:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 5 6 Codage en base B Dans une base B, un nombre entier positif N s'écrit sous la forme : (N) B =a n a n-1 a n-2... a 1 a 0 Avec a x qui est un des B chiffres de la base Exemples Base décimale : 1234 De droite à gauche : chiffre des unités, des dizaines, des centaines, des milliers... Base binaire : Base hexadécimale : 1C04 Base4: 7 Base B vers décimal (addition) Valeur en décimal (base 10) d'un nombre «a n a n-1... a 1 a 0»codédansunebaseB a n B n +a n-1 B n a 1 B+a 0 En prenant la valeur décimale de chaque chiffre a x Exemples (1234) 10 =1x x x10+4 (11001) 2 =1x2 4 +1x2 3 +0x2 2 +0x2+1 =16+8+1=25 (1C04) 16 =1x x x16+4 = x =7172 avec A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 8

4 Base B vers décimal (Horner) Schéma de Horner Pour calculer la valeur décimale N de «a n a n-1...a 1 a 0» codé en base B P n =a n B+a n-1 P n-1 =P n B+a n-2 P n-2 =P n-1 B+a n-3... P 1 =P 2 B+a 0 =N Exemple pour (1234) 10, B=10, n=3 p 3 =a 3 xb+a 2 =1x10+2=12 p 2 =p 3 xb+a 1 =12x10+3=123 p 1 =p 2 xb+a 0 = 123 x = Base B vers décimal (Horner) Autres exemples (11001) 2,B=2,n=4 p 4 =1x2+1=3 p 3 =3x2+0=6 p 2 =6x2+0=12 p 1 =12x2+1=25 (1C04) 16, B=16, n=3 p3=1x16+12=28 p2 = 28 x = 448 p1 = 448 x = Décimal vers base B On procède par division entière par B Division du nombre décimal N par B : donne une valeur v 0 et un reste r 0 On divise v 0 par B :donnev 1 et reste r 1 On recommence pour v1 et ainsi de suite Quand v x <B,c'estfini (N) B =v x r x-1...r 1 r 0 Note:sioncontinueuneétapedeplus,r x+1 =v x avec v x+1 = 0 et on ne peut plus diviser 11 Décimal vers base B Exemple : (1234) 10 en décimal 1234 / 10 = 123 reste / 10 = 12 reste 3 12 / 10 = 1 reste 2 1 < 10 donc on arrête Résultat :

5 Décimal vers base B Exemple : (25) 10 en binaire 25 / 2 = 12 reste 1 12 / 2 = 6 reste 0 6/3=2reste0 3/2=1reste1 1 < 2 donc on arrête Résultat : (11001) Décimal vers base B Exemple : (7172) 10 en hexadécimal 7172 / 16 = 448 reste / 16 = 28 reste 0 28 / 16 = 1 reste 12 = C 1 < 16 donc on arrête Résultat : (1C04) C Cas particuliers Conversion du binaire à l'octal/hexadécimal ou inverse 1 chiffre octal = un groupe de 3 chiffres binaires 1 chiffre hexadécimal = un groupe de 4 chiffres binaires (000) 2 = 0, (001) 2 = 1... (110) 2 = 6, (111) 2 =7 Avec 3 bits on code les 8 chiffres de la base octale (0000) 2 = 0, (0001) 2 = 1... (1110) 2 =14=(E) 16, (1111) 2 =15=(F) 16 Avec 4 bits, on code les 16 chiffres de la base hexadécimale 15 Cas particuliers Exemple : ( ) 2 en octal On regroupe par groupes de 3 bits : On rajoute des zéros au début au besoin (010) 2 =2,(110) 2 =6,(001) 2 =1,(101) 2 =5 ( ) 2 = (2615) 8 16

6 Cas particuliers Exemple : ( ) 2 en hexadécimal On regroupe par groupes de 4 bits : (0011) 2 = 5, (1000) 2 = 8, (1101) 2 =13 ( ) 2 =(58D) 16 Cas particuliers Exemple : (254) 8 en binaire 2=(010) 2, 5 = (101) 2, 4 = (100) 2 On concatène dans l'autre base ces groupes de 3 bits : (254) 8 = ( ) 2 Exemple : (D46C) 16 en binaire D = 13 = (1101) 2, 4 = (0100) 2, 6 = (0110) 2, C = 12 = (1100) 2 On concatène dans l'autre base ces groupes de 4 bits : (D46C) 16 = ( ) Codage des nombres Onavulecodagedesnombresentierspositifs dans différentes bases Mais on doit aussi pouvoir manipuler des Nombres réels Nombres négatifs Codage des nombres réels Codage d'un nombre entier positif en base B : (N) B =a n a n-1 a n-2... a 1 a 0 Pour coder un nombre réel positif : on rajoute une partie fractionnaire après une virgule (N) B =a n a n-1... a 1 a 0, b 1 b 2... b m-1 b m La valeur en décimal d'un tel nombre est alors donnée par le calcul de a n B n +a n-1 B n a 1 B+a 0 + b 1 B -1 +b 2 B b m-1 B -m+1 +b m B -m 19 20

7 Conversion réel base B en décimal Exemples : 123,45 = 1 x x x x x10-2 (101,101) 2 =1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 +1x2-1 +0x2-2 +1x2-3 =4+1+0,5+0,125=5,625 (AB,4E) 16 =10x x x x16-2 = x 0, x 0, = 171, Conversion réel décimal en base B Conversion d'un nombre décimal réel en base B Pour la partie entière Utiliser la méthode de la division entière comme pour les entiers Pour la partie fractionnaire Multiplier la partie fractionnaire par B Noter la partie entière obtenue Recommencer cette opération avec la partie fractionnaire du résultat et ainsi de suite Arrêter quand la partie fractionnaire est nulle Ou quand la précision souhaitée est atteinte Car on ne peut pas toujours obtenir une conversion en un nombre fini de chiffres pour la partie fractionnaire La partie fractionnaire dans la base B est la concaténation des parties entières obtenues dans l'ordre de leur calcul 22 Conversion réel décimal en base B Exemple : conversion de 12,6875 en binaire Conversion de 12 : donne (1100) 2 Codage des nombre réels en virgule flottante Principe et intérêts Conversion de 0,6875 Avoir une virgule flottante et une précision limitée 0,6875 x 2 = 1,375 = 1 + 0,375 0,375 x 2 = 0,75 = 0 + 0,75 Ne coder que des chiffres significatifs 0,75 x 2 = 1,5 = 1 + 0,5 0,5 x 2 = 1 = N=+/-MxB E (12,6875) 10 = (1100,1011) 2 N = nombre codé M = mantisse : nombre de X chiffres de la base B Exemple : conversion de 171, en hexadécimal E = exposant : nombre de Y chiffres de la base B Conversion de 171 : donne (AB) 16 +/- = codage du signe : positif ou négatif Conversion de 0, Le nombre est présenté sous forme normalisée pour 0, x 16 = 4,875 = 4 + 0,875 0,875 x 16 = 14,0 = déterminer la mantisse et exp. (171, ) 10 =(AB,4E) Pas de chiffre avant la virgule : 0,XXXXX x B E 24

8 Codage des nbs réels en virgule flottante Exemple : 1234,5 en base 10 On normalise pour n'avoir que des chiffres après la virgule : 0,12345 x 10 4 Mantisse codée = 12345, exposant = 4, signe = + Standard IEEE 754 : codage binaire de réels en virgule flottante Précision simple : 32 bits 1 bit de signe, 8 bits exposant, 23 bits mantisse Précision double : 64 bits 1 bit de signe, 11 bits exposant, 52 bits mantisse Codage des entiers signés en binaire Codage des entiers signés en binaire : trois méthodes Utiliser un bit de signe et coder la valeur absolue La méthode du complément logique La méthode du complément arithmétique Pour toutes ces solutions On aura toujours un bit utilisé pour préciser le signe du nombre Précision étendue : sur 80 bits Entier signé binaire : méthode du signe et valeur absolue Principe : considérer que le bit de poids fort code le signe 0 = entier positif, 1 = entier négatif Bit de poids fort : le plus à gauche Bit de poids faible : le plus à droite Les autres bits codent le nombre en valeur absolue Nécessité de savoir sur combien de bits on code le nombre pour déterminer quel bit code quoi Exemples si codage sur 4 bits Codage sur n bits Un ordinateur manipule des nombres binaires sousformede8bits=unoctet Données codées sur un ou plusieurs octets : 8 bits, 16 bits, 32 bits, 64 bits... Avec p bits, on code N valeursavec0 N 2 p -1 Avec 16 bits, on peut coder 2 16 = valeurs différentes Soit les entiers de 0 à pour les entiers positifs (0111) 2 = 7 car bit de poids fort à 0 (1111) 2 = -7 car bit de poids fort à

9 Codage sur n bits : entiers signés Pour un entier signé sur 16 bits : Nombres positifs : 0XXXXXXXXXXXXXXX Nombres négatifs : 1XXXXXXXXXXXXXXX On a 15 bits pour coder la valeur absolue du nombre soit 2 15 = valeurs possibles Pour le positif : de 0 à Pour le négatif : de -0 à Pour p bits : -(2 p-1-1) N 2 p-1-1 Inconvénient : on code 2 fois le 0 29 Entier signé binaire : complément à 1 Complément logique d'un nombre binaire Les 1 deviennent 0 et les 0 deviennent 1 Complément logique est dit «complément à 1» Codage des nombres signés avec complément logique Nb positif : comme pour un entier non signé Nb négatif : complément logique de son opposé positif Bit de poids fort code le signe : 0 = positif, 1 = négatif Exemple, codage sur un octet : ( ) 2 =7 Complément à 1 : ( ) 2 = -7 (et pas 248) Inconvénient : toujours 2 façons de coder le 0 30 Entier signé binaire : complément à 2 Complément arithmétique Complément logique du nombre auquel on rajoute la valeur de 1 Dit «complément à 2» Codage nombres signés avec complément arithmétique Entier signé binaire : complément à 2 Pour p bits, on code - 2 p-1 N 2 p-1 1 valeurs Sur 16 bits : N Ce codage est le plus utilisé, c'est le standard de fait pour coder les entiers signés Intérêts Nb positif : comme pour un entier non signé Plus qu'une seule façon de coder le 0 Grace au «+1» qui décale l'intervalle de codage des négatifs Nb négatif : complément arithmétique de son opposé positif Facilite les additions/soustractions en entier signé Bit de poids fort code le signe : 0 = positif, 1 = négatif Propriétés du complément à 2 Exemple : 6 = (0110) 2 avec précision de 4 bits comp 2 (N)+N=0 Complément à 1 : 1001 comp Complément à 2 : = (comp 2 (N))=N 31 32

10 Entiers signés en binaire : résumé Exemple pour codage de -57 pour les 3 méthodes, sur 8 bits 57 = ( ) 2 Signe et valeur absolue : Complément à 1 : Complément à 2 : Dans tous les cas Si bit de poids fort = 0 : entier positif Si bit de poids fort = 1 : entier négatif 33 Complément sur les compléments Compléments arithmétique et logique Utilisables dans n'importe quelle base, pas que en binaire Avec les mêmes propriétés dans toute base Complément logique d'un nombre N en base B Nombre pour lequel chaque chiffre a x de N est remplacé par le chiffre de valeur B 1 a x Exemple en base 8 : comp log (235) = 542 Complément arithmétique = complément logique + 1 Exemple en base 8 : comp ari (235) = = 543 Rajoute la valeur 1 quelle que soit la base considérée 34 Calculs dans une base B Les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) sont réalisables dans toute base B Avec mêmes règles que pour la base décimale Retenues également mais dépendant de la base Quand on additionne 2 chiffres a et b dans la base B Si la somme des valeurs décimales de a et b dépasse ou égale B alors il y a une retenue Exemple : principes de l'addition binaire Addition binaire Exemple : : 0010 = = = 13 Autre exemple : : 1101 = = = 23 Addition de 2 nombres de 4 bits : on a besoin dans 0+0=0 cet exemple de 5 bits 0+1=1 Potentiel problème de débordement = 10 soit 0 avec une retenue de

11 Débordement Débordement : la taille allouée (8, bits) au codage d'un entier est trop petite pour coder ou stocker le résultat d'un calcul Exemple avec addition, sur 8 bits, non signé : = Besoin de 9 bits pour coder le nombre Stockage du résultat impossible sur 8 bits Exemple avec addition, sur 8 bits, signé : = Addition de 2 positifs donne un négatif! 37 Multiplication binaire Comme en décimal N'utilise que du décalage de bits et additions Exemple : 101 x 110 : 101 = 5 x 110 = = 30 Décalage d'un bit vers la gauche = multiplication par 2 Décalage d'un bit vers la droite = division entière par 2 38 Soustraction binaire Soustraction binaire : peut faire comme en décimal Exemple : = = = 2 Autre technique Utiliser les compléments à 2 et ne faire que des additions 39 Addition/soustraction binaire en signé Codage en complément à 2 Simplifie les additions et soustractions On peut additionner directement des nombres, quels que soient leurs signes, le résultat sera directement correct (si pas de débordement) et «bien codé» Soustraction d'un nombre = addition de son complément à 2 A B=A+comp 2 (B) Valable dans tous les cas, quels que soient les signes de AetB Là aussi le résultat est directement valide si pas de débordement 40

12 Addition/soustraction binaire en complément à 2 : débordement Gestion des débordements différent de l'addition non signée Une retenue sur un bit supplémentaire par rapport à la précision ne veut pas forcément dire que le résultat n'est pas stockable avec la précision utilisée On regarde les retenues des deux derniers bits (poids forts) additionnés pour savoir s'il y a eu débordement Si retenues identiques (00 ou 11) : pas de débordement Si retenues différentes (01 ou 10) : débordement On néglige systématiquement la retenue sur le bit supplémentaire pour déterminer le résultat final S'il n'y a pas de débordement, le résultat tient dans la précision requise, la retenue n'a aucune signification 41 Addition/soustraction binaire en complément à 2 : débordement Débordement (suite) Règles valables pour toute addition ou soustraction utilisant des entiers signés codés en complément à 2 Avec ce mode de codage des nombres signés, le débordement est différent du codage des entiers non signés Signe du résultat : regarde le bit de poids fort Si 0 : résultat est un nombre positif Si 1 : nombre négatif Le résultat est directement codé en complément à 2 Sa valeur absolue est trouvée par le calcul du complément à 2 42 Add./soustr. binaire en complément à 2 Exemples de calcul avec codage des entiers signés en complément à 2, précision de 5 bits Add./soustr. binaire en complément à 2 Calcul de 9 8 = calcul de 9 + comp(8) =calculde9+(-8) 9=(01001) 2 8 = (01000) 2 5 = (00101) 2-9 = (10111) 2-8 = (11000) 2-5 = (11011) 2 Calcul de : 01 --> retenues = = > retenues = = Résultat ne tient pas sur 5 bits mais calcul correct Car 2 dernières retenues sont identiques Le bit de débordement (le 6ème bit) est à ignorer, il n'a aucune signification Résultat tient sur 5 bits mais calcul faux Le 5 ème bit = 0 : nombre positif Car 2 dernières retenues sont différentes 43 Résultat = (00001) 2 =1 44

13 Add./soustr. binaire en complément à 2 Calcul de 5 8 = calcul de 5 + comp(8) = calcul de 5 + (-8) 00 --> retenues = = Calcul correct car 2 dernières retenues sont identiques Le 5ème bit = 1 : nombre négatif Add./soustr. binaire en complément à 2 Calcul de -9 8 = calcul de comp(9) + comp(8) = calcul de (-9) + (-8) 10 --> retenues = = Calcul incorrect car 2 dernières retenues sont différentes Valeur absolue du résultat = comp 2 (11101) = (00011) 2 =3 Doncrésultatde5 8= Add./soustr. binaire en complément à 2 Calcul de -5 8 = calcul de comp(5) + comp(8) = calcul de (-5) + (-8) 11 --> retenues = = Calcul correct car 2 dernières retenues sont identiques Le 5ème bit = 1 : nombre négatif Valeur absolue du résultat = comp 2 (10011) = (01101) 2 =13 On ignore systématiquement le 6ème bit Donc résultat de =

14 Algèbre de Boole Système algébrique constitué de l'ensemble { 0, 1 } Algèbre de Boole Eric Cariou Université de Pau et des Pays de l'adour Département Informatique Eric.Cariou@univ-pau.fr Variable booléenne : variable qui prend une valeur 0 ou 1 Trois opérateurs de base NON / NOT ( a ) Inverse/complémente la valeur de la variable a ET / AND ( a.b ou ab ) Retourne 1 si a et b sont à 1, sinon retourne 0 OU / OR ( a + b ) Retourne 1 si a ou b est à 1, sinon retourne 0 Origine 1 Mathématicien anglais Georges Boole, Propriétés de base Propriétés de base Involution : Idempotence : Complémentarité : Éléments neutres : Absorbants : aa aaa a.aa a.a0 aa1 aa.11.aa a00aa a11 a.00 Associativité : Distributivité : Règles de De Morgan : Optimisations : a.b.ca.b.c abcabc a.bca.ba.c ab.cab.ac aba.b a.bab aabab abcabac 3 4

15 Fonction logique Fonction logique Prend en entrée une ou plusieurs variables booléennes Retourne une valeur booléenne fonction des variables d'entrée Définition d'une fonction logique : deux méthodes Par son expression logique Combinaison des variables de la fonction via les opérateurs de base de l'algébre de boole Exemple : fonction f de trois variables a, b et c fa,b,cabbcac Par sa table de vérité Table qui définit la valeur de la fonction pour chaque combinaison de valeurs possibles en entrée 5 Tables de vérité Table de vérité pour une fonction à p variables Pour chacune des combinaisons différentes de p valeurs, préciser le résultat de la fonction Table de vérité des opérateurs de base _ a a a b a + b a b a.b Fonction logique Equivalence/passage entre expression logique etlatabledevéritédelafonction On peut toujours déterminer l'une à partir de l'autre Deux fonctions logiques sont identiques si On peut montrer via les propriétés de l'algèbre de Boole que leurs expressions logiques sont identiques Leurs tables de vérité sont identiques Note Quand on parle de fonction logique, on parle souvent de la forme correspondant à l'expression logique 7 Formes canoniques d'une fonction Pour une fonction logique à x variables Un minterme : groupe des x variables (pouvant être complémentées) liées par des ET Un maxterme : groupe des x variables (pouvant être complémentées) liées par des OU Forme canonique d'une fonction logique Première forme : union (OU) de mintermes Second forme : intersection (ET) de maxtermes 8

16 Exemples de formes canoniques Fonction à 3 variables a, b et c, exemples: Mintermes : abc,a bc,abc,abc,... Maxtermes : abc,abc,abc,abc,... Première forme canonique : fa,b,cabca bca bcabc Seconde forme canonique : ga,b,cabc.abc.abc.abc Passage aux formes canoniques Partir de la fonction et la transformer pour faire apparaître des mintermes/maxtermes complets Pour la transformation On s'appuie sur les propriétés de l'algèbre de Boole, et notamment des invariants : x.x = 0 et x + x = Exempledepassageàlapremière forme canonique Soit Premier minterme ab Il manque la variable c Transforme ab en ab(c+c) car c+c=1 Même chose pour les 2 autres mintermes D'où : fa,b,cabbcac fa,b,cabccbcaaacbb =abcabca bca bca bc 11 Exemple de passage à la seconde forme canonique Soit On passe par x = x Après développement : f(a,b,c)ababcaca bc Reste à transformer les mintermes à 2 variables : abacabccacbb Au final Et fa,b,cabbcac f(a,b,c)abca bcabc fa,b,cabcabcabc 12

17 Passage de la fonction logique à la table de vérité Pour chaque combinaison de valeurs possibles pour les variables, on détermine la valeur booléenne de f(x) (X = ensemble des variables) Exemple : fa,b,cabbcac a b c b c ab bc ac f(a,b,c) Passage de la table de vérité à la fonction logique A partir de la table de vérité : fonction sous première forme canonique Pour chaque valeur de f(x) égale à 1 On définit un minterme de toutes les variables tel que Si une variable X i = 1 on note X i, sinon on note X i La première forme canonique de f(x) est le OU de ces mintermes 14 Passage de la table de vérité à la fonction logique A partir de la table de vérité : fonction sous seconde forme canonique Pour chaque valeur de f(x) égaleà0 On définit un minterme de toutes les variables tel que Si une variable X i = 1 on note X i, sinon on note X i Le OU de ces mintermes = f(x i ) Après calcul de f(x i ), on obtient la seconde forme canonique 15 Exemple de calcul de la fonction logique sous première forme A partir de la table de vérité de l'exemple précédent f(a,b,c) = 1 quand : a = 0, b = 0 et c = 1 d'où le minterme a = 1, b = 0 et c = 0 d'où le minterme a = 1, b = 0 et c = 1 d'où le minterme a = 1, b = 1 et c = 0 d'où le minterme a = 1, b = 1 et c = 1 d'où le minterme On fait le OU de ces mintermes a bc a bc a bc abc abc fa,b,c=abcabca bca bca bc 16

18 Exemple de calcul de la fonction logique sous seconde forme A partir de la table de vérité de l'exemple précédent f(a,b,c) = 0 quand : a = 0, b = 0 et c = 0 d'où le minterme a bc a = 0, b = 1 et c = 0 d'où le minterme abc a = 0, b = 1 et c = 1 d'où le minterme abc On fait le OU de ces mintermes f(a,b,c)a bcabcabc Au final : fa,b,cabcabcabc 17 Minimisation des fonctions logiques Les formes canoniques d'une fonction logique sontunedéfinitioncorrectedelafonction,mais elles peuvent être simplifiées Pour écrire la même fonction avec le moins de termes et les plus simples possibles Pour réaliser la fonction avec moins d'éléments électroniques (portes logiques) Deux méthodes pour simplifier l'écriture d'une fonction logique Utiliser les propriétés de l'algèbre de Boole Utiliser la méthode des tableaux de Karnaugh 18 Simplification via algèbre de Boole A partir des propriétés de l'algèbre de Boole, transformer la fonction pour la simplifier Principes généraux Simplifier la fonction initiale à l'aide des propriétés de l'algèbre de Boole Appliquer la propriété d'involution (x = x) à la fonction simplifiée est parfois intéressant, mais calculs longs... Essayer de déduire d'autres simplifications après chaque simplification Exemple de simplification via algèbre de Boole Soit fa,b,c=abcabca bca bca bc En factorisant, on obtient : fa,b,c=abccbcca bc =aa bc =abc (car x + xy = x + y) On ne peut pas simplifier plus 19 20

19 Exemple de simplification via algèbre de Boole Autre exemple : On distribue et calcule le non : fa,b,ca bcbc En utilisant l'involution : f(a,b,c)bc D'où : fa,b,cbc fa,b,c(a + b)cbc On aurait pu aussi simplifier en remarquant que cbccb (car x + xy = x + y et donc x + xy = x + y) Simplification par la méthode des tableaux de Karnaugh Principes généraux Représentation sous une forme particulière de la table de vérité d'une fonction logique Détermination des blocs rectangulaires de taille 2 n (1, 2, 4, 8...) bits adjacents à 1 On en déduit la fonction simplifiée associée à la table de vérité Simplification par la méthode des tableaux de Karnaugh On représente un tableau à 2 dimensions Chaque dimension concerne une ou 2 variables Le passage d'une colonne à une colonne adjacente ou d'une ligne à une ligne adjacente modifie la valeur d'une seule variable 21 Le tableau se referme sur lui-même : la colonne la plus à gauche est voisine de la colonne la plus à droite, idem pour les lignes du haut et du bas Pour les 2 colonnes (2 lignes) extrêmes, là aussi, une seule variable doit changer de valeur entre ces 2 colonnes (lignes) Une case du tableau contient une valeur booléenne, déterminée à partir de la table de vérité et des valeurs des variables 23 Simplification par la méthode des tableaux de Karnaugh Regroupement en blocs rectangulaires des bits à 1 adjacents Tous les bits à 1 du tableau doivent être englobés dans au moins unbloc(unblocàunetaillede1,2,4,8...bits) Un bit à 1 peut appartenir à plusieurs blocs On doit créer les blocs les plus gros possibles A chaque bloc correspond un terme formé comme suit Pour le bloc, si une une variable prend les valeurs 0 et 1, on ne la prend pas en compte On ne conserve que les variables qui ne varient pas. Si une variable a resteà1:onnotea, siresteà0:onnotea Le terme logique du bloc correspond au ET de ces variables qui ne changent pas La fonction logique simplifiée est le OU de tous les termes des 24 blocs trouvés 22

20 Exemple de tableau de Karnaugh Table pour 2 variables \ a a b f(a,b) b \ groupes de 2 bits adjacents : Pour le vertical : on a toujours a = 1 donc cela donne le terme a Pour l'horizontal : idem mais avec b f(a,b) = a + b 25 Exemple de tableau de Karnaugh Table pour 3 variables a b c g \ ab c \ Bloc le plus petit : a = 0, b = 0, c = 1 Donne le terme a bc 26 Exemple tableau de Karnaugh Mais simplification pas suffisante La table se referme sur elle-même On doit également regrouper en bloc les plus grands possibles mêmes si des bits appartiennent à plusieurs blocs Le bit seul à gauche doit donc être regroupé avec la case a=1,b=0,c=1 à droite en bas de la table \ ab c \ Au final pour ce bloc, on a donc : bc 27 Exemple de tableau de Karnaugh Bloc le plus gros : a resteà1,b passede0à1etc passe de 0 à 1 On ne conserve que les variables qui ne changent pas. Donc on a le terme : a Au final : Pourquoi pour le bloc de 4 on obtient juste a? ga,b,cabc Si on fait le OU de tous les mintermes pour lequel la valeur est 1, cela donne pour ce bloc de 4 : bloc=abcabca bca bc =abccbcca Les variables d'un bloc prenant les valeurs de 0 et 1 sont donc systématiquement non significatives 28

21 Exemple de tableau de Karnaugh Tableau pour 4 variables \ ab cd \ On doit là aussi regrouper en les plus gros blocs possibles même si on recoupe d'autres blocs La table se referme sur elle-même 3 blocs : 8cases:d 4cases:bc 2cases:abc Au final : f(a,b,c,d)=d+bc+abc 29

22 Circuits logiques Eric Cariou Université de Pau et des Pays de l'adour Département Informatique Circuit logique Circuit électronique réalisant une ou plusieurs fonctions logiques Un circuit logique est composé D'un ensemble de portes logiques De circuits logiques Le tout interconnectés entre eux 2 types de circuits logiques Circuits combinatoires : S = f(e) Circuits séquentiels : notion d'état et de mémoire 1 2 Sj= f(ei) Circuit combinatoire Circuits Logiques (1) Circuits Combinatoires Les sorties Sj sont fonctions uniquement de la valeur des entrées Ei Un circuit combinatoire est défini par une ou plusieurs fonctions logiques Définition de la valeur des sorties en fonction des entrées du circuit Algèbre de Boole et les fonctions logiques sont donc le support théorique des circuits combinatoires Un circuit se représente par un logigramme 3 4

23 Portes logiques Une porte logique Circuit combinatoire de base Réalisant une opération logique de base Exemple : OU, ET, NON, correspondant aux opérateurs de l'algèbre de Boole Une porte possède Une table de vérité et/ou une expression logique définissant son résultat en fonction de son/ses entrée(s) Un symbole graphique Porte NON (NOT) 1 entrée, 1 sortie NON a est noté a _ a a Porte NON 5 6 Porte ET Porte OU Porte ET (AND) 2 entrées, 1 sortie aetbest noté a.b ou ab ou a^b a b a.b Porte OU (OR) 2 entrées, 1 sortie aoubest noté a+bou avb a b a + b

24 Porte OU exclusif Porte NON ET Porte OU-exclusif (XOR) Porte NON ET (NAND) 2 entrées, 1 sortie a OU-exclusif b est noté a b a b a b entrées, 1 sortie anandbest noté a.b a b a.b 9 10 Porte NON OU Porte NON OU (NOR) 2 entrées, 1 sortie anorbest noté a + b a b a + b 11 Autres portes Pour chaque porte à 2 entrées Variantes à 3, 4,... entrées (mais toujours une seule sortie) Généralisation de la fonction logique de base à plus de 2 variables en entrée Le symbole graphique utilisé est identique mais avec plus de 2 entrées Exemples PorteETà3entréesa, b et c a pour expression logique : abc Porte NOR à 4 entrées a, b, c et d apourexpression logique : a + b + c + d 12

25 Synthèse d'un circuit logique A partir d'une fonction logique Trouver le logigramme correspondant à cette fonction Principe Simplifier la fonction logique avec 2 méthodes La méthode algébrique (algèbre de Boole) La méthode des tableaux de Karnaugh En déduire le logigramme correspondant Analyse de circuit logique Apartirdulogigrammed'uncircuit Trouver sa fonction logique Principe Donner l'expression des sorties de chaque porte/composant en fonction des valeurs de ses entrées En déduire au final la (ou les) fonction(s) logique(s) du circuit On peut ensuite Déterminer la table de vérité du circuit 13 Simplifier la fonction logique à l'aide des propriétés de l'algèbre de Boole ou les tableaux de Karnaugh 14 Exemple d'analyse de circuit Exemple de circuit logique 3 entrées, 1 sortie Composé uniquement de portes logiques Exemple d'analyse de circuit Quelle est la fonction logique de ce circuit? A partir de son logigramme fa,b,cab.b.c Après simplification fa,b,cabc En nombre de portes minimales fa,b,cacb 15 16

26 Exemple d'analyse de circuit Tabledevéritédel'exemple a b c a+b=x b b.c=y x.y x.y Exemple d'analyse de circuit Table de vérité de la fonction simplifiée a b c a c a+b+c On trouve les mêmes valeurs dans les 2 tables Les fonctions sont bien égales 18 Exemple de synthèse de circuit Additionneur demi-bit Exemple de circuit : un additionneur demi-bit Soit la fonction fa,b,cabca bca bca bc Après simplification, on obtient fa,b,cacbc 19 Réalise l'addition de 2 nombres codés chacun sur 1 bit Doit pouvoir gérer l'éventuel débordement Table de vérité du circuit avec : S : la somme des 2 bits R:laretenue x y S R Note : on parle de «demi-bit» car ne prend pas en compte une retenue en entrée (voir suite) 20

27 Additionneur demi-bit Fonctions logiques de S et R Sx yxyx Rxy y Additionneur demi-bit Additionneur n bits Faitunesommede2bits Additionneur n bits Fait l'addition de 2 nombres de n bits Deux réalisations possibles Concevoir entièrement l'additionneur à partir de rien Concevoir l'additionneur en réutilisant d'autres composants : des additionneurs 1 bit Additionneur n bits Additionneur n bits Additionneur 1 bit complet Si on veut le construire à partir de n additionneurs 1 bit Additionneur 1 bit complet Doit prendre en compte les retenues intermédiaires générées Entrées : bits x, y et retenue R et leur propagation > retenue générée par l'addition des chiffres Sorties : résultat S et retenue R 010 précédents à additionner en plus aux 2 chiffres idées pour définir l'additionneur 1 bit complet Déterminer la table de vérité de {S, R 1 }=f(x,y,r 0 ) Additionneur demi-bit précédent On obtient un nouveau circuit, plus complexe Insuffisant : prend seulement 2 bits en entrée, pas la retenue Utiliser le demi-additionneur vu précedemment On parlait donc de demi-additionneur On réutilise le circuit déjà défini Additionneur qui prend en compte une retenue en entrée : 23

28 Additionneur 1 bit complet En réutilisant le demi-additionneur Le calcul de S se fait via 2 additions x+y=zet S=z+R 0 Chaque addition est effectuée par un demi-additionneur La retenue finale R 1 est le OU des 2 retenues générées par les 2 additions Si la première addition génère une retenue : on aura forcément une retenue au final Si la seconde addition génère une retenue : on aura aussi une retenue au final Donc on fait le OU des 2 retenues 25 Additionneur 1 bit complet Additionneur 1 bit complet S : résultat de l'addition des bits a et b et de la retenue R 0 R1 : retenue générée 26 Additionneur n bits Exemple pour additionneur 4 bits On enchaîne en série 4 additionneurs 1 bit complet Le résultat est connu après propagation des valeurs calculées le long de tout le circuit C = A + B, en précision 4 bits. R : retenue globale 27 Ensembles complets de fonctions logiques de base Dans les exemples précédents On a construit des circuits avec n'importe quelles portes : ET, OU, NON, NAND, NOR, XOR... Il existe des ensembles complets de portes (fonctions logiques de base) Les portes d'un ensemble complet permettent de réaliser n'importe quel circuit (fonction logique) Peut être utile pour limiter le coût d'un circuit Le nombre de transistors utilisés pour réaliser une porte peut varier du simple au double selon les portes 28

29 Ensembles complets de fonctions logiques de base 3 ensembles complets de fonctions {ET, OU, NON} {NOR} {NAND} Pour prouver que ces ensembles sont complets Montrer qu'on peut spécifier toutes les fonctions de base à partir des fonctions d'un ensemble Ensembles complets de fonctions logiques de base Ensembles complets minimaux : contenant le moins d'éléments {ET, OU, NON} : pas minimal car aba.b : OU se définit avec ET et NON a.bab : ET se définit avec OU et NON {ET, NON} et {OU, NON} sont 2 ensembles complets mais on ne peut pas les simplifier plus Ensembles complets de fonctions logiques de base Au final : 2 ensembles complets minimaux {NAND} et {NOR} Preuve pour NAND On doit pouvoir définir à partir d'un NAND : NON : NON(a) = NAND(a,a) aa.a OU : OU(a,b) = NAND(NAND(a,a),NAND(b,b)) aba.a. b.b ET : ET(a,b) = NAND(NAND(a,b),NAND(a,b)) a.ba.b.a.b NOR, XOR : combinaisons de NON, ET et OU donc peut s'exprimer avec des NAND 31 Simplification des fonctions/circuits Pour une fonction logique, pour une question de lisibilité, on préfère la version Avec les termes les plus simples Reliés par le moins d'opérateurs En pratique, lors de la réalisation du circuit Ca ne sera pas forcément la version la moins coûteuse en terme d'éléments électroniques (transistors) Une porte NAND ou NOR est moins coûteuse en transistors qu'une porte OU ou ET 32

30 Simplification des fonctions/circuits Pour un circuit logique, on cherchera donc à le réaliser avec des portes NAND ou NOR Permet de diminuer le nombre total de transistors Permet de ne pas multiplier le nombre de portes différentes à utiliser Exemple : demi-additionneur 1 bit Sx,yx yxy On va exprimer R et S avec des NAND et Rxy Demi-additionneur avec NAND Pour transformer R et S, on passe par l'involution Sx,yx yxy S(x,y)x yxyx y x y Rxyxyxy On utilise également des NON pour simplifier Table de vérité -> circuit en portes NAND Méthode pour passer de la table de vérité au circuit réalisé avec des NAND (et des ET) 2 couches de portes NAND Première couche : Pour chaque valeur de f(x i ) égale à 1 On fait un NAND de tous les Xi en prenant Xi si Xi =1 ou Xi si Xi =0 Deuxième couche : on fait un NAND de toutes les sorties des NAND de la première couche Nécessite des portes NAND a plus de 2 entrées 35 Table de vérité -> circuit en portes NAND Exemple : avec additionneur complet 1 bit R0 x y S R Avantage de la méthode : construction systématique Inconvénient : pas toujours optimal en nb de portes 36

31 Logique à 3 états Algébre de Boole et circuits logiques : logique à 2 états Etat 0 (état «faux» ou état physique «courant électrique nul») Etat 1 (état «vrai» ou état physique «courant électrique non nul») Logique à 3 états Extensiondelalogiqueà2étatsavecuntroisième état : «état indéfini» Utilité principale : activer ou désactiver des parties d'un circuit liées aux mêmes sorties ou éléments 37 Logique à 3 états Une porte, un élément de circuit de logique à 3 états possède une entrée supplémentaire E : Enable Si E = 1, alors les sorties de cette porte/élément sont actives et ont une valeur de 0 ou 1 Si E = 0, alors les sorties ne sont pas activées et n'ont pas de signification, comme si les sorties étaient «déconnectées» E : variante complémentée Activé à 0 et désactivé à 1 On peut connecter deux sorties ensemble, seule celle qui est activée positionnera la valeur (0 ou 1) du conducteur connectant ces deux sorties Multiplexage (voir suite) 38 Logique à 3 états Exemples de portes/composants de logique à 3 états Logique à 3 états Exemple de circuit Portes (1) et (2) (1) (2) (3) Eléments les plus simples : active ou désactive la sortie o selonlavaleurdee Pour (1) : si E=1alors o=i,sie=0,alorso=?(indéfini) Pour (2) : si E=0alors o=i,sie=1,alorso=?(indéfini) Porte (3) : active les 4 sorties en fonction de E Selon la valeur de x, S correspond à la sortie d'une des 2 portes Si x = 0 alors Sab Si x = 1 alors Saba b Si E=1, alors chaque o x =i x pour tous les x, sinon tous les o x sont indéfinis 39 40

32 Circuits logiques de base Dans beaucoup de circuits, on retrouvera certaines fonctionnalités/composants logiques Additionneur 1 bit complet et additionneur n bits Multiplexeur : une des X entrées vers 1 sortie Démultiplexeur : 1 entrée vers une des X sorties Décodeur : active une des X sorties selon un code en entrée Codeur : pour 1 entrée active, fournit un code Transcodeur : pour un code A fournit un code B 41 X entrées et 1 sortie Multiplexeur Selon une adresse, la sortie prend la valeur d'une des X entrées Circuit combinatoire avec Une sortie K Une adresse codée sur n bits 2 n entrées k x 42 Multiplexeur à 4 entrées 4 entrées, adresse sur 2 bits : a et b Tabledevérité a b K k k k K 3 Ka,bk 0 a bk 1 abk 2 a bk 3 ab D'autres choix de multiplexage sont possibles 43 Multiplexeur 4 entrées Logigramme et symbole pour le multiplexeur à 4 entrées 44

33 Multiplexeur 4 entrées Variante avec logique à 3 états Selon la valeur de a et b, on ne redirige qu'un des quatre k x vers K 1 entrée, X sorties Démultiplexeur Selon une adresse, une des X sorties prend la valeur de l'entrée Circuit combinatoire avec 2 n sorties k x 1entréeK Une adresse codée sur n bits Démultiplexeur à 4 sorties 4 sorties, adresse sur 2 bits : a et b Valeurs des k x sortiesselonaetb a b k0 k1 k2 k K K K K k0a bk k2a bk k1abk k3abk 47 Démultiplexeur à 4 sorties Logigramme et symbole pour le démultiplexeur à4sorties 48

34 Codeur Active un code selon l'une des X entrées actives 2n (en général) entrées 1 entrée active (valeur 1) Les autres sont toutes désactivées (valeur 0) Code en sortie : sur n bits Exemple classique de codeur Numérotationde0à2 n -1 des entrées Le code représente le numéro de l'entrée codé en binaire Codeur sur 3 bits 3bitsS x en sortie et 8 entrées E y E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 S0 S1 S Décodeur Active une des X sorties selon un code Code : sur n bits Nombre de sorties : 2 n (en général) Exemple classique de décodeur Numérotation de 0 à 2 n -1 des sorties Le code représente le numéro codé en binaire de la sortie à activer 51 Décodeur sur 3 bits 3bitsS x :8sortiesE y S2 S1 S0 E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E

35 Transcodeur Fait correspondre un code A en entrée sur n lignes à un code B en sortie sur m lignes Exemple avec n = 3 et m = 5 Circuits Logiques (2) Circuits Séquentiels a2 a1 a0 b4 b3 b2 b1 b Circuits séquentiels Circuits combinatoires Les sorties ne dépendent que des valeurs des entrées Circuits séquentiels Ajout des notions d'état et de mémoire Ajout de la notion de temps (horloge) Circuits séquentiels Les valeurs de sorties du circuit dépendent Des valeurs en entrée De valeurs calculées précédemment De l'état dans lequel on se trouve Théories utilisées pour étudier/spécifier les différents types de circuits Circuits combinatoires : algèbre de Boole Circuits séquentiels : théorie des automates finis 55 56

36 Automate fini Un automate fini possède un nombre fini d'états Il est caractérisé, pour un couple d'instants (t, t+1), par Sa réponse S Son entrée E Son état Q Automate fini 3 façons de déterminer un automate Fonctions de transfert S(t+1)=f(Q(t),E(t)):sortieàt+1 dépend des entrées et états à t Q(t+1) = g ( Q(t), E(t) ) : état à t+1 dépend des entrées et états à t Tables de transition : tables des fonctions f et g Valeurs de Q(t+1) et S(t+1) pour chaque combinaison de valeurs de E(t) et Q(t) Diagrammes d'états ou de transitions Exemple d'automate fini Mémoire binaire : stocke 1 bit 1entrée Si 0, on mémorise la valeur 0 Si 1, on mémorise la valeur 1 2 états : valeur 0 ou valeur 1 Principe A t on est dans un état X, à t+1, on passe dans un état Y selon la valeur de l'entrée à t La sortie S à t+1 prend la valeur de l'état à t 59 Exemple d'automate fini Fonctions de transfert S(t+1) = Q(t) : la sortie à t+1est égale à l'état à t Q(t+1) = E(t) : l'état à t+1est égal à l'entrée passée à l'état t Tables de transitions : valeurs de Q(t+1) et S (t+1) en fonction de E(t) et Q(t) \ E(T) 0 1 \ E(t) 0 1 Q(t) Q(t) S(t+1) Q(t+1) 60

37 Exemple d'automate fini Diagramme d'états/transitions Caractéristiques électriques et temporelles D'un point de vue électrique et idéal Un0correspondà0volt(parfoisà-V m volts) Un 1 correspond à +V m volts En pratique 2 niveaux : niveau haut V h et niveau bas V b 0<V b <V h <V m Pour un voltage v 0<v<V b : représente un 0 V h <v<v m : représente un 1 61 V b <v<v h : indéfini 62 Caractéristiques électriques et temporelles Changement de valeur (0 -> 1 ou 1 -> 0) Idéalement : instantané En pratique : prend un certain temps, délai de montée (0 -> 1) et de descente (1 -> 0) Passaged'unsignalautraversd'uneporte Délais Exemple : traversée d'une porte NON E=1puispasseà0,S=E Idéalement : instantané En pratique : prend un certain temps Délai de propagation 63 64

38 Délais Voltages V m : voltage correspondant au 1 idéal V h : voltage haut, minimum pour avoir un 1 V b : voltage bas, maximum pour avoir un 0 Délais Sitempsdemontéeoudedescentetroplong On reste relativement longtemps entre V b et V h : état indéfini La sortie oscille alors entre 0 et 1 Délais t d :tempsdedescente,passagede0à1(voltagedev h àv b ) t m : temps de montée, passage de 0 à 1 (voltage de V b àv h ) t p : temps de propagation dans la porte (pris à la moyenne de V h et V b ) Contraintes temporelles des circuits Un circuit est formé de plusieurs portes Chemin critique : chemin le «plus long» pour la propagation des signaux à travers le circuit Détermine le temps total de propagation des signaux à travers tout le circuit Temps minimal à attendre pour avoir une sortie valide Intuitivement : chemin passant par le plus grand nombre de portes Mais dépend aussi du temps de propagation de chaque type de porte 67 Horloge A cause de tous les délais (montée, descente, propagation) Un signal n'est pas dans un état valide en permanence Idée : on ne lit ses valeurs qu'à des instants précis et à des intervalles réguliers Instants donnés par une horloge Horloge Indispensable aussi dans le cas des circuits séquentiels synchrones pour savoir quand on passe de t à t+1 68

39 Horloge Signal périodique Horloge 1demi-périodeà0,l'autreà1 Début d'une nouvelle période : instant t i Pour exemple précédent du NON Instant t 1 :E=1,S=0 Mémoire sur 1 bit Circuit séquentiel basique : mémoire sur 1 bit Possède une variable binaire codée sur 1 bit Sa valeur est conservée ou modifiable dans le temps Mémoires 1 bit peuvent être réalisées avec des bascules Instant t 2 :E=0,S=1 CLK = Clock = signal d'horloge Bistable et bascule Bistable : 2 états stables dans le temps Principe général d'une bistable : 2 portes non (inverseurs) en opposition Bascule : composant qui met en oeuvre une bistable Entrée/sorties 2 entrées : R et S Bascule RS 1 sortie Q qui correspond à l'état stocké Principe : la valeur de Q à t+1 dépend de R, SetdelavaleurdeQàt R=reset:remiseà0deQ S=set:miseà1deQ Possibilité de passer d'un état à l'autre, de changer S=1etR=0:Qmisà1 l'état mémorisé S=0etR=1:Qmisà0 Plusieurs façons de gérer et changer l'état S=0etR=0:Qgardesavaleur,maintien S=1 et R=1 : Q indéterminé Plusieurs types de bascules : RS, D, JK

40 Bascule RS Table de vérité/transition du circuit et son tableau de Karnaugh Q R S Q \ RS Q \ X X X X Q+SQR Q + : valeur de Q à l'instant suivant Bascule RS Tables de vérité/transition dérivées R S Q+ Q -> Q+ R S Q 0 0 X X X Logigramme de la bascule RS, avec des portes NOR Dans tableau : X = valeur non connue mais sans influence, on peut regrouper dans les blocs à types de bascules Bascule asynchrone Sorties recalculées à chaque changement des valeurs en entrée Plus précisement : recalculées «en permanence» Exemple : la bascule RS précédente Bascule synchrone Sorties recalculées en fonction d'un signal d'horloge en entrée Nécessite une entrée de contrôle pour ce signal d'horloge 2 modes Sur niveau (dit «latch») Recalcule les sorties et l'état quand le signal d'horloge est à 1 Sur front (dit «flip-flop») 3 types de bascules Détermination du temps suivant (passage de t à t+1) selon le type de bascule Asynchrone Recalcule au moment où le signal d'horloge change de valeur Frontmontant:passagede0à1 Front descendant : passage de 1 à 0 Quand on recalcule, les valeurs prises pour l'état et les entrées Note : on utilise en général un signal d'horloge sur l'entrée de sont celles juste avant de passer à t+1, quand on est encore à t contrôle, mais n'importe quel signal peut être utilisé en pratique Quand les entrées changent et la sortie est recalculée Synchrone sur niveau Quand le niveau (1 en général, mais 0 aussi) est atteint Synchrone sur front Au moment du passage de 0 à 1 ou de 1 à 0 selon le type de front utilisé par la bascule Dans tous les cas

41 D=delay 2 entrées Bascule D latch D : la valeur en entrée C : entrée de contrôle, généralement un signal d'horloge 1sortieQ Q + =DsiC=1 Q + = Q si C = 0 Si C est un signal d'horloge Retarde le signal en entrée D d'une période d'horloge Bascule D latch TabledevéritédelabasculeD D C Q Q Q+DCQC Versions condensées : (C=1) D Q+ C Q Q D Bascule D latch Réalisation d'une bascule D à partir d'une bascule RS S=CDetR=CD Pour S Pour bascule D, Q+ = 1 si C = 1 et D = 1 Pour bascule RS, Q+ = 1 si S = 1 et R = 0 Pour R Pour bascule D, Q+ = 0 si C = 1 et D = 0 Pour bascule RS, Q+ = 0 si S = 0 et R = 1 Avec S = CD et R = CD, tout est cohérent Et le maintien Q += Q de la bascule D lorsque C=0 est cohérent avec le maintien de la RS : R=S=0 79 Bascule D latch Logigramme de la bascule D latch 80

42 Bascule D flip-flop Bascule D flip-flop Variante de la D latch Passage à t+1quand front montant de l'horloge En pratique, la D latch fonctionne de la même façon Exemple de chronogramme avec D = et Q(0) = 0 81 Bascule JK asynchrone JK = «rien de particulier», variante de RS Comme pour RS mais ajoute le cas de R=S=1 Si J = K = 1 alors Q+ = Q J K Q Q+ Q+J QKQ \ JK Q \ J K Q Q Q Représentation des différents types de bascule Bascule asynchrone Pas d'entrée CLK ou de contrôle Bascule synchrone Entrée CLK Synchrone sur front : rajoute un triangle sur l'entrée de contrôle Si «rond inverseur» Bascule latch Modifie la sortie quand valeur d'horloge à 0 (1 par défaut) Bascule flip-flop Représentation des différents types de bascule De gauche à droite Bascule RS asynchrone Bascule D latch sur niveau 1 Bascule D flip-flop sur front montant Bascule D latch sur niveau 0 Bascule D flip-flop sur front descendant Actif sur front descendant (montant par défaut) 83 84